Fisika itu mudah/Gerak partikel bermuatan dalam medan magnet homogen tegak lurus

Dari Wikibooks Indonesia, sumber buku teks bebas berbahasa Indonesia

Langsung ke: navigasi, cari

Gerak partikel bermuatan dalam medan magnet homogen tegak lurus umumnya dipahami dengan langsung memisalkan terdapatnya gaya sentripetal yang membuat partikel bergerak menempuh lintasan berupa lingkaran. Hal yang umumnya kurang diekspos adalah dari mana datangnya gaya yang berperan sebagai sentripetal ini.

Daftar isi

[sunting] Gaya-gaya yang berperan

Untuk mulai memahami hal ini titik awal yang baik adalah beranjak dari rumus gaya magnetik atau bentuk khusus dari hukum Lorentz di mana dalam ruang hanya terdapat medan listrik [1], yaitu:

\vec{F}_m = q \vec{v} \times \vec{B}

di mana \!F_m adalah gaya magnetik, \!q adalah muatan magnetik dan \!B adalah medan magnetik homogen. Untuk kasus yang akan dijelaskan dalam artikel ini diambil arah medan magnetik tegak lurus dengan arah gerak partikel

\vec{B} = B_z \hat{k}

dengan pemisalan keadaan gerak mula-mula partikel adalah

\vec{v}_0 = v_0 (\cos \theta_0\ \hat{i} + sin \theta_0\ \hat{j})

Dengan mengabaikan gaya berat \! w atau dapat diterapkan gaya listrik \!F_l yang besarnya sama dengan gaya berat akan tetapi dengan arah yang berlawanan

\vec{F}_l = q \vec{E}

di mana

\vec{E} = \frac{mg}{q}\ \hat{k}

dengan

\vec{w} = -mg\ \hat{k}

sebagai gaya beratnya.

[sunting] Persamaan gerak partikel

Dengan menerapkan hukum gerak Newton yang mengaitkan gaya-gaya yang berperan dengan keadaan geraknya

\sum \vec{F} = m \vec{a}

dapat dituliskan persamaan gerak partikel dan diselesaikan

\vec{F_m} + \vec{F}_l + \vec{w} = m \vec{a}
q \vec{v} \times \vec{B} + q \vec{E} + \vec{w} = m \vec{a}
q (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times B_z\ \hat{k} + q \frac{mg}{q}\ \hat{k} - mg\ \hat{k} = m \vec{a}
q B_z (v_y \hat{i} - v_x \hat{j}) = m \vec{a}

di mana telah dimisalkan kecepatan pada suatu saat

\vec{v} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j})

Sekarang terdapat dua persamaan diferensial tergandeng orde satu yang harus diselesaikan [2], yaitu

\frac{dv_x}{dt} = \frac{q B_z}{m}\ v_y
\frac{dv_y}{dt} = - \frac{q B_z}{m}\ v_x

dengan menguraikan \vec{a} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) sebagai komponen-komponen percepatan. Perhatikan bahwa dalam arah \!z tidak perlu dilakukan karena tidak terdapat komponen dalam arah tersebut. Selanjutnya kedua persamaan diturunkan lagi terhadap waktu dan saling disubstitusikan sehingga diperoleh

\frac{d^2}{dt^2} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = - \left( \frac{q B_z}{m} \right)^2 \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}

yang memberikan solusi

v_x = v \sin(\omega\ t)
v_y = v \cos(\omega\ t)

dengan

\omega = \frac{q B_z}{m}

atau dituliskan dalam bentuk yang lebih kompak

\vec{v}(t) = v \left\{ \sin(\omega\ t)\ \hat{i} + \cos(\omega\ t)\ \hat{j} \right\}

[sunting] Kinematika partikel

Besaran kinematika partikel lainnya dapat diperoleh melakukan integrasi untuk memperoleh posisi setiap saat dan diferensiasi untuk mendapatkan percepatan linier setiap saat, yaitu

\vec{r}(t) = \frac{v}{\omega} \left\{ -\cos(\omega\ t)\ \hat{i} + \sin(\omega\ t)\ \hat{j} \right\} + \vec{r}_0

dan

\vec{a}(t) = v \omega \left\{ \cos(\omega\ t)\ \hat{i} - \sin(\omega\ t)\ \hat{j} \right\}

[sunting] Lintasan partikel dan arah percepatan

Dengan menggunakan persamaan posisi, yang sudah merupakan persamaan parametrik gerak melingkar, dapat digambarkan lintasan partikel. Demikian pula dengan arah percepatan setiap saatnya. Untuk jelasnya perhatikan nilai-nilai pada tabel berikut ini.

[sunting] Rujukan

  1. ↑ Carl Rod Nave, Magnetic Forces, HyperPhsics, magnetic/magfor.html, 2007
  2. ↑ Sparisoma Viridi, Kumpulan Materi Kuliah FI-111 Fisika Dasar I, FMIPA Institut Teknologi Bandung, Bagian 88, hal. 65, 2002
Diperoleh dari "http://id.wikibooks.org/wiki/Fisika_itu_mudah/Gerak_partikel_bermuatan_dalam_medan_magnet_homogen_tegak_lurus"
Peralatan pribadi