Kalkulus/Aljabar

Aturan aritmatika dan aljabar

Aturan-aturan berikut ini benar untuk semua a, b, dan c, dimana a, b, dan c merupakan angka, variabel, fungsi, atau persamaan lain yang lebih kompleks yang didalamnya terdapat angka, variabel, dan/atau fungsi.

Penjumlahan

• Sifat komutatif: $a+b=b+a\,$.
• Sifat asosiatif: $(a+b)+c=a+(b+c)\,$.
• Identitas penjumlahan: $a+0=a\,$.
• Invers penjumlahan: $a+(-a)=0\,$.

Pengurangan

• Definisi: $a-b=a+(-b)\,$.

Perkalian

• Sifat komutatif: $a\times b=b\times a\,$.
• Sifat asosiatif: $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\,$.
• Identitas perkalian: $a\times 1=a\,$.
• Invers perkalian: $a\times {\frac {1}{a}}=1$, $a\neq 0\,$
• Sifat distributif: $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\,$.

Pembagian

• Definisi: ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$, $b\neq 0\,$.

Coba lihat contoh dibawah ini untuk melihat bagaimana aturan-aturan diatas dipraktikkan.

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}$	= $\left[(x+2)\times (x+3)\right]\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)$ (dari definisi pembagian)
	= $(x+2)\times \left[(x+3)\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)\right]$ (dari sifat asosiatif perkalian)
	= $((x+2)\times (1)),\qquad x\neq -3\,$ (dari sifat invers perkalian)
	= $x+2,\qquad x\neq -3.$ (dari identitas perkalian)

Tentu saja, cara diatas jauh lebih panjang daripada hanya mencoret $x+3$ dari pembilang dan penyebut. Tapi, dengan mencoret, sebenarnya kamu juga melakukan tahapan diatas, hanya saja lebih dipersingkat. Dengan tahapan diatas, diharapkan kamu benar-benar memahami aturan-aturan yang ada.

Notasi interval

Ada beberapa sedikit perbedaan simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu interval (semua angka yang berada di antara 2 angka) spesifik tertentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pertidaksamaan. Jika kita ingin menyatakan semua angka yang berada di antara, katakan, 2 dan 4, maka kita dapat menuliskannya "semua x yang memenuhi 2<x<4". Tanda ini menunjukkan bahwa titik 2 dan 4 tidak termasuk karena kita menggunakan tanda $\leq$. Jika kita ingin memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka kita menuliskannya dengan "semua x yang memenuhi $2\leq x\leq 4$".

Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan interval ini adalah dengan menggunakan notasi interval. Jika kita ingin menuliskan "semua x yang memenuhi 2<x<4" maka kita dapat menuliskannya dengan (2,4). Dengan notasi ini, titik 2 dan 4 tidak termasuk dalam interval. Jika kita mau memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka penulisannya menjadi [2,4]. Jika kita hanya ingin memasukkan titik 2 saja tanpa titik 4 ke dalam interval, maka penulisannya menjadi [2,4); jika hanya titik 4 saja tanpa titik 2, penulisannya menjadi (2,4].

Maka, kita memiliki beberapa notasi interval berikut ini:

Kondisi	Notasi pertidaksamaan	Notasi interval
2 dan 4 termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2\leq x\leq 4$	$[2,4]\,\!$
2 dan 4 tidak termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2<x<4\,$	$(2,4)\,\!$
2 termasuk tapi 4 tidak termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2\leq x<4$	$[2,4)\,\!$
2 tidak termasuk tapi 4 termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2<x\leq 4$	$(2,4]\,\!$

Secara umum, kita memiliki tabel berikut ini:

Arti	Notasi interval	Notasi set
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $a$ dan lebih kecil atau sama dengan $b$	$\left[a,b\right]$	$\left\{x:a\leq x\leq b\right\}$
Semua bilangan yang lebih besar dari $a$ dan lebih kecil dari $b$	$\left(a,b\right)$	$\left\{x:a<x<b\right\}$
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $a$ dan lebih kecil dari $b$	$\left[a,b\right)$	$\left\{x:a\leq x<b\right\}$
Semua bilangan yang lebih besar dari $a$ dan lebih kecil atau sama dengan $b$	$\left(a,b\right]$	$\left\{x:a<x\leq b\right\}$
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $a$.	$\left[a,\infty \right)$	$\left\{x:x\geq a\right\}$
Semua bilangan yang lebih besar dari $a$.	$\left(a,\infty \right)$	$\left\{x:x>a\right\}$
Semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan $a$.	$\left(-\infty ,a\right]$	$\left\{x:x\leq a\right\}$
Semua bilangan yang lebih kecil dari $a$.	$\left(-\infty ,a\right)$	$\left\{x:x<a\right\}$
Semua bilangan memenuhi	$\left(-\infty ,\infty \right)$	$\left\{x:x\in \mathbb {R} \right\}$

Perlu dicatat bahwa $\infty$ dan $-\infty$ harus selalu memakai kurung biasa (bukan kurung siku) karena $\infty$ bukan angka dan dengan begitu tidak termasuk dalam himpunan. $\infty$ hanyalah sebuah simbol yang tujuannya hanya untuk memudahkan penulisan.

Interval dengan kurung biasa (a,b) disebut interval terbuka, dan interval dengan kurung siku [a,b] disebut interval tertutup.

Kita dapat menggunakan lambang $\in$ untuk menunjukkan apakah sebuah elemen termasuk di dalam interval. Contohnya, $2\in [1,3]$. Sedangkan, simbol $\notin$ digunakan apabila sebuah elemen tidak termasuk dalam interval. Sebagai contoh $0\notin (0,1)$.

Eksponen dan radikal

Ada beberapa aturan dalam eksponen dan radikal yang harus selalu anda ingat. Sebagai definisinya, jika n merupakan angka bulat positif maka $a^{n}$ menyatakan n faktor dari a. Maka:

$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a\qquad (n~{\mbox{kali}}).$

Jika $a\not =0$ maka kita dapat mengatakan bahwa $a^{0}=1\,$.

Jika n merupakan bilangan bulat positif maka kita dapat menyatakan $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}.$

Jika kita mempunyai eksponen yang berupa bilangan pecahan maka kita dapat menyatakannya sebagai $a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.$

Berikut ini adalah beberapa aturan dalam eksponen:

Aturan	Contoh
$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$	$3^{6}\cdot 3^{9}=3^{15}$
${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$	${\frac {x^{3}}{x^{2}}}=x^{1}=x$
$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$	$(x^{4})^{5}=x^{20}\,\!$
$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\,\!$	$(3x)^{5}=3^{5}x^{5}\,\!$
${\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$	${\bigg (}{\frac {7}{3}}{\bigg )}^{3}={\frac {7^{3}}{3^{3}}}.$

Faktor dan akar faktor

Jika kita mempunyai pernyataan $x^{2}+3x+2$, maka mungkin muncul pertanyaan "berapa nilai x yang membuat pernyataan ini bernilai nol?". Jika kita memfaktorkannya maka kita akan mendapatkan:

$x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1).\,\!$

Jika x=-1 atau -2, maka salah satu factor di sebelah kanan akan menjadi nol. Maka, nilai pernyataan tersebut pasti akan menjadi nol juga. Maka, dengan memfaktorkan kita dapat menemukan nilai x yang menjadikan penyataan tersebut bernilai nol. Nilai -1 dan -2 inilah yang disebut dengan "akar faktor". Secara umum, jika ada suatu polinomial kuadrat $px^{2}+qx+r$ dengan faktor-faktornya

$px^{2}+qx+r=(ax+c)(bx+d)\,\!$

Maka kita mempunyai nilai x=-c/a dan x=-d/b sebagai akar-akar polinomial.

Ada kasus khusus pada polinomial $a^{2}-b^{2}$. Pada pernyataan ini, kita dapat memfaktorkannya sebagai

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).\,\!$

Sebagai contoh, $4x^{2}-9$. Kalau kita lihat, keduanya mempunyai akar kuadrat $(2x)^{2}=4x^{2}$ and $3^{2}=9$). Maka, dengan mengaplikasikan aturan diatas, kita dapat memfaktorkannya menjadi:

$4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3).\,\!$

Rumus abc
Akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0$ dapat dicari dengan rumus ABC, yaitu:
$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Contoh Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat $4x^{2}+7x-2$

Jawaban: Dengan menggunakan rumus abc:$a=4,b=7,c=-2$, maka:
$x={\frac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4(4)(-2)}}}{2(4)}}$

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {49+32}}}{8}}$

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {81}}}{8}}$

$x={\frac {-7\pm 9}{8}}$

$x={\frac {2}{8}},x={\frac {-16}{8}}$

$x={\frac {1}{4}},x=-2$

Menyederhanakan pernyataan rasional

Anggaplah ada 2 polinomial:

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

dan

$q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.$

Jika kita ingin membagi polinomial p(x) dengan q(x) maka akan menjadi:

${\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}.$

Rasio dari 2 polinomial tersebut disebut dengan ekspresi rasional. Banyak di antaranya kita dapat menyederhanakannya, seperti misalnya ${\frac {x^{2}-1}{x+1}}.$. Kita dapat menyederhanakannya menjadi:

${\frac {x^{2}-1}{x+1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x+1}}=x-1,\qquad x\neq -1\,\!$

Beberapa rumus perkalian polinomial

Berikut ini adalah beberapa rumus perkalian polinomial yang (mungkin) harus anda ketahui untuk menyelesaikan polinomial:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$

Pembagian polinomial

Jika kita ingin membagi polinomial satu dengan polinomial lainnya, maka kita dapat menggunakan pembagian bersusun.

Contoh Bagilah $x^{2}-2x-15$ dengan $x+3$!

Jawaban:

${\begin{array}{rl}&~~\,x-5\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~-5x-15~~~\\&\!\!\!\!~~~-{\underline {(-5x-15)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\\end{array}}$