Subjek:Matematika/Materi:Lingkaran

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Subbagian ini akan membahas tentang lingkaran, persamaan lingkaran, beserta dengan garis singgung lingkaran.

Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.

Persamaan umum lingkaran adalah:

 \boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2

Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):

r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}

Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :

d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C=0:

 r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!

Jawab:

 r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}
 r= \sqrt {25}
 r= 5
 \boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
 \boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25
 x^2+y^2-4x-14y+28=0

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola  y=x^2-2x+5 dan menyinggung garis  3x+4y+5=0!

Jawab:

 y=x^2-2x+5
 x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1
 y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

 3x+4y+5=0
 A=3, B=4, C=5
d = r =  \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert
d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert
d = r = \frac {24}{5}
 \boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
 \boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}
 x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0
 25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.

Lihat diskriminannya:  D=b^2-4 ac

Jika

  • D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
  • D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
  • D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

  • Tentukan posisi garis:
    •  y= x+10 terhadap lingkaran  x^2+y^2= 9

Jawab:

 x^2 + (x+10)^2=9
 x^2+ (x^2+20x+100)-9=0
 2x^2 +20x+91=0
 D=b^2-4 ac
 D=20^2- 4\times 91 \times 2
 D= 400-728= -328

Karena  D<0, maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh 2:

  • Tentukan p agar garis y= -x+p terletak di luar lingkaran  x^2+y^2-2x-4y+3=0!

Jawab:

 x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0
 2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0
 2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0
syarat:  D<0
 (2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0
 4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0
 -4p^2+24p-20<0
 -4(p^2-6p+5)<0
 -4(p-5)(p-1)<0
 p=5 atau  p=1

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: p<1 atau  p>5

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

  • Jika persamaan lingkaran  x^2+y^2=r^2, maka persamaan garis singgungnya:
 x_1x + y_1y = r^2


  • Jika persamaan lingkaran  (x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2, maka persamaan garis singgungnya:
 (x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2


  • Jika persamaan lingkaran berbentuk  x^2 + y^2 + Ax + By + C =0, maka persamaan garis singgungnya:
 x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0

Persamaan lingkaran  x^2 + y^2 + Ax + By + C =0 dapat juga diubah menjadi  (x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2 dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

 y = mx \pm r \sqrt {m^2+1} atau  y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}
Wikipedia-logo-id.png
Wikipedia memiliki artikel ensiklopedia mengenai: