Subjek:Matematika/Materi:Matriks

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Penulisan matriks:


\begin{pmatrix}
 2 & 3 \\
 1 & 4
\end{pmatrix}

atau


\begin{bmatrix}
 2 & 3 \\
 1 & 4
\end{bmatrix}

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).


\begin{pmatrix}
 2 & 3 & 5 \\
 1 & 4 & -7
\end{pmatrix}
Matriks di atas berordo 3x2.

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

 I=
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Matriks Transpose (At)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

 A=
\begin{pmatrix}
 2 & 3 & 5 \\
 1 & 4 & -7
\end{pmatrix}

maka matriks transposenya (At) adalah  A^t=
\begin{pmatrix}
 2 & 1 \\
 3 & 4 \\
 5 & -7
\end{pmatrix}

Operasi perhitungan pada matriks

Kesamaan 2 matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh:  
\begin{pmatrix}
 2 & 3 & 5 \\
 1 & 4 & -7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 2 & 6x & z-y \\
 2y+2 & 4 & -7
\end{pmatrix}

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

 6x=3 maka  x= \frac {1}{2}
 2y+2=1 maka  y= -\frac {1}{2}
 z-y=5 maka  z= \frac {9}{2}
 2x-y+5z
 = 2\left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac {1}{2}+ 5 \left ( \frac{9}{2} \right )
 = 23

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh:  
\begin{pmatrix}
 2 & 3 & 5 \\
 1 & 4 & -7
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
 2 & 6x & z-y \\
 2y+2 & 4 & -7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 4 & 3+6x & 5+z-y \\
 2y+3 & 8 & -14
\end{pmatrix}

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh:  
\begin{pmatrix}
 2 & 3 & 5 \\
 1 & 4 & -7
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
 2 & 6x & z-y \\
 2y+2 & 4 & -7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 0 & 3-6x & 5-z-y \\
 -2y-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

 
3
\begin{pmatrix}
 2 & 6x & z-y \\
 2y+2 & 4 & -7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 6 & 18x & 3z-3y \\
 6y+6 & 12 & -21
\end{pmatrix}

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

A=
\begin{pmatrix}
 a & b \\
 c & d 
\end{pmatrix}
dan B=
\begin{pmatrix}
 p & q \\
 r & s 
\end{pmatrix}

maka  A \times B=
\begin{pmatrix}
 ap+br & aq+bs \\
 cp+dr & cq+ds 
\end{pmatrix}

Contoh:

 
\begin{pmatrix}
 2 & 6 \\
 3 & 4 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 9 & 8 \\
 2 & 10
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 30 & 76 \\
 35 & 64
\end{pmatrix}

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

 A=
\begin{pmatrix}
 a & b \\
 c & d
\end{pmatrix}

maka Determinan A (ditulis  \left\vert A \right\vert ) adalah:

 \left\vert A \right\vert= a \times d - b \times c

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika  A=
\begin{pmatrix}
 a & b & c \\
 d & e & f \\
 g & h & i
\end{pmatrix}
maka tentukan  \left\vert A \right\vert !

 \left\vert A \right\vert =
\left\vert
\begin{matrix}
 a & b & c \\
 d & e & f \\
 g & h & i 
\end{matrix}
\right\vert
\begin{matrix}
 a & b \\
 d & e \\
 g & h  
\end{matrix}

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

 \left\vert A \right\vert = a.e.i + b.f.g + c.d.h - g.e.c - h.f.a - i.d.b

Contoh:

 A=
\begin{pmatrix}
 -2 & 0 & 1 \\
 3 & 2 & -1 \\
 1 & -3 & 5
\end{pmatrix}
maka tentukan  \left\vert A \right\vert !

 \left\vert A \right\vert =
\left\vert
\begin{matrix}
 -2 & 0 & 1 \\
 3 & 2 & -1 \\
 1 & -3 & 5
\end{matrix}
\right\vert
\begin{matrix}
 -2 & 0  \\
 3 & 2  \\
 1 & -3 
\end{matrix}

 \left\vert A \right\vert = (-2.2.5) + (0.-1.-1) + (1.3.-3) - (1.2.1) - (-2.-1.-3) - (0.3.5) = -20+0-9-2+6-0 = -25

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika  P=
\begin{pmatrix}
 -2 & 0 & 1 \\
 3 & 2 & -1 \\
 1 & -3 & 5
\end{pmatrix}
maka tentukan  \left\vert P \right\vert dengan ekspansi baris pertama!

 \left\vert P \right\vert= -2
\left\vert
\begin{matrix}
  2 & -1 \\
 -3 & 5
\end{matrix} 
\right\vert
-0
\left\vert
\begin{matrix}
  3 & -1 \\
  1 & 5
\end{matrix} 
\right\vert
+1
\left\vert
\begin{matrix}
  3 & 2 \\
 1 & -3
\end{matrix} 
\right\vert

 \left\vert P \right\vert= -2 (10-3) -0 + 1(-9-2) = -25

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

 P=
\begin{pmatrix}
 -4 &  5x\\
 -x & 20
\end{pmatrix}

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

 -80+5x^2 = 0
 5 (x^2-16)=0
 x = -4 vs  x=4

Invers matriks

Invers matriks 2x2

Misalkan:

 A=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d
\end{pmatrix}

maka inversnya adalah:

 A^{-1}= \frac {1}{\left\vert A \right\vert}
\begin{pmatrix}
 d & -b\\
 -c & a
\end{pmatrix}
=
\frac {1}{a.d-b.c}
\begin{pmatrix}
 d & -b\\
 -c & a
\end{pmatrix}

Sifat-sifat invers matriks

 A . A^{-1} = I = A^{-1}. A
 (AB)^{-1}  B^{-1}. A^{-1}
 (A^{-1})^{-1} = A
 AI = A = IA

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

  • Jika diketahui matriks A.X=B
 A.X=B
 A^{-1}.A.X = A^{-1}.B
 I.X = A^{-1}.B
 X= A^{-1}.B
  • Jika diketahui matriks X.A=B
 X.A=B
 X.A.A^{-1} = B.A^{-1}
 X.I = B.A^{-1}
 X= B.A^{-1}
Wikipedia-logo-id.png
Wikipedia memiliki artikel ensiklopedia mengenai:
Wikipedia-logo-id.png
Wikipedia memiliki artikel ensiklopedia mengenai: