Kalkulus/Aljabar: Perbedaan antara revisi

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan
Baris 132: Baris 132:


Jika kita mempunyai eksponen yang berupa bilangan pecahan maka kita dapat menyatakannya sebagai <math> a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m .</math>
Jika kita mempunyai eksponen yang berupa bilangan pecahan maka kita dapat menyatakannya sebagai <math> a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m .</math>

Berikut ini adalah beberapa aturan dalam eksponen:
<center>
{| class="wikitable"
! Aturan
! Contoh
|-
| <math> a^n \cdot a^m = a^{n+m} </math>
| <math> 3^6 \cdot 3^9 = 3^{15} </math>
|-
| <math> \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} </math>
| <math> \frac{x^3}{x^2} = x^{1} = x </math>
|-
| <math> (a^n)^m = a^{n\cdot m} </math>
| <math> (x^4)^5 = x^{20} \,\!</math>
|-
| <math> (ab)^n = a^n b^n \,\!</math>
| <math> (3x)^5 = 3^5 x^5 \,\!</math>
|-
| <math> \bigg(\frac{a}{b}\bigg)^n = \frac{a^n}{b^n} </math>
| <math> \bigg(\frac{7}{3}\bigg)^3 = \frac{7^3}{3^3}. </math>
|}
</center>
[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Kalkulus]]

Revisi per 20 Januari 2013 04.13

Aturan aritmatika dan aljabar

Aturan-aturan berikut ini benar untuk semua a, b, dan c, dimana a, b, dan c merupakan angka, variabel, fungsi, atau persamaan lain yang lebih kompleks yang didalamnya terdapat angka, variabel, dan/atau fungsi.

Penjumlahan

  • Sifat komutatif: .
  • Sifat asosiatif: .
  • Identitas penjumlahan: .
  • Invers penjumlahan: .

Pengurangan

  • Definisi: .

Perkalian

  • Sifat komutatif: .
  • Sifat asosiatif: .
  • Identitas perkalian: .
  • Invers perkalian: ,
  • Sifat distributif: .

Pembagian

  • Definisi: , .

Coba lihat contoh dibawah ini untuk melihat bagaimana aturan-aturan diatas dipraktekkan.

= (dari definisi pembagian)
= (dari sifat asosiatif perkalian)
= (dari sifat invers perkalian)
= (dari identitas perkalian)

Tentu saja, cara diatas jauh lebih panjang daripada hanya mencoret dari pembilang dan penyebut. Tapi, dengan mencoret, sebenarnya kamu juga melakukan tahapan diatas, hanya saja lebih dipersingkat. Dengan tahapan diatas, diharapkan kamu benar-benar memahami aturan-aturan yang ada.

Notasi interval

Ada beberapa sedikit perbedaan simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu interval (semua angka yang berada diantara 2 angka) spesifik tertentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pertidaksamaan. Jika kita ingin menyatakan semua angka yang berada diantara, katakan, 2 dan 4, maka kita dapat menuliskannya "semua x yang memenuhi 2<x<4". Tanda ini menunjukkan bahwa titik 2 dan 4 tidak termasuk karena kita menggunakan tanda . Jika kita ingin memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka kita menuliskannya dengan "semua x yang memenuhi ".

Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan interval ini adalah dengan menggunakan notasi interval. Jika kita ingin menuliskan "semua x yang memenuhi 2<x<4" maka kita dapat menuliskannya dengan (2,4). Dengan notasi ini, titik 2 dan 4 tidak termasuk dalam interval. Jika kita mau memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka penulisannya menjadi [2,4]. Jika kita hanya ingin memasukkan titik 2 saja tanpa titik 4 ke dalam interval, maka penulisannya menjadi [2,4); jika hanya titik 4 saja tanpa titik 2, penulisannya menjadi (2,4].

Maka, kita memiliki beberapa notasi interval berikut ini:

Kondisi Notasi pertidaksamaan Notasi interval
2 dan 4 termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi
2 dan 4 tidak termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi
2 termasuk tapi 4 tidak termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi
2 tidak termasuk tapi 4 termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi

Secara umum, kita memiliki tabel berikut ini:

Arti Notasi interval Notasi set
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan dan lebih kecil atau sama dengan
Semua bilangan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan dan lebih kecil dari
Semua bilangan yang lebih besar dari dan lebih kecil atau sama dengan
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan .
Semua bilangan yang lebih besar dari .
Semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan .
Semua bilangan yang lebih kecil dari .
Semua bilangan memenuhi

Perlu dicatat bahwa dan harus selalu memakai kurung biasa (bukan kurung siku) karena bukan angka dan dengan begitu tidak termasuk dalam himpunan. hanyalah sebuah simbol yang tujuannya hanya untuk memudahkan penulisan.

Interval dengan kurung biasa (a,b) disebut interval terbuka, dan interval dengan kurung siku [a,b] disebut interval tertutup.

Kita dapat menggunakan lambang untuk menunjukkan apakah sebuah elemen termasuk di dalam interval. Contohnya, . Sedangkan, simbol digunakan apabila sebuah elemen tidak termasuk dalam interval. Sebagai contoh .

Eksponen dan radikal

Ada beberapa aturan dalam eksponen dan radikal yang harus selalu anda ingat. Sebagai definisinya, jika n merupakan angka bulat positif maka menyatakan n faktor dari a. Maka:

Jika maka kita dapat mengatakan bahwa .

Jika n merupakan bilangan bulat positif maka kita dapat menyatakan

Jika kita mempunyai eksponen yang berupa bilangan pecahan maka kita dapat menyatakannya sebagai

Berikut ini adalah beberapa aturan dalam eksponen:

Aturan Contoh