Soal-Soal Matematika/Fungsi transformasi

Fungsi asal f(x)

vertikal (sumbu x, y=a) dan horisontal (sumbu y, x=a)

Translasi

Translasi vertikal (0,a)

(x,y) -> (x,y+a)

maka fungsi bayangan y= f(x)+a

Jika y=a maka bergeser ke atas sejauh a satuan sedangkan y=-a bergeser ke bawah sejauh a satuan

Translasi horisontal (a,0)

(x,y) -> (x+a,y)

maka fungsi bayangan y= f(x+a)

Jika x=a maka bergeser ke kanan sejauh a satuan sedangkan x=-a bergeser ke kiri sejauh a satuan

Refleksi

Refleksi vertikal (y=-1)

(x,y) -> (x,-y)

maka fungsi bayangan y= -f(x)

Jika y=-1 maka bergeser ke bawah

Refleksi horisontal (x=-1)

(x,y) -> (-x,y)

maka fungsi bayangan y= f(-x)

Jika x=-1 maka bergeser ke bawah

Dilatasi

Dilatasi vertikal (y=k)

maka fungsi bayangan y= kf(x)

Jika k>1 maka diperbesar sedangkan 0<k<1 maka diperkecil

Dilatasi horisontal (x=k)

maka fungsi bayangan y= f(kx)

Jika k>1 maka diperbesar sedangkan 0<k<1 maka diperkecil

Rotasi

untuk rotasi dapat dilihat dari matriks transformasi

contoh soal

1. fungsi parabola f(x) = x²-4x-5. tentukan:

• translasi vertikal ke atas 5 satuan
• translasi horisontal ke kiri 7 satuan
• refleksi vertikal (sumbu y)
• refleksi horisontal (sumbu x)
• dilatasi vertikal dengan faktor skala 4 dan titik pusat O
• dilatasi horisontal dengan faktor skala 2 dan titik pusat O
• rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat O
• rotasi sejauh 90° searah jarum jam dengan titik pusat O

Jawaban

$${\begin{aligned}*y&=f(x)+a\\&=x^{2}-4x-5+5\\&=x^{2}-4x\\*y&=f(x+a)\\&=(x+7)^{2}-4(x+7)-5\\&=x^{2}+14x+49-4x-28-5\\&=x^{2}+10x+16\\*y&=-f(x)\\&=-(x^{2}-4x-5)\\&=-x^{2}+4x+5\\y&=f(-x)\\&=(-x)^{2}-4(-x)-5\\&=x^{2}+4x-5\\*y&=kf(x)\\&=4(x^{2}-4x-5)\\&=4x^{2}-16x-20\\*y&=f(kx)\\&=({\frac {1}{2}}x)^{2}-4({\frac {1}{2}}x)-5\\&={\frac {x^{2}}{4}}-2x-5\\\end{aligned}}$$

Jawaban

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}cos90^{\circ }&-sin90^{\circ }\\sin90^{\circ }&cos90^{\circ }\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}\\x'=-y&{\text{ dan }}y'=x\\y&=-x'\\x&=y'\\y&=x^{2}-4x-5\\-x'&=y'^{2}-4(y')-5\\&=y'^{2}-4y'-5\\&=y'^{2}-4y'+4-9\\&=(y'-2)^{2}-9\\(y'-2)^{2}&=-x'+9\\y'&={\sqrt {9-x'}}+2\\\end{aligned}}$$

Jawaban

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}cos(-90)^{\circ }&-sin(-90)^{\circ }\\sin(-90)^{\circ }&cos(-90)^{\circ }\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}y\\-x\\\end{bmatrix}}\\x'=y&{\text{ dan }}y'=-x\\y&=x'\\x&=-y'\\y&=x^{2}-4x-5\\x'&=(-y')^{2}-4(-y')-5\\&=y'^{2}+4y'-5\\&=y'^{2}+4y'+4-9\\&=(y'+2)^{2}-9\\(y'+2)^{2}&=x'+9\\y'&={\sqrt {x'+9}}-2\\\end{aligned}}$$