Soal-Soal Matematika/Transaksi perbankan

Modal dan bunga

Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Bunga tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap.

Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang.

Bunga tunggal setoran tunggal

• suku bunga (?)

${\text{suku bunga}}={\frac {\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}}}\times 100$

• suku bunga per satuan waktu

$b=M_{o}\cdot i$

• bunga

$B_{n}=b\cdot n=M_{o}\cdot i\cdot n$

• modal

$M_{n}=M_{o}(1+in)$ atau $M_{n}=M_{o}+B_{n}$

keterangan:

1. b adalah suku bunga per satuan waktu
2. Bn adalah besar bunga yang diterima per periode
3. Mo adalah modal yang dipinjamkan (awal)
4. i adalah persentase bunga (suku bunga)
5. n adalah periode penyimpanan menabung
6. Mn adalah modal yang dikembalikan (akhir) setelah satu periode

contoh

1. Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga sebesar 11% per tahun dalam jangka waktu 5 tahun?

Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun:

b = i x M_o

= 11/100 x 2.000.000 = 220.000

Bunga dalam 5 tahun:

B_n = n x b

= 5 x 220.000 = 1.100.000

Modal seluruhnya

M_n = M_o + B_n

= 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000

atau

$M_{n}=M_{o}(1+in)$

$M_{5}=2.000.000\cdot (1+{\frac {11\cdot 5}{100}})$

$M_{5}=2.000.000\cdot (1,55)$

$=3.100.000$

Bunga tunggal setoran berulang

Modal akhir

$M_{n}={\frac {1}{2}}n(ni+i+2)A$

keterangan:

1. Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode
2. n adalah periode menabung
3. i adalah persentase bunga setelah satu periode
4. A adalah setoran setiap bulan

contoh

1. Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya?

$M_{n}={\frac {1}{2}}n(ni+i+2)A$

$19.200.000={\frac {1}{2}}\cdot 15\cdot (15\cdot {\frac {0,1}{12}}+{\frac {0,1}{12}}+2)\cdot A$

$19.200.000=7,5\cdot (0,12+0,008+2)\cdot A$

$19.200.000=7,5\cdot (2,128)\cdot A$

$19.200.000=15,96\cdot A$

$A={\frac {19.200.000}{15,96}}$

$A=1.203.007,51$

Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran.

Bunga majemuk

• suku bunga (?)

${\text{suku bunga}}={\frac {\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}}}\times 100$

• suku bunga per satuan waktu

$b=M_{o}\cdot i$

• bunga

$B_{n}=M_{o}\cdot i\cdot (1+i)^{n-1}$

• modal

umum

$M_{n}=M_{o}(1+i)^{n}$

besaran bunga kumulatif yang didapat (jarak periode ke-n dengan periode awal)

$B_{n}=M_{n}-M_{o}=M_{o}(1+i)^{n}-M_{o}$ $=M_{o}((1+i)^{n}-1)$

besaran bunga per periode (jarak periode ke-n dengan periode ke-n-1)

$B_{n}=M_{n}-M_{n-1}=M_{o}(1+i)^{n}-M_{o}(1+i)^{n-1}$ $=M_{o}((1+i)^{n}-(1+i)^{n-1})$

keterangan:

1. Bn = besar bunga pada periode n
2. Mo = modal awal
3. Mn = tabungan (modal akhir) setelah n periode
4. M_n-1 = tabungan (modal akhir) setelah n-1 periode
5. i = persentase bunga (suku bunga)
6. n = periode penyimpanan menabung

contoh

1. Ibu menabung sebesar Rp. 100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% per triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun!

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=100.000\\i&=0,045\\{\text{1 triwulan = 3 bulan}}\\{\text{3,5 tahun = 42 bulan}}\\n&=14\\M_{n}&=M_{o}(1+i)^{n}\\M_{14}&=100.000(1+0,045)^{14}\\&=100.000(1,045)^{14}\\&=185.194,492\\\end{aligned}}$$

1. Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp. 10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10?

(?)

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=10.000.000\\i&=0,05\\n&=10\\B_{n}=M_{n}-M_{o}&=M_{o}((1+i)^{n}-1)\\M_{10}-M_{o}&=10.000.000((1+0,05)^{10}-1)\\&=10.000.000((1+0,05)^{10}-1)\\&=10.000.000((1,05)^{10}-1)\\&=6.288.964,27\\\end{aligned}}$$

atau

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=10.000.000\\i&=0,05\\n&=10\\B_{n}=M_{n}-M_{n-1}&=M_{o}((1+i)^{n}-(1+i)^{n-1})\\M_{10}-M_{10-1}&=10.000.000((1+0,05)^{10}-(1+0,05)^{10-1})\\M_{10}-M_{9}&=10.000.000((1+0,05)^{10}-(1+0,05)^{9})\\&=10.000.000((1,05)^{10}-(1,05)^{9})\\&=10.000.000((1,05)^{9}(1,05-1))\\&=775.664,108\\\end{aligned}}$$

Anuitas dan bunga

rumus:

A = a_n+b_n atau Anuitas = Angsuran + Bunga

a_n = a₁(1+i)^n-1

a_n = a_k(1+i)^n-k

b_n = M i

Anuitas

tanpa tabel

rumus: A = ${\frac {Mi(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$ atau ${\frac {Mi}{1-(1+i)^{-n}}}$

dengan tabel

rumus: A = M x A_n¬i

A = a₁+b₁ = a₂+b₂ = a₃+b₃ = …. = a_n+b_n disebut tabel amortisasi

Keterangan:

A = Anuitas

a_n = angsuran ke-n

a₁ = angsuran ke-1

a_k = angsuran ke-k

A_n¬i = daftar anuitas dengan jangka waktu suku bunga i%

b_n = bunga

M = besarnya pinjaman

i = persentase bunga (suku bunga)

contoh

1. Rudi meminjam uang sebesar Rp. 4.500.000,00 dengan suku bunga 5% per bulan dalam anuitas bulanan Rp. 350.000,00. Tentukanlah:

besar bunga dan angsuran pertama!

besar bunga dan angsuran kelima!

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=4.500.000\\i&=0,05\\A&=350.000\\*b_{1}&=M_{o}\cdot i\\&=4.500.000\cdot 0,05\\&=225.000\\A&=a_{1}+b_{1}\\350.000&=a_{1}+225.000\\a_{1}&=125.000\\*a_{5}&=a_{1}(1+i)^{5-1}\\&=125.000(1+0,05)^{4}\\&=125.000(1,05)^{4}\\&=151.938,281\\A&=a_{5}+b_{5}\\350.000&=151.938,281+b_{1}\\b_{5}&=198.061,719\\\end{aligned}}$$

1. Lala meminjam uang sebesar Rp. 5.000.000,00 dengan suku bunga 3% per bulan dalam anuitas bulanan sebanyak 5 kali. Tentukanlah besar anuitas tersebut!

Jawaban

$${\begin{aligned}M&=5.000.000\\i&=0,03\\n&=5\\A&={\frac {M\cdot i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}\\&={\frac {5.000.000\cdot 0,03\cdot (1+0,03)^{5}}{(1+0,03)^{5}-1}}\\&={\frac {150.000\cdot (1,03)^{5}}{(1,03)^{5}-1}}\\&={\frac {173.891,111}{0,1592}}\\&=1.092.280,85\\\end{aligned}}$$

1. Perhatikan tabel anuitas dibawah ini!

Tabel anuitas (dalam rupiah)

Bulan ke-	Besarnya pinjaman	Anuitas = 400.000		Sisa pinjaman
		Bunga (4%)	Angsuran
1	6.000.000	…	…	…
2	…	…	…	…
3	…	…	…	…
4	…	…	…	…
5	…	…	…	…
6	…	…	…	…

Isilah pada jawaban kolom kotak tersebut!

jawab

Tabel anuitas (dalam rupiah)

Bulan ke-	Besarnya pinjaman	Anuitas = 400.000		Sisa pinjaman
		Bunga (4%)	Angsuran
1	6.000.000	240.000	160.000	5.840.000
2	5.840.000	233.600	166.400	5.673.600
3	5.673.600	226.944	173.056	5.500.544
4	5.500.544	220.021,16	179.978,84	5.320.565,16
5	5.320.565,16	212.822,606	187.177,394	5.133.387,77
6	5.133.387,77	205.335,511	194.664,489	4.928.052,26

Aritmatika sosial

$B={\frac {b}{12}}\cdot {\frac {P}{100}}\cdot M_{o}$

Modal akhir = Modal awal + Bunga

keterangan:

1. B = besar bunga (modal akhir-modal awal)
2. b = lamanya menabung (bulan)
3. P = persentase bunga (suku bunga)
4. Mo = modal awal

contoh

1. Rani menabung sebesar Rp. 4.500.000,00 dengan bunga 5% per bulan. Tentukanlah:

besar bunga yang diterima setelah 8 bulan!

modal yang diterima setelah 8 bulan!

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=5.000.000\\P&=5\\b&=8\\*B&={\frac {b}{12}}\cdot {\frac {P}{100}}\cdot M_{o}\\&={\frac {8}{12}}\cdot {\frac {5}{100}}\cdot 4.500.000\\&=150.000\\*M_{8}&=M_{o}+B\\&=4.500.000+150.000\\&=4.650.000\\\end{aligned}}$$