Teori grup

Definisi dasasr

Definisi: Misalkan $G$ himpunan tidak kosong.

Operasi biner pada $G$ adalah pemetaan $\circ :G\times G\rightarrow G$ . Notasi: $a\circ b\in G$ untuk $a,b\in G$ .
Suatu himpuan $G$ yang dilengkapi operasi biner $\circ$ disebut grupoid. Notasi: $(G,\circ )$

Contoh:

$(\mathbb {N} ,+),(\mathbb {Z} ,+),(\mathbb {N} ,\cdot )$ dan $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ .
$(\mathbb {K} ,+)$ dan $(\mathbb {K} ,\cdot )$ , di mana $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ atau $\mathbb {C}$ .

Definisi: Suatu grupoid $(G,\circ )$ disebut grup jika ia memenuhi hukum-hukum berikut:

(G1) $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ unuk semua $a,b,c\in G$ . (Hukum assotiatif)
(G2) Terdapat suatu anggota $e\in G$ sehingga $a\circ e=e\circ a=a$ untuk semua $a\in G$ . ( $e$ disebut anggota identitas)
(G3) Terdapat suatu anggota identitas $e\in G$ sehingga: untuk setiap $a\in G$ terdapat suatu $b\in G$ sehingga $a\circ b=b\circ a=e$ . (Hukum invers, Notasi $b=a^{-1}$ )

Suatu grup $(G,\circ )$ adalah grup Abelian (atua grup komutatif) jika itu memnuhi jugaasi

(G4) $a\circ b=b\circ a$ untuk semua $a,b\in G$ . (Hukum komutatif)

Catatan

Untuk mendefinisikan grup kita dapat menganti (G2) dan (G3) dengan (G2)' dan (G3)' berikut:

(G2)' Terdapat suatu anggota $e\in G$ sehingga $a\circ e=a$ untuk semua $a\in G$ . ( $e$ disebut anggota identitas kanan)
(G3)' Terdapat suatu anggota identitas kanan $e\in G$ sehingga: untuk setiap $a\in G$ terdapat suatu $b\in G$ sehingga $a\circ b=e$ . (Hukum invers kanan)

Kita membuktikan fakta di atas sebagai Lemma 1, Lemma 2 dan Lemma 3.

Lemma 1: Misalkan $(G,\circ )$ memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan $e\in G$ dari (G3)' . Jika $a,b\in G$ memenuhi $a\circ b=e$ maka $b\circ a=e$ .

Bukti: Dengan (G3)' terdapat $c\in G$ sehingga $b\circ c=e$ . Akibatnya dengan (G1) dan (G2)'

e=b\circ c=(b\circ e)\circ c=(b\circ (a\circ b))\circ c=((b\circ a)\circ b)\circ c=(b\circ a)\circ (b\circ c)=(b\circ a)\circ e=b\circ a

. □

Lemma 2: Misalkan $(G,\circ )$ memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan $e\in G$ dari (G3)' . Maka $e\circ a=a$ untuk semua $a\in G$ .

Bukti: Misalkan $a\in G$ . Dengan (G3)' terdapat $b\in G$ sehingga $a\circ b=e$ . Dengan menggunakan Lemma 1 juga $b\circ a=e$ . Oleh karena itu dengan (G1) dan (G2)'

e\circ a=(b\circ a)\circ a=b\circ (a\circ b)=b\circ e=b.

□

Lemma 3: Misalkan $(G,\circ )$ memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' . Jika terdapat hanya satu anggota identitas.

Bukti: Misalkan $e\in G$ dari (G3)' dan $e'\in G$ juga suatu anggota identitas. Karena $a\circ e'=e'$ untuk semua $a\in G$ dengan (G2)' maka $e\circ e'=e'$ . Dengan Lemma 2 untuk $a=e'$ didapat juga $e\circ e'=e$ . Oleh karena itu $e'=e$ . □

Sifat-Sifat

Teorema (Sifat kanselasi): Misalkan $a,b,c\in G$ .

Jika $a\circ b=a\circ c$ maka $b=c$ .
Jika $b\circ a=c\circ a$ maka $b=c$ .

Bukti: Dengan (G3) terdapat $d\in G$ sehingga $a\circ d=\circ d\circ a=e$ . Oleh karena itu jika $a\circ b=a\circ c$ maka dengan (G1)

b=e\circ b=(d\circ a)\circ b=d\circ (a\circ b)=d\circ (a\circ c)=(d\circ a)\circ c=e\circ c=c.

Jika $b\circ a=c\circ a$ maka dengan (G1) dan (G2)

b=b\circ e=b\circ (a\circ d)=(b\circ a)\circ d=(c\circ a)\circ d=c\circ (a\circ d)=c\circ e=c.

□

Teorema $(a^{-1})^{-1}=a$ .

Bukti: $a^{-1}\circ a=a\circ a^{-1}$ dari Definisi $a^{-1}$ yang berarti bahwa $a$ elemen invers untuk $a^{-1}$ . □

Grup bagian

Definisi: Misalkan $(G,\circ )$ grup. Suatu himpunan bagian $H\subseteq G$ disebut grup bagian (persisnya $(H,\circ )$ grup bagian $(G,\circ )$ ), jika ia memenuhi sifat-sifat berikut:

$e\in H$ .
Jika $a,b\in H$ maka $a\circ b\in H$ .
Jika $a\in H$ maka $a^{-1}\in H$ .

Teorema: Misalkan $(G,\circ )$ grup dan $H\subseteq G$ himpuan bagian tidak kosong. $(H,\circ )$ grup bagian jika dan hanya jika $a\circ b^{-1}\in H$ untuk semua $a,b\in H$ .

Bukti: Misalkan $(H,\circ )$ grup bagian dan $a,b\in H$ . Dari 3 Definisi di atas $b^{-1}\in H$ dan dari 2 juga $a\circ b^{-1}\in H$ . Sebaliknya misalkan $a\circ b^{-1}\in H$ untuk semua $a,b\in H$ . Kita memeriksa Definisi 1, 2 dan 3. Karena $H$ tidak kosong, ada $a\in H$ . 1 benar karena $e=a\circ a^{-1}\in H$ . 3 benar karena $a^{-1}=e\circ a^{-1}\in H$ . 2 juga benar karena $a\circ b=a\circ (b^{-1})^{-1}\in H$ .□