Definisi:
Misalkan
himpunan tidak kosong.
- Operasi biner pada
adalah pemetaan
. Notasi:
untuk
.
- Suatu himpuan
yang dilengkapi operasi biner
disebut grupoid. Notasi: 
Contoh:
dan
.
dan
, di mana
atau
.
Definisi:
Suatu grupoid
disebut grup jika ia memenuhi hukum-hukum berikut:
- (G1)
unuk semua
. (Hukum assotiatif)
- (G2) Terdapat suatu anggota
sehingga
untuk semua
. (
disebut anggota identitas)
- (G3) Terdapat suatu anggota identitas
sehingga: untuk setiap
terdapat suatu
sehingga
. (Hukum invers, Notasi
)
Suatu grup
adalah grup Abelian (atua grup komutatif) jika itu memnuhi jugaasi
- (G4)
untuk semua
. (Hukum komutatif)
Untuk mendefinisikan grup kita dapat menganti (G2) dan (G3) dengan (G2)' dan (G3)' berikut:
- (G2)' Terdapat suatu anggota
sehingga
untuk semua
. (
disebut anggota identitas kanan)
- (G3)' Terdapat suatu anggota identitas kanan
sehingga: untuk setiap
terdapat suatu
sehingga
. (Hukum invers kanan)
Kita membuktikan fakta di atas sebagai Lemma 1, Lemma 2 dan Lemma 3.
Lemma 1:
Misalkan
memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan
dari (G3)' . Jika
memenuhi
maka
.
Bukti:
Dengan (G3)' terdapat
sehingga
. Akibatnya dengan (G1) dan (G2)'
. □
Lemma 2:
Misalkan
memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan
dari (G3)' . Maka
untuk semua
.
Bukti:
Misalkan
. Dengan (G3)' terdapat
sehingga
. Dengan menggunakan Lemma 1 juga
. Oleh karena itu dengan (G1) dan (G2)'
□
Lemma 3:
Misalkan
memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' . Jika terdapat hanya satu anggota identitas.
Bukti:
Misalkan
dari (G3)' dan
juga suatu anggota identitas. Karena
untuk semua
dengan (G2)' maka
. Dengan Lemma 2 untuk
didapat juga
. Oleh karena itu
. □
Teorema (Sifat kanselasi):
Misalkan
.
- Jika
maka
.
- Jika
maka
.
Bukti:
Dengan (G3) terdapat
sehingga
. Oleh karena itu jika
maka dengan (G1)

Jika
maka dengan (G1) dan (G2)
□
Teorema
.
Bukti:
dari Definisi
yang berarti bahwa
elemen invers untuk
. □
Definisi:
Misalkan
grup. Suatu himpunan bagian
disebut grup bagian (persisnya
grup bagian
), jika ia memenuhi sifat-sifat berikut:
.
- Jika
maka
.
- Jika
maka
.
Teorema:
Misalkan
grup dan
himpuan bagian tidak kosong.
grup bagian jika dan hanya jika
untuk semua
.
Bukti:
Misalkan
grup bagian dan
. Dari 3 Definisi di atas
dan dari 2 juga
. Sebaliknya misalkan
untuk semua
. Kita memeriksa Definisi 1, 2 dan 3. Karena
tidak kosong, ada
. 1 benar karena
. 3 benar karena
. 2 juga benar karena
.□