Aljabar abstrak

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Teori grup[sunting]

Definisi dasasr[sunting]

Definisi: Misalkan himpunan tidak kosong.

  • Operasi biner pada adalah pemetaan . Notasi: untuk .
  • Suatu himpuan yang dilengkapi operasi biner disebut grupoid. Notasi:

Contoh:

  1. dan .
  2. dan , di mana atau .

Definisi: Suatu grupoid disebut grup jika ia memenuhi hukum-hukum berikut:

  • (G1) unuk semua . (Hukum assotiatif)
  • (G2) Terdapat suatu anggota sehingga untuk semua . ( disebut anggota identitas)
  • (G3) Terdapat suatu anggota identitas sehingga: untuk setiap terdapat suatu sehingga . (Hukum invers, Notasi )

Suatu grup adalah grup Abelian (atua grup komutatif) jika itu memnuhi jugaasi

  • (G4) untuk semua . (Hukum komutatif)

Catatan[sunting]

Untuk mendefinisikan grup kita dapat menganti (G2) dan (G3) dengan (G2)' dan (G3)' berikut:

  • (G2)' Terdapat suatu anggota sehingga untuk semua . ( disebut anggota identitas kanan)
  • (G3)' Terdapat suatu anggota identitas kanan sehingga: untuk setiap terdapat suatu sehingga . (Hukum invers kanan)

Kita membuktikan fakta di atas sebagai Lemma 1, Lemma 2 dan Lemma 3.

Lemma 1: Misalkan memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan dari (G3)' . Jika memenuhi maka .

Bukti: Dengan (G3)' terdapat sehingga . Akibatnya dengan (G1) dan (G2)'

. □

Lemma 2: Misalkan memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan dari (G3)' . Maka untuk semua .

Bukti: Misalkan . Dengan (G3)' terdapat sehingga . Dengan menggunakan Lemma 1 juga . Oleh karena itu dengan (G1) dan (G2)'

Lemma 3: Misalkan memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' . Jika terdapat hanya satu anggota identitas.

Bukti: Misalkan dari (G3)' dan juga suatu anggota identitas. Karena untuk semua dengan (G2)' maka . Dengan Lemma 2 untuk didapat juga . Oleh karena itu . □

Sifat-Sifat[sunting]

Teorema (Sifat kanselasi): Misalkan .

  1. Jika maka .
  2. Jika maka .

Bukti: Dengan (G3) terdapat sehingga . Oleh karena itu jika maka dengan (G1)

Jika maka dengan (G1) dan (G2)

Teorema .

Bukti: dari Definisi yang berarti bahwa elemen invers untuk . □

Grup bagian[sunting]

Definisi: Misalkan grup. Suatu himpunan bagian disebut grup bagian (persisnya grup bagian ), jika ia memenuhi sifat-sifat berikut:

  1. .
  2. Jika maka .
  3. Jika maka .

Teorema: Misalkan grup dan himpuan bagian tidak kosong. grup bagian jika dan hanya jika untuk semua .

Bukti: Misalkan grup bagian dan . Dari 3 Definisi di atas dan dari 2 juga . Sebaliknya misalkan untuk semua . Kita memeriksa Definisi 1, 2 dan 3. Karena tidak kosong, ada . 1 benar karena . 3 benar karena . 2 juga benar karena .□