Soal-Soal Matematika/Bangun datar

Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

bangun datar	simetri lipat	simetri putar	sumbu simetri
persegi	4	4	4
segi-n
persegi panjang	2	2	2
segitiga sama sisi	3	3	3
segitiga sama kaki	1	0	1
segitiga siku-siku	1	0	1
lingkaran	takhingga	takhingga	takhingga
jajar genjang	0	2	0
belah ketupat	2	2	2
trapesium sama kaki	1	0	1
trapesium siku-siku	0	0	0
layang-layang	1	0	1
elips	2	0	2

Jenis garis pada segitiga

ada 4 jenis garis pada segitiga yaitu

1. garis tinggi adalah garis memiliki tinggi yang tegak lurus pada salah satu sisi segitiga.
2. garis bagi adalah garis yang membagi sudut yang sama nilainya pada dua sisi yang berdampingan.
3. garis berat adalah garis membagi dua sisi yang sama pada sudut berhimpit segitiga.
4. garis sumbu adalah garis yang mempunyai tinggi di dua sisi yang sama pada satu garis.

Besar sudut keliling dan sudut pusat

sudut pusat = 2 x sudut keliling

Teorema de Poncelet [Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku)]

$r={\frac {a+b-c}{2}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}a-r+b-r&=c\\a+b-2r&=c\\2r&=a+b-c\\r&={\frac {a+b-c}{2}}\\\end{aligned}}$$

Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran

$r={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{ misalkan }}p&={\frac {c+d}{2}}{\text{ dan }}q={\frac {a+b}{2}}\\{\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y}}&\\x+p&=d\\x+{\frac {c+d}{2}}&=d\\x&=d-{\frac {c+d}{2}}\\x&={\frac {d-c}{2}}\\y+q&=b\\y+{\frac {a+b}{2}}&=b\\y&=b-{\frac {a+b}{2}}\\y&={\frac {b-a}{2}}\\y^{2}+p^{2}&=r^{2}\\({\frac {b-a}{2}})^{2}+({\frac {c+d}{2}})^{2}&=r^{2}\\{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}+2cd+d^{2}}{4}}&=r^{2}\\x^{2}+q^{2}&=r^{2}\\({\frac {d-c}{2}})^{2}+({\frac {a+b}{2}})^{2}&=r^{2}\\{\frac {c^{2}-2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}&=r^{2}\\{\text{jumlah dua persamaan tersebut menjadi }}&\\{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}+2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}-2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}&=r^{2}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}&=4r^{2}\\r&={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}\\\end{aligned}}$$

Lingkaran dalam segitiga

$r={\frac {L}{s}}$ (s adalah setengah keliling segitiga)

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{ misalkan luas segitiga AOC }}L_{a}&={\frac {ra}{2}}\\{\text{ misalkan luas segitiga COB }}L_{b}&={\frac {rb}{2}}\\{\text{ misalkan luas segitiga BOC }}L_{c}&={\frac {rc}{2}}\\{\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah }}L&=L_{a}+L_{b}+L_{c}\\&={\frac {ra}{2}}+{\frac {rb}{2}}+{\frac {rc}{2}}\\&=r{\frac {a+b+c}{2}}\\&=rs\\r&={\frac {L}{s}}\\\end{aligned}}$$

Lingkaran luar segitiga

$r={\frac {abc}{4L}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{ lihat posisi kesebangunan }}{\frac {t}{b}}&={\frac {c}{2r}}\\t&={\frac {bc}{2r}}\\L&={\frac {at}{2}}\\&={\frac {abc}{2(2r)}}\\r&={\frac {abc}{4L}}\\\end{aligned}}$$

Garis singgung (satu) lingkaran di titik pusat serta perpanjangan jari-jari

$d={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran

$d={\sqrt {p^{2}-(R+r)^{2}}}$

Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran

$d={\sqrt {p^{2}-(R-r)^{2}}}$

keterangan:

d = panjang singgung persekutuan dalam/luar lingkaran

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

Teorema Ceva

(lingkaran dalam segitiga)

AF x BD x CE = BF x CD x AE

Teorema de Pitot

(lingkaran dalam segiempat)

AB + DC = AD + BC

Teorema Power de Point

(lingkaran luar segiempat)

AE x EC = BE x ED

Tali busur pada satu titik di luar lingkaran

AB² = AD x AE

AB x AC = AD x AE

Teorema Ptolomeos

(lingkaran luar segiempat)

AC x BD = AB x DC + AD x BC

Titik E adalah pertemuan kedua perpanjangan tali busur yang bertemu.

maka sudut E = 1/2 (sudut besar - sudut kecil)

Dua tali busur yang berpotongan

Tali busur AC dan BD memiliki titik potong yaitu T dan O adalah titik pusat maka besar sudut sebagsi berikut:

sudut ATB = 1/2 (sudut AOB+sudut COD)

sudut CTD = sudut ATB

sudut ATD = 1/2 (sudut AOD+sudut BOC)

sudut BTC = sudut ATD

Hubungan besar sudut, luas juring dan panjang busur

${\frac {\text{besar sudut AOB }}{\text{besar sudut COD }}}={\frac {\text{luas juring AOB }}{\text{luas juring COD }}}={\frac {\text{panjang busur AB }}{\text{panjang busur CD }}}$

Panjang tali lilitan minimum

1. lingkaran bertingkat

rumus: (π+n)d

1. lingkarab berjejer

rumus: (π+2(n-1))d

Kesebangunan segitiga pada trapesium

1. panjang EF pada trapesium

1. 1. tidak simetris

rumus: $EF={\frac {AE\cdot DC+ED\cdot AB}{AD}}$ atau $EF={\frac {BF\cdot DC+FC\cdot AB}{BC}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{misalkan titik E diantara AD dan F diantara BC dengan sembarang lalu titik P diantara AB serta Q diantara EF dimana DP sejajar dengan BC sehingga PB=QF=DC }}\\EF&=EQ+QF\\&=EQ+DC\\AP&=AB-PB\\&=AB-DC\\EQ&={\frac {ED\cdot AP}{AD}}\\EF&={\frac {ED\cdot AP}{AD}}+DC\\&={\frac {ED\cdot AP}{AD}}+{\frac {DC\cdot AD}{AD}}\\&={\frac {ED\cdot (AB-DC)}{AD}}+{\frac {DC\cdot (AE+ED)}{AD}}\\&={\frac {ED\cdot AB-ED\cdot DC+DC\cdot AE+DC\cdot ED}{AD}}\\&={\frac {ED\cdot AB+DC\cdot AE}{AD}}\\\end{aligned}}$$

1. 1. simetris

rumus: $EF={\frac {AB+DC}{2}}$

1. titik tengah EF pada trapesium

rumus: ${\frac {AB-DC}{2}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{misalkan titik E di tengah-tengah AE, F di tengah-tengah BD serta Q adalah titik potong AC dan BD serta buatlah garis untuk FG }}\\{\text{lihat segitiga ABC dan segitiga EGC }}\\EG&={\frac {EC\cdot AB}{AC}}\\{\text{lihat segitiga BCD dan segitiga EGC }}\\FG&={\frac {BF\cdot DC}{BD}}\\EF&=EG-FG\\&={\frac {EC\cdot AB}{AC}}-{\frac {BF\cdot DC}{BD}}\\&={\frac {EC\cdot AB}{AC}}-{\frac {EC\cdot DC}{AC}}\\&={\frac {EC\cdot AB-EC\cdot DC}{AC}}\\&={\frac {EC\cdot AB-EC\cdot DC}{2\cdot EC}}\\&={\frac {EC\cdot (AB-DC)}{2\cdot EC}}\\&={\frac {AB-DC}{2}}\\\end{aligned}}$$