Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri
bangun datar
simetri lipat
simetri putar
sumbu simetri
persegi
4
4
4
segi-n
persegi panjang
2
2
2
segitiga sama sisi
3
3
3
segitiga sama kaki
1
0
1
segitiga siku-siku
1
0
1
lingkaran
takhingga
takhingga
takhingga
jajar genjang
0
2
0
belah ketupat
2
2
2
trapesium sama kaki
1
0
1
trapesium siku-siku
0
0
0
layang-layang
1
0
1
elips
2
0
2
Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku)
r
=
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}}
Pembuktian
a
−
r
+
b
−
r
=
c
a
+
b
−
2
r
=
c
2
r
=
a
+
b
−
c
r
=
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle {\begin{aligned}a-r+b-r&=c\\a+b-2r&=c\\2r&=a+b-c\\r&={\frac {a+b-c}{2}}\\\end{aligned}}}
Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran
r
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
4
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}}
Pembuktian
misalkan
p
=
c
+
d
2
dan
q
=
a
+
b
2
misalkan persegi panjang dibuat x dan y
x
+
p
=
d
x
+
c
+
d
2
=
d
x
=
d
−
c
+
d
2
x
=
d
−
c
2
y
+
q
=
b
y
+
a
+
b
2
=
b
y
=
b
−
a
+
b
2
y
=
b
−
a
2
y
2
+
p
2
=
r
2
(
b
−
a
2
)
2
+
(
c
+
d
2
)
2
=
r
2
a
2
−
2
a
b
+
b
2
4
+
c
2
+
2
c
d
+
d
2
4
=
r
2
x
2
+
q
2
=
r
2
(
d
−
c
2
)
2
+
(
a
+
b
2
)
2
=
r
2
c
2
−
2
c
d
+
d
2
4
+
a
2
+
2
a
b
+
b
2
4
=
r
2
jumlah dua persamaan tersebut menjadi
a
2
−
2
a
b
+
b
2
4
+
c
2
+
2
c
d
+
d
2
4
c
2
−
2
c
d
+
d
2
4
+
a
2
+
2
a
b
+
b
2
4
=
2
r
2
2
a
2
+
2
b
2
+
2
c
2
+
2
d
2
4
=
2
r
2
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
)
4
=
2
r
2
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
4
=
r
2
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
=
4
r
2
r
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
4
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ misalkan }}p&={\frac {c+d}{2}}{\text{ dan }}q={\frac {a+b}{2}}\\{\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y}}&\\x+p&=d\\x+{\frac {c+d}{2}}&=d\\x&=d-{\frac {c+d}{2}}\\x&={\frac {d-c}{2}}\\y+q&=b\\y+{\frac {a+b}{2}}&=b\\y&=b-{\frac {a+b}{2}}\\y&={\frac {b-a}{2}}\\y^{2}+p^{2}&=r^{2}\\({\frac {b-a}{2}})^{2}+({\frac {c+d}{2}})^{2}&=r^{2}\\{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}+2cd+d^{2}}{4}}&=r^{2}\\x^{2}+q^{2}&=r^{2}\\({\frac {d-c}{2}})^{2}+({\frac {a+b}{2}})^{2}&=r^{2}\\{\frac {c^{2}-2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}&=r^{2}\\{\text{jumlah dua persamaan tersebut menjadi }}&\\{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}+2cd+d^{2}}{4}}{\frac {c^{2}-2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}&=r^{2}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}&=4r^{2}\\r&={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}\\\end{aligned}}}
Lingkaran dalam segitiga
r
=
L
s
{\displaystyle r={\frac {L}{s}}}
Pembuktian
misalkan luas segitiga AOC
L
a
=
r
a
2
misalkan luas segitiga COB
L
b
=
r
b
2
misalkan luas segitiga BOC
L
c
=
r
c
2
maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah
L
=
L
a
+
L
b
+
L
c
=
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
=
r
a
+
b
+
c
2
=
r
s
r
=
L
s
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ misalkan luas segitiga AOC }}L_{a}&={\frac {ra}{2}}\\{\text{ misalkan luas segitiga COB }}L_{b}&={\frac {rb}{2}}\\{\text{ misalkan luas segitiga BOC }}L_{c}&={\frac {rc}{2}}\\{\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah }}L&=L_{a}+L_{b}+L_{c}\\&={\frac {ra}{2}}+{\frac {rb}{2}}+{\frac {rc}{2}}\\&=r{\frac {a+b+c}{2}}\\&=rs\\r&={\frac {L}{s}}\\\end{aligned}}}
Lingkaran luar segitiga
r
=
a
b
c
4
L
{\displaystyle r={\frac {abc}{4L}}}
Pembuktian
lihat posisi kesebangunan
t
b
=
c
2
r
t
=
b
c
2
r
L
=
a
t
2
=
a
b
c
2
(
2
r
)
r
=
a
b
c
4
L
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ lihat posisi kesebangunan }}{\frac {t}{b}}&={\frac {c}{2r}}\\t&={\frac {bc}{2r}}\\L&={\frac {at}{2}}\\&={\frac {abc}{2(2r)}}\\r&={\frac {abc}{4L}}\\\end{aligned}}}
Garis singgung (satu) lingkaran
d
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle d={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran
d
=
p
2
−
(
R
+
r
)
2
{\displaystyle d={\sqrt {p^{2}-(R+r)^{2}}}}
Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran
d
=
p
2
−
(
R
−
r
)
2
{\displaystyle d={\sqrt {p^{2}-(R-r)^{2}}}}
Teorema Ceva
AF x BD x CE = BF x CD x AE Teorema de Pitot
AB + DC = AD + BC Aspek tali busur dalam lingkaran
AE x EC = BE x ED Teorema Ptolomeo
AC x BD = AB x DC + AD x BC Tali busur pada satu titik di luar lingkaran
(a + b) x b = (c + d) x d 
