Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Rumus barisan dan deret geometri [ sunting ]
U
n
=
a
r
n
−
1
S
n
=
a
(
r
n
−
1
)
r
−
1
bila
r
>
1
S
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
bila
r
<
1
r
=
U
n
U
n
−
1
U
n
=
S
n
−
S
n
−
1
U
t
=
U
1
U
n
r
=
U
n
U
k
n
−
k
nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=ar^{n-1}\\S_{n}&={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}{\text{bila}}r>1\\S_{n}&={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}{\text{bila}}r<1\\r&={\frac {U_{n}}{U_{n-1}}}\\U_{n}&=S_{n}-S_{n-1}\\U_{t}&={\sqrt {U_{1}U_{n}}}\\r&={\sqrt[{n-k}]{\frac {U_{n}}{U_{k}}}}\\{\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.}}\\\end{aligned}}}
keterangan:
a/U1 : suku pertama
n: banyaknya suku ke-n
r: rasio suku
Ut: suku tengah
Un: suku ke-n
Sn: jumlah suku ke-n rataan
R
=
a
1
⋅
a
2
⋅
a
3
⋅
⋯
⋅
a
n
n
{\displaystyle R={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \dots \cdot a_{n}}}}
suku dan rasio baru
n
b
=
n
+
(
n
−
1
)
x
{\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}
r
b
=
r
x
+
1
{\displaystyle r_{b}={\sqrt[{x+1}]{r}}}
deret takhingga
S
∞
=
a
1
−
r
bila
−
1
<
r
<
1
(deret konvergen)
{\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}{\text{ bila }}-1<r<1{\text{ (deret konvergen) }}}
S
∞
g
j
=
a
1
−
r
2
{\displaystyle S_{\infty gj}={\frac {a}{1-r^{2}}}}
S
∞
g
n
p
=
a
r
1
−
r
2
{\displaystyle S_{\infty gnp}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}
S
∞
=
S
∞
g
j
+
S
∞
g
n
p
{\displaystyle S_{\infty }=S_{\infty gj}+S_{\infty gnp}}
barisan dan deret bertingkat
cara 1 cara 2
a
n
=
a
n
2
+
b
n
+
c
{\displaystyle a_{n}=a^{n^{2}}+b^{n}+c}
a
n
=
a
n
3
+
b
n
2
+
c
n
+
d
{\displaystyle a_{n}=a^{n^{3}}+b^{n^{2}}+c^{n}+d}
Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif:
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}
n
−
1
=
Δ
t
t
{\displaystyle n-1={\frac {\Delta t}{t}}}
Rumus panjang lintasan:
P
L
=
2
S
∞
−
a
{\displaystyle PL=2S_{\infty }-a}
pembuktian
S
t
u
r
u
n
=
a
1
−
r
S
n
a
i
k
=
a
r
1
−
r
S
t
o
t
a
l
=
a
1
−
r
+
a
r
1
−
r
=
a
+
a
r
1
−
r
=
2
a
−
a
+
a
r
1
−
r
=
2
a
−
(
a
−
a
r
)
1
−
r
=
2
a
1
−
r
−
a
−
a
r
1
−
r
=
2
a
1
−
r
−
a
(
1
−
r
)
1
−
r
=
2
S
∞
−
a
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{turun}&={\frac {a}{1-r}}\\S_{naik}&={\frac {ar}{1-r}}\\S_{total}&={\frac {a}{1-r}}+{\frac {ar}{1-r}}\\&={\frac {a+ar}{1-r}}\\&={\frac {2a-a+ar}{1-r}}\\&={\frac {2a-(a-ar)}{1-r}}\\&={\frac {2a}{1-r}}-{\frac {a-ar}{1-r}}\\&={\frac {2a}{1-r}}-{\frac {a(1-r)}{1-r}}\\&=2S_{\infty }-a\\\end{aligned}}}
contoh soal
Tentukan jumlah deret tak terhingga sebagai berikut:
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
…
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\dots }
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
…
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\dots }
1
5
+
4
5
2
+
7
5
3
+
10
5
4
+
13
5
5
+
…
{\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5^{2}}}+{\frac {7}{5^{3}}}+{\frac {10}{5^{4}}}+{\frac {13}{5^{5}}}+\dots }
Jawaban
∗
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
…
a
=
1
2
,
r
=
1
2
S
∞
=
1
2
1
−
1
2
=
1
2
1
2
=
1
∗
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
…
misalkan
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
⋯
=
x
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
…
=
x
1
4
+
2
8
+
3
16
+
4
32
+
5
64
+
…
=
1
2
x
kurangkan
x
dengan
1
2
x
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
…
=
1
2
x
a
=
1
2
,
r
=
1
2
S
∞
=
1
2
1
−
1
2
=
1
2
1
2
=
1
1
=
1
2
x
x
=
2
∗
1
5
+
4
5
2
+
7
5
3
+
10
5
4
+
13
5
5
+
…
misalkan
1
5
+
4
5
2
+
7
5
3
+
10
5
4
+
13
5
5
+
⋯
=
x
1
5
+
4
5
2
+
7
5
3
+
10
5
4
+
13
5
5
+
…
=
x
1
5
2
+
4
5
3
+
7
5
4
+
10
5
5
+
13
5
6
+
…
=
1
5
x
kurangkan
x
dengan
1
5
x
1
5
+
3
5
2
+
3
5
3
+
3
5
4
+
3
5
5
+
…
=
4
5
x
1
5
+
3
(
1
5
2
+
1
5
3
+
1
5
4
+
1
5
5
+
…
)
=
4
5
x
a
=
1
5
2
,
r
=
1
5
S
∞
=
1
5
2
1
−
1
5
=
1
5
2
4
5
=
1
20
1
5
+
3
(
1
20
)
=
4
5
x
7
20
=
4
5
x
7
4
=
4
x
x
=
7
16
{\displaystyle {\begin{aligned}*{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\dots \\a={\frac {1}{2}},r={\frac {1}{2}}\\S_{\infty }&={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}\\&={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}}\\&=1\\*{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\dots \\{\text{misalkan }}{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\dots =x\\{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\dots &=x\\{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {4}{32}}+{\frac {5}{64}}+\dots &={\frac {1}{2}}x\\{\text{kurangkan }}x{\text{ dengan }}{\frac {1}{2}}x\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\dots &={\frac {1}{2}}x\\a={\frac {1}{2}},r={\frac {1}{2}}\\S_{\infty }&={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}\\&={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}}\\&=1\\1&={\frac {1}{2}}x\\x&=2\\*{\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5^{2}}}+{\frac {7}{5^{3}}}+{\frac {10}{5^{4}}}+{\frac {13}{5^{5}}}+\dots \\{\text{misalkan }}{\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5^{2}}}+{\frac {7}{5^{3}}}+{\frac {10}{5^{4}}}+{\frac {13}{5^{5}}}+\dots =x\\{\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5^{2}}}+{\frac {7}{5^{3}}}+{\frac {10}{5^{4}}}+{\frac {13}{5^{5}}}+\dots &=x\\{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {4}{5^{3}}}+{\frac {7}{5^{4}}}+{\frac {10}{5^{5}}}+{\frac {13}{5^{6}}}+\dots &={\frac {1}{5}}x\\{\text{kurangkan }}x{\text{ dengan }}{\frac {1}{5}}x\\{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5^{2}}}+{\frac {3}{5^{3}}}+{\frac {3}{5^{4}}}+{\frac {3}{5^{5}}}+\dots &={\frac {4}{5}}x\\{\frac {1}{5}}+3({\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{5^{5}}}+\dots )&={\frac {4}{5}}x\\a={\frac {1}{5^{2}}},r={\frac {1}{5}}\\S_{\infty }&={\frac {\frac {1}{5^{2}}}{1-{\frac {1}{5}}}}\\&={\frac {\frac {1}{5^{2}}}{\frac {4}{5}}}\\&={\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{5}}+3({\frac {1}{20}})&={\frac {4}{5}}x\\{\frac {7}{20}}&={\frac {4}{5}}x\\{\frac {7}{4}}&=4x\\x&={\frac {7}{16}}\\\end{aligned}}}
Diketahui deret geometri tak hingga
U
1
+
U
2
+
U
3
+
…
{\displaystyle U_{1}+U_{2}+U_{3}+\dots }
U
1
+
U
2
+
U
3
+
⋯
=
5
{\displaystyle U_{1}+U_{2}+U_{3}+\dots =5}
U
3
+
U
4
+
U
5
+
⋅
=
1
5
{\displaystyle U_{3}+U_{4}+U_{5}+\cdot ={\frac {1}{5}}}
Jawaban
U
1
+
U
2
+
U
3
+
…
=
5
S
∞
=
5
a
1
−
r
=
5
a
=
5
(
1
−
r
)
U
1
+
U
2
+
U
3
+
U
4
+
U
5
+
…
=
5
U
1
+
U
2
+
(
U
3
+
U
4
+
U
5
+
…
)
=
5
a
+
a
r
+
1
5
=
5
a
(
1
+
r
)
=
5
−
1
5
5
(
1
−
r
)
(
1
+
r
)
=
24
5
1
−
r
2
=
24
25
r
2
=
1
25
r
2
=
(
1
5
)
2
r
2
−
(
1
5
)
2
=
0
(
r
+
1
5
)
(
r
−
1
5
)
=
0
r
=
−
1
5
atau
r
=
1
5
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{1}+U_{2}+U_{3}+\dots &=5\\S_{\infty }&=5\\{\frac {a}{1-r}}&=5\\a&=5(1-r)\\U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots &=5\\U_{1}+U_{2}+(U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots )&=5\\a+ar+{\frac {1}{5}}&=5\\a(1+r)&=5-{\frac {1}{5}}\\5(1-r)(1+r)&={\frac {24}{5}}\\1-r^{2}&={\frac {24}{25}}\\r^{2}&={\frac {1}{25}}\\r^{2}&=({\frac {1}{5}})^{2}\\r^{2}-({\frac {1}{5}})^{2}&=0\\(r+{\frac {1}{5}})(r-{\frac {1}{5}})&=0\\r=-{\frac {1}{5}}&{\text{ atau }}r={\frac {1}{5}}\\\end{aligned}}}
Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut:
x
−
1
x
+
1
x
+
1
x
(
x
−
1
)
+
…
{\displaystyle {\frac {x-1}{x}}+{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x(x-1)}}+\dots }
rasionya 3 log (2x-1)
jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x Jawaban
ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah
−
1
<
r
<
1
(
|
r
|
<
1
)
∗
x
−
1
x
+
1
x
+
1
x
(
x
−
1
)
+
…
r
=
1
x
−
1
−
1
<
r
<
1
−
1
<
1
x
−
1
<
1
1
x
−
1
>
−
1
x
x
−
1
>
0
harga nol pembilang
x
=
0
harga nol penyebut
x
−
1
=
0
x
=
1
jadi
x
<
0
atau
x
>
1
1
x
−
1
<
1
2
−
x
x
−
1
<
0
harga nol pembilang
2
−
x
=
0
x
=
2
harga nol penyebut
x
−
1
=
0
x
=
1
jadi
x
<
1
atau
x
>
2
kedua tergabung menjadi irisan yaitu
x
<
0
atau
x
>
2
∗
−
1
<
3
l
o
g
(
2
x
−
1
)
<
1
3
l
o
g
3
−
1
<
3
l
o
g
(
2
x
−
1
)
<
3
l
o
g
3
3
−
1
<
2
x
−
1
<
3
1
3
<
2
x
−
1
<
3
4
3
<
2
x
<
4
2
3
<
x
<
2
∗
a
=
x
dan
S
∞
=
10
S
∞
=
10
x
1
−
r
=
10
1
−
r
=
x
10
r
=
10
−
x
10
−
1
<
r
<
1
−
1
<
10
−
x
10
<
1
−
10
<
10
−
x
<
10
−
20
<
−
x
<
0
langsung
−
20
<
−
x
<
0
20
>
x
>
0
0
<
x
<
20
tidak langsung
−
20
<
−
x
20
>
x
x
<
20
−
x
<
0
x
>
0
jadi
0
<
x
<
20
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah }}-1<r<1(|r|<1)\\*{\frac {x-1}{x}}+{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x(x-1)}}+\dots \\r&={\frac {1}{x-1}}\\-1<r<1\\-1<{\frac {1}{x-1}}<1\\{\frac {1}{x-1}}&>-1\\{\frac {x}{x-1}}&>0\\{\text{harga nol pembilang }}\\x&=0\\{\text{harga nol penyebut }}\\x-1&=0\\x&=1\\{\text{jadi }}x<0{\text{ atau }}x>1\\{\frac {1}{x-1}}&<1\\{\frac {2-x}{x-1}}&<0\\{\text{harga nol pembilang }}\\2-x&=0\\x&=2\\{\text{harga nol penyebut }}\\x-1&=0\\x&=1\\{\text{jadi }}x<1{\text{ atau }}x>2\\{\text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu }}x<0{\text{ atau }}x>2\\*-1<^{3}log(2x-1)<1\\^{3}log3^{-1}<^{3}log(2x-1)<^{3}log3\\3^{-1}<2x-1<3\\{\frac {1}{3}}<2x-1<3\\{\frac {4}{3}}<2x<4\\{\frac {2}{3}}<x<2\\*a=x{\text{ dan }}S_{\infty }=10\\S_{\infty }&=10\\{\frac {x}{1-r}}&=10\\1-r&={\frac {x}{10}}\\r&={\frac {10-x}{10}}\\-1<r<1\\-1<{\frac {10-x}{10}}<1\\-10<10-x<10\\-20<-x<0\\{\text{langsung }}\\-20<-x<0\\20>x>0\\0<x<20\\{\text{tidak langsung }}\\-20<-x\\20>x\\x<20\\-x<0\\x>0\\{\text{jadi }}0<x<20\\\end{aligned}}}
Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? Jawaban
n
=
5
a
=
81
U
n
=
U
5
=
256
r
=
256
81
5
−
1
=
256
81
4
=
4
3
S
5
=
a
(
r
n
−
1
)
r
−
1
=
81
(
(
4
3
)
5
−
1
)
4
3
−
1
=
3
4
(
(
4
3
)
5
−
1
)
1
3
=
3
5
(
(
4
3
)
5
−
1
)
=
3
5
(
4
5
−
1
3
5
)
=
4
5
−
1
=
1.023
jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m
{\displaystyle {\begin{aligned}n&=5\\a&=81\\U_{n}&=U_{5}=256\\r&={\sqrt[{5-1}]{\frac {256}{81}}}\\&={\sqrt[{4}]{\frac {256}{81}}}\\&={\frac {4}{3}}\\S_{5}&={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}\\&={\frac {81(({\frac {4}{3}})^{5}-1)}{{\frac {4}{3}}-1}}\\&={\frac {3^{4}(({\frac {4}{3}})^{5}-1)}{\frac {1}{3}}}\\&=3^{5}(({\frac {4}{3}})^{5}-1)\\&=3^{5}({\frac {4^{5}-1}{3^{5}}})\\&=4^{5}-1\\&=1.023\\{\text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m }}\\\end{aligned}}}
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? Jawaban
a
=
40
r
=
1
2
tinggi bola pada pantulan keempat berarti
U
5
∗
cara 1
U
5
=
a
r
5
−
1
=
40
(
1
2
)
4
=
40
(
1
16
)
=
5
2
=
2
,
5
jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m
∗
cara 2
awal =
U
1
=
40
p1 =
U
2
=
20
p2 =
U
3
=
10
p3 =
U
4
=
5
p4 =
U
5
=
2
,
5
jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=40\\r&={\frac {1}{2}}\\{\text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti }}U_{5}\\*{\text{cara 1}}\\U_{5}&=ar^{5-1}\\&=40({\frac {1}{2}})^{4}\\&=40({\frac {1}{16}})\\&={\frac {5}{2}}\\&=2,5\\{\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m }}\\*{\text{cara 2}}\\{\text{awal = }}U_{1}&=40\\{\text{p1 = }}U_{2}&=20\\{\text{p2 = }}U_{3}&=10\\{\text{p3 = }}U_{4}&=5\\{\text{p4 = }}U_{5}&=2,5\\{\text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m }}\\\end{aligned}}}
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? Jawaban
a
=
15
r
=
2
3
P
L
=
2
S
∞
−
a
=
2
(
a
1
−
r
)
−
a
=
2
(
15
1
−
2
3
)
−
15
=
2
(
15
1
3
)
−
15
=
90
−
15
=
75
jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=15\\r&={\frac {2}{3}}\\PL&=2S_{\infty }-a\\&=2({\frac {a}{1-r}})-a\\&=2({\frac {15}{1-{\frac {2}{3}}}})-15\\&=2({\frac {15}{\frac {1}{3}}})-15\\&=90-15\\&=75\\{\text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m }}\\\end{aligned}}}
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? Jawaban
pantulan awal
=
15
pantulan kesatu
=
10
pantulan kedua
=
20
3
pantulan ketiga
=
40
9
a
=
40
9
r
=
2
3
P
L
=
2
S
∞
=
2
a
1
−
r
=
2
(
40
9
1
−
2
3
)
=
2
(
40
9
1
3
)
=
80
3
jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah
80
3
m
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{pantulan awal }}&=15\\{\text{pantulan kesatu }}&=10\\{\text{pantulan kedua }}&={\frac {20}{3}}\\{\text{pantulan ketiga }}&={\frac {40}{9}}\\a&={\frac {40}{9}}\\r&={\frac {2}{3}}\\PL&=2S_{\infty }\\&=2{\frac {a}{1-r}}\\&=2({\frac {\frac {40}{9}}{1-{\frac {2}{3}}}})\\&=2({\frac {\frac {40}{9}}{\frac {1}{3}}})\\&={\frac {80}{3}}\\{\text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah }}{\frac {80}{3}}m\\\end{aligned}}}
Populasi kelinci berlipat tiga di sebuah pulau. jumlah populasi kelinci pada tahun semula 6 ekor maka berapa jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun? Jawaban
a
=
6
r
=
3
n
−
1
=
4
cara 1
u
n
=
a
r
n
−
1
=
6
(
3
)
4
=
6
(
81
)
=
486
cara 2
n
−
1
=
4
n
=
5
jadi
0
=
U
1
=
6
1
=
U
2
=
18
2
=
U
3
=
54
3
=
U
4
=
162
4
=
U
5
=
486
jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=6\\r&=3\\n-1&=4\\{\text{cara 1 }}\\u_{n}&=ar^{n-1}\\&=6(3)^{4}\\&=6(81)\\&=486\\{\text{cara 2 }}\\n-1&=4\\n&=5\\{\text{jadi }}\\{\text{0 }}&=U_{1}=6\\{\text{1 }}&=U_{2}=18\\{\text{2 }}&=U_{3}=54\\{\text{3 }}&=U_{4}=162\\{\text{4 }}&=U_{5}=486\\{\text{jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor }}\\\end{aligned}}}
Suatu jenis hewan langka mengalami penurunan jumlah populasi 1/3 dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 diperkirakan jumlah hewan langka di suatu provinsi 720 ekor, berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025? Jawaban
a
=
720
r
=
1
3
n
−
1
=
4
cara 1
u
n
=
a
r
n
−
1
=
720
(
1
3
)
4
=
720
81
=
8
,
8889
=
9
cara 2
n
−
1
=
4
n
=
5
jadi
2021
=
U
1
=
720
2022
=
U
2
=
240
2023
=
U
3
=
80
2024
=
U
4
=
26
,
66
2025
=
U
5
=
8
,
889
=
9
jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=720\\r&={\frac {1}{3}}\\n-1&=4\\{\text{cara 1 }}\\u_{n}&=ar^{n-1}\\&=720({\frac {1}{3}})^{4}\\&={\frac {720}{81}}\\&=8,8889\\&=9\\{\text{cara 2 }}\\n-1&=4\\n&=5\\{\text{jadi }}\\{\text{2021 }}&=U_{1}=720\\{\text{2022 }}&=U_{2}=240\\{\text{2023 }}&=U_{3}=80\\{\text{2024 }}&=U_{4}=26,66\\{\text{2025 }}&=U_{5}=8,889=9\\{\text{jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor }}\\\end{aligned}}}
Sebuah motor dibeli dengan harga Rp 60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari tahun sebelumnya. berapa nilai jual dipakai 3 tahun? Jawaban
a
=
60.000.000
r
=
3
4
n
−
1
=
3
cara 1
u
n
=
a
r
n
−
1
=
60.000.000
(
3
4
)
3
=
720
64
=
25.312.500
cara 2
n
−
1
=
3
n
=
4
jadi
0
=
U
1
=
60.000.000
1
=
U
2
=
45.000.000
2
=
U
3
=
33.750.000
3
=
U
4
=
25.312.500
jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=60.000.000\\r&={\frac {3}{4}}\\n-1&=3\\{\text{cara 1 }}\\u_{n}&=ar^{n-1}\\&=60.000.000({\frac {3}{4}})^{3}\\&={\frac {720}{64}}\\&=25.312.500\\{\text{cara 2 }}\\n-1&=3\\n&=4\\{\text{jadi }}\\{\text{0 }}&=U_{1}=60.000.000\\{\text{1 }}&=U_{2}=45.000.000\\{\text{2 }}&=U_{3}=33.750.000\\{\text{3 }}&=U_{4}=25.312.500\\{\text{jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00 }}\\\end{aligned}}}
Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? Jawaban
a
=
30
r
=
2
n
−
1
=
2
jam
15
menit
=
120
menit
15
menit
=
8
(kali)
cara 1
u
n
=
a
r
n
−
1
=
30
(
2
)
8
=
30
(
256
)
=
7.680
cara 2
n
−
1
=
8
n
=
9
jadi
awal
=
U
1
=
30
15 mnt
=
U
2
=
60
30 mnt
=
U
3
=
120
45 mnt
=
U
4
=
240
60 mnt
=
U
5
=
480
75 mnt
=
U
6
=
960
90 mnt
=
U
7
=
1.920
105 mnt
=
U
8
=
3.840
120 mnt
=
U
9
=
7.680
jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=30\\r&=2\\n-1&={\frac {2{\text{ jam }}}{15{\text{ menit }}}}\\&={\frac {120{\text{ menit }}}{15{\text{ menit }}}}\\&=8{\text{ (kali) }}\\{\text{cara 1 }}\\u_{n}&=ar^{n-1}\\&=30(2)^{8}\\&=30(256)\\&=7.680\\{\text{cara 2 }}\\n-1&=8\\n&=9\\{\text{jadi }}\\{\text{awal }}&=U_{1}=30\\{\text{15 mnt }}&=U_{2}=60\\{\text{30 mnt }}&=U_{3}=120\\{\text{45 mnt }}&=U_{4}=240\\{\text{60 mnt }}&=U_{5}=480\\{\text{75 mnt }}&=U_{6}=960\\{\text{90 mnt }}&=U_{7}=1.920\\{\text{105 mnt }}&=U_{8}=3.840\\{\text{120 mnt }}&=U_{9}=7.680\\{\text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 }}\\\end{aligned}}}
Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? Jawaban
a
=
1.600
r
=
1
2
n
−
1
=
14.00
−
05.00
3
jam
=
9
jam
3
jam
=
3
(kali)
cara 1
u
n
=
a
r
n
−
1
=
1.600
(
1
2
)
3
=
1.600
(
1
8
)
=
200
cara 2
n
−
1
=
3
n
=
4
jadi
awal
=
U
1
=
1.600
3 jam
=
U
2
=
800
6 jam
=
U
3
=
400
9 jam
=
U
4
=
200
jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=1.600\\r&={\frac {1}{2}}\\n-1&={\frac {14.00-05.00}{3{\text{ jam }}}}\\&={\frac {9{\text{ jam }}}{3{\text{ jam }}}}\\&=3{\text{ (kali) }}\\{\text{cara 1 }}\\u_{n}&=ar^{n-1}\\&=1.600({\frac {1}{2}})^{3}\\&=1.600({\frac {1}{8}})\\&=200\\{\text{cara 2 }}\\n-1&=3\\n&=4\\{\text{jadi }}\\{\text{awal }}&=U_{1}=1.600\\{\text{3 jam }}&=U_{2}=800\\{\text{6 jam }}&=U_{3}=400\\{\text{9 jam }}&=U_{4}=200\\{\text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram }}\\\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=ar^{n-1}\\S_{n}&={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}{\text{bila}}r>1\\S_{n}&={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}{\text{bila}}r<1\\r&={\frac {U_{n}}{U_{n-1}}}\\U_{n}&=S_{n}-S_{n-1}\\U_{t}&={\sqrt {U_{1}U_{n}}}\\r&={\sqrt[{n-k}]{\frac {U_{n}}{U_{k}}}}\\{\text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd32cc5e67732336354ec9139d32decf86e6e8c)
![{\displaystyle R={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \dots \cdot a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc4da1935dfe1b5e695f650d779e91e8747b53f)
![{\displaystyle r_{b}={\sqrt[{x+1}]{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40486aa76cc83db94a68e91fc855fe239ac1c42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}n&=5\\a&=81\\U_{n}&=U_{5}=256\\r&={\sqrt[{5-1}]{\frac {256}{81}}}\\&={\sqrt[{4}]{\frac {256}{81}}}\\&={\frac {4}{3}}\\S_{5}&={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}\\&={\frac {81(({\frac {4}{3}})^{5}-1)}{{\frac {4}{3}}-1}}\\&={\frac {3^{4}(({\frac {4}{3}})^{5}-1)}{\frac {1}{3}}}\\&=3^{5}(({\frac {4}{3}})^{5}-1)\\&=3^{5}({\frac {4^{5}-1}{3^{5}}})\\&=4^{5}-1\\&=1.023\\{\text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7140d9ebb807c1e9fd087e6362ec50b126ade9e0)
