Soal-Soal Matematika/Bilangan

Hierarki bilangan

hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, $5-{\sqrt {2}}i$, $-{\sqrt {7}}+8i$, dst

2 bilangan real dan imajiner

• bilangan real

contoh: ${\sqrt {2}}$, ${\frac {1}{2}}$, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, $\pi$, dst

• bilangan imajiner

contoh: ${\sqrt {-2}}$, ${\sqrt {-13}}$, dst

3 bilangan rasional dan irasional

• bilangan rasional

contoh: ${\sqrt {9}}$, ${\frac {1}{2}}$, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

• bilangan irasional

contoh: $2{\sqrt {5}}$, 3.14536…., 2.567785…., e, $\pi$, dst

4 bilangan bulat dan pecahan

• bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

• bilangan pecahan

contoh: ${\frac {1}{3}}$, 6.5, $8{\frac {2}{7}}$, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

Ada 5 bilangan pecahan parsial yaitu

	Rasional	Pecahan parsial
pecahan linear	${\frac {px+q}{(x-a)(x-b)}}$	${\frac {A}{x-a}}$+${\frac {B}{x-b}}$
pecahan linear berulang	${\frac {px+q}{(x-a)^{2}}}$	${\frac {A}{x-a}}$+${\frac {B}{(x-a)^{2}}}$
pecahan kuadrat	${\frac {px^{2}+qx+r}{(x-a)(x-b)(x-c)}}$	${\frac {A}{x-a}}$+${\frac {B}{x-b}}$+${\frac {C}{x-c}}$
pecahan kuadrat berulang	${\frac {px^{2}+qx+r}{(x-a)^{2}(x-b)}}$	${\frac {A}{x-a}}$+${\frac {B}{(x-a)^{2}}}$+${\frac {C}{x-b}}$
pecahan kuadrat yang tak dapat difaktorkan	${\frac {px^{2}+qx+r}{(x-a)(x^{2}-bx+c)}}$	${\frac {A}{x-a}}$+${\frac {Bx+C}{x^{2}-bx+c}}$

1. faktor linear

${\frac {5x+9}{(x+2)(x+1)}}={\frac {1}{x+2}}+{\frac {4}{x+1}}$

1. faktor linear berulang

${\frac {3x+5}{(x+1)^{2}}}={\frac {3}{x+1}}+{\frac {2}{(x+1)^{2}}}$

1. faktor kuadrat

${\frac {x^{2}-5x+6}{(x+4)(x+2)(x+1)}}={\frac {7}{x+4}}+{\frac {-10}{x+2}}+{\frac {4}{x+1}}$

1. faktor kuadrat berulang

${\frac {x^{2}+x-2}{(x-3)(x+1)^{2}}}={\frac {\frac {5}{8}}{x-3}}+{\frac {\frac {3}{8}}{x+1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{(x+1)^{2}}}$

1. faktor kuadrat yang tak dapat difaktorkan

${\frac {8x^{2}+12x-20}{(x+3)(x^{2}+x+2)}}={\frac {2}{x+3}}+{\frac {6x-8}{x^{2}+x+2}}$

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif

• bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

• bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol

• bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

• bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

• bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

• bilangan genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

• bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

• bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

Bilangan romawi

Angka	Romawi	Angka	Romawi	Angka	Romawi
1	I	11	XI	30	XXX
2	II	12	XII	40	XL
3	III	13	XIII	50	L
4	IV	14	XIV	60	LX
5	V	15	XV	70	LXX
6	VI	16	XVI	80	LXXX
7	VII	17	XVII	90	LC
8	VIII	18	XVIII	100	C
9	IX	19	XIX	500	D
10	X	20	XX	1000	M

Angka dan digit

• 14 (1 angka dan 2 digit)
• 235 (1 angka dan 3 digit)
• 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
• AB = 10A + B
• PQR = 100P + 10Q + R
• AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
• AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

Kondisi kedua bilangan

Bilangan I	Bilangan II	Jumlah	Kali
Ganjil	Ganjil	Genap	Ganjil
Genap	Genap	Genap	Genap
Ganjil	Genap	Ganjil	Genap

Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa

Bil habis dibagi pembagi	Syarat
2	Digit terakhir bilangan genap
3	Jumlah semua digit habis dibagi 3
4	Dua digit terakhir habis dibagi 4
5	Digit terakhir 0 atau 5
6	Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3 Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
7	Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
8	Tiga digit terakhir habis dibagi 8
9	Jumlah semua digit habis dibagi 9
10	Digit terakhir 0

Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa

Bil tidak habis dibagi pembagi	Syarat jika sisa
2	Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
3	Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
4
5	Digit terakhir bukan 0 atau 5
6
7
8
9	Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
10	Digit terakhir bukan 0

Bilangan desimal berulang

Dibagi 7

1	142857
2	285714
3	428571
4	571428
5	714285
6	857152

Dibagi 13

1	076923	7	538461
2	153846	8	615384
3	230769	9	692307
4	307692	10	769230
5	384615	11	846153
6	461538	12	923076

Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang

Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

Dibagi 3

Sisa (1)	Sisa (2)
2	1

Dibagi 4

Sisa (1)	Sisa (2)
2
3	1

Dibagi 5

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)
2	4	3	1
3	4	2	1
4	1

Dibagi 6

Sisa (1)	Sisa (2)
2	4
3
4
5	1

Dibagi 7

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)	Sisa (5)	Sisa (6)
2	4	1
3	2	6	4	5	1
4	2	1
5	4	6	2	3	1
6	1

Dibagi 8

Sisa (1)	Sisa (2)
2	4
3	1
4
5	1
6	4
7	1

Dibagi 9

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)	Sisa (5)	Sisa (6)
2	4	8	7	5	1
3
4	7	1
5	7	8	4	2	1
6
7	4	1
8	1

Keterangan:

() = berpangkat

contoh

8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)

5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)

10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang

0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.

1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.

5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.

6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

2 berpangkat

2, 4, 8, 6

3 berpangkat

3, 9, 7, 1

4 berpangkat

4, 6

7 berpangkat

7, 9, 3, 1

8 berpangkat

8, 4, 2, 6

9 berpangkat

9, 1

Bentuk persentase (%)

Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:

1. 2 = 2 * 100% = 200%
2. 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
3. 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
4. 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
5. 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
6. 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
7. 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

1. 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
2. 5% = 5 * 1/100 = 0.05
3. 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
4. 75% = 75 * 1/100 = 0.75
5. 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
6. 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
7. 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:

1. Berapa hasil 49% dari 500?
2. Berapa hasil 62% untuk 465?
3. Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
4. Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
5. Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:

1. 49% * 500 = 245
2. 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62%
   465 * 100/62 = 750
3. 1.728/3.600 * 100% = 48%
4. 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
5. 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

Bilangan kompleks

1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=${\sqrt {-1}}$)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

operasi hitung

jika z₁=x₁+y₁i dan z₂=x₂+y₂i maka sebagai berikut:

Penjumlahan

$z_{1}+z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)+(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i$

Pengurangan

$z_{1}-z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)-(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})i$

Perkalian

$z_{1}\times z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)\times (x_{2}+y_{2}i)=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}=x_{1}x_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i-y_{1}y_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i$

Pembagian

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}\cdot {\frac {x_{2}+y_{2}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}}{{x_{2}}^{2}+2x_{2}y_{2}i+({y_{2}i})^{2}}}={\frac {x_{1}x_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i-y_{1}y_{2}}{{x_{2}}^{2}+2x_{2}y_{2}i-{y_{2}}^{2}}}={\frac {x_{1}x_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i-y_{1}y_{2}}{({x_{2}}^{2}-{y_{2}}^{2})+2x_{2}y_{2}i}}$

Perkalian skalar

kz = k(x+yi) = kx+kyi

Bernilai -1

-1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

Invers

z^-1 = u + vi dimana u=${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$ dan v=${\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

sifat

• z₁+z₂=z₂+z₁
• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)
• z₁xz₂=z₂xz₁
• (z₁xz₂)xz₃=z₁x(z₂xz₃)
• z₁x(z₂+z₃)=z₁xz₂+z₁xz₃
• 1(z)=z
• 0(z)=0
• z+(-z)=0
• zxz^-1=1

konjugat kompleks sekawan

konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah ${\overline {z}}$=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:

• Teorema 1
  • ${\overline {\overline {z}}}$=z
  • ${\overline {z^{-1}}}={\overline {z}}^{-1}$
  • z+${\overline {z}}$=2Re(z)
  • z-${\overline {z}}$=2iIm(z)
  • zx${\overline {z}}$=(Re(z))²+(Im(z))²
• Teorema 2

Jika z bilangan kompleks maka berlaku:

• • |z|²=(Re(z))²+(Im(z))²
  • |z²|=|z|²=z.${\overline {z}}$
  • |z|=|-z|=|${\overline {z}}$|
  • |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
  • |z|≤|Im(z)|≤Im(z)

Jika z₁, z₂ maka berlaku:

• • |z₁xz₂|=|z₁|x|z₂|
  • $|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}$ untuk |z₂|≠0
  • |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|
  • |z₁-z₂|≥|z₁|-|z₂|
  • |z₁-z₂|=|z₂-z₁|

Jika z₁, z₂ dengan konjugat maka berlaku:

• • ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
  • ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
  • ${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\times {\overline {z_{2}}}$
  • ${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$ untuk ${\overline {z_{2}}}\neq 0$

Modulus

• jika z=x+yi maka |z|=r=${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,$\theta$)

hubungan (x,y) dengan (r,$\theta$) adalah

x=r cos $\theta$

y=r sin $\theta$

dengan $\theta$ = arc tan (${\frac {y}{x}}$)

bentuk kutubnya adalah z=(r,$\theta$)=r(cos $\theta$+i sin $\theta$)=r cis $\theta$

sekawannya adalah ${\overline {z}}$=(r,-$\theta$)=r(cos $\theta$-i sin $\theta$)

argument

Sudut $\theta$ disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos $\theta$+ i sin $\theta$) maka x+yi=r(cos $\theta$+ i sin $\theta$)

$\theta$ = arc cos (${\frac {x}{r}}$) dan $\theta$ = arc sin (${\frac {y}{r}}$) dimana $\theta$ merupakan irisan bagiannya

Sudut $\theta$ dengan 0≤$\theta$≤$2\pi$ atau $-\pi$≤$\theta$≤$\pi$ disebut argument utama maka ditulis Arg z

3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re^i$\theta$

sekawannya adalah ${\overline {z}}$=re^-i$\theta$

i sin $\theta$=${\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2}}$

cos $\theta$=${\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

Bentuk bilangan kompleks

	Kartesian	Kutub	Eksponensial
z	x+yi	r(cos $\theta$+i sin $\theta$)	rei$\theta$
koordinat z	(x,y)	(r,$\theta$)
${\overline {z}}$	x-yi	r(cos $\theta$-i sin $\theta$)	re-i$\theta$
koordinat ${\overline {z}}$	(x,-y)	(r,-$\theta$)

contoh soal

• Jika z₁=1+i dan z₂=3-2i maka tentukan:

z₁+z₂

z₁-z₂

z₁xz₂

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$

(z₁)^-1

|z₁|

|z₂|

|z₁|+|z₂|

|z₁|-|z₂|

|z₁|x|z₂|

${\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}$

|z₁+z₂|

|z₁-z₂|

|z₁xz₂|

|${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$|

${\overline {z_{1}}}$

${\overline {z_{2}}}$

${\overline {z_{1}}}$+${\overline {z_{2}}}$

${\overline {z_{1}}}$-${\overline {z_{2}}}$

${\overline {z_{1}}}$x${\overline {z_{2}}}$

${\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$

${\overline {z_{1}+z_{2}}}$

${\overline {z_{1}-z_{2}}}$

${\overline {z_{1}\times z_{2}}}$

${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}$

persamaan polarnya dari z₁

persamaan eksponensialnya dari z₁

Jawaban

$${\begin{aligned}*z_{1}+z_{2}\\z_{1}+z_{2}&=(1+i)+(3-2i)\\&=4-i\\*z_{1}-z_{2}\\z_{1}-z_{2}&=(1+i)-(3-2i)\\&=-2+3i\\*z_{1}\times z_{2}\\z_{1}\times z_{2}&=(1+i)(3-2i)\\&=3+i+2\\&=5+i\\*{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\\{\frac {z_{1}}{z_{2}}}&={\frac {1+i}{3-2i}}\\&={\frac {1+i}{3-2i}}\times {\frac {3+i}{3+2i}}\\&={\frac {3+4i+i^{2}}{9+4}}\\&={\frac {2+4i}{13}}\\&={\frac {2}{13}}+{\frac {4}{13}}i\\*z_{1}^{-1}\\z_{1}^{-1}&=u+vi\\&={\frac {1^{2}}{1^{2}+1^{2}}}+({\frac {1^{2}}{1^{2}+1^{2}}})i\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}i\\*|z_{1}|\\|z_{1}|&={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}\\&={\sqrt {2}}\\*|z_{2}|\\|z_{2}|&={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}}}\\&={\sqrt {13}}\\*|z_{1}|+|z_{2}|\\|z_{1}|+|z_{2}|&={\sqrt {2}}+{\sqrt {13}}\\*|z_{1}|-|z_{2}|\\|z_{1}|-|z_{2}|&={\sqrt {2}}-{\sqrt {13}}\\*|z_{1}|\times |z_{2}|\\|z_{1}|\times |z_{2}|&={\sqrt {2}}\times {\sqrt {13}}\\&={\sqrt {26}}\\*{\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\\{\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}&={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {13}}}\\&={\frac {\sqrt {26}}{13}}\\*|z_{1}+z_{2}|\\|z_{1}+z_{2}|&={\sqrt {4^{2}+(-1)^{2}}}\\&={\sqrt {17}}\\*|z_{1}-z_{2}|\\|z_{1}-z_{2}|&={\sqrt {(-2)^{2}+3^{2}}}\\&={\sqrt {13}}\\*|z_{1}\times z_{2}|\\|z_{1}\times z_{2}|&={\sqrt {5^{2}+1^{2}}}\\&={\sqrt {26}}\\*|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}|\\|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}|&={\sqrt {({\frac {2}{13}})^{2}+({\frac {4}{13}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {4}{169}}+{\frac {16}{169}}}}\\&={\sqrt {\frac {20}{169}}}\\&={\frac {\sqrt {20}}{13}}\\*{\overline {z_{1}}}\\{\overline {z_{1}}}&=1-i\\*{\overline {z_{2}}}\\{\overline {z_{2}}}&=3+2i\\*{\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}\\{\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}&=1-i+3+2i\\&=4+i\\*{\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}\\{\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}&=1-i-(3+2i)\\&=-2-3i\\*{\overline {z_{1}}}\times {\overline {z_{2}}}\\{\overline {z_{1}}}\times {\overline {z_{2}}}&=(1-i)(3+2i)\\&=3-i-2i^{2}\\&=5-i\\*{\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}\\{\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}&={\frac {1-i}{3+2i}}\\&={\frac {1-i}{3+2i}}\times {\frac {3-2i}{3-2i}}\\&={\frac {3-5i+2i^{2}}{9+4}}\\&={\frac {1-5i}{13}}\\&={\frac {1}{13}}-{\frac {5}{13}}i\\*{\overline {z_{1}+z_{2}}}\\{\overline {z_{1}+z_{2}}}&=4+i\\*{\overline {z_{1}-z_{2}}}\\{\overline {z_{1}-z_{2}}}&=-2-3i\\*{\overline {z_{1}\times z_{2}}}\\{\overline {z_{1}\times z_{2}}}&=5-i\\*{\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}\\{\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}&={\frac {2}{13}}-{\frac {4}{13}}i\\*z&=r(cos\theta +isin\theta )\\1+i&=rcos\theta +risin\theta \\\theta &=arccos({\frac {1}{\sqrt {2}}})\\\theta &=45^{\circ },315^{\circ }\\\theta &=arcsin({\frac {1}{\sqrt {2}}})\\\theta &=45^{\circ },135^{\circ }\\{\text{irisannya adalah }}\theta &=45^{\circ }\\z&=r(cos\theta +isin\theta )\\&={\sqrt {2}}(cos45^{\circ }+isin45^{\circ })\\*z&=re^{i\theta }\\\theta &=45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\\z&={\sqrt {2}}e^{i{\frac {\pi }{4}}}\\&={\sqrt {2}}e^{\frac {\pi i}{4}}\\\end{aligned}}$$