Soal-Soal Matematika/Bilangan

Hierarki bilangan

hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, $5-{\sqrt {2}}i$, $-{\sqrt {7}}+8i$, dst

2 bilangan real dan imajiner

• bilangan real

contoh: ${\sqrt {2}}$, ${\frac {1}{2}}$, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, $\pi$, dst

• bilangan imajiner

contoh: ${\sqrt {-2}}$, ${\sqrt {-13}}$, dst

3 bilangan rasional dan irasional

• bilangan rasional

contoh: ${\sqrt {2}}$, ${\frac {1}{2}}$, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

• bilangan irasional

contoh: 3.14536…., 2.567785…., e, $\pi$, dst

4 bilangan bulat dan pecahan

• bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

• bilangan pecahan

contoh: ${\frac {1}{3}}$, 6.5, $8{\frac {2}{7}}$, dst

Pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst sedangkan pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst.

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif

• bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

• bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol

• bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

• bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

• bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

• bilangan genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

• bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

• bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

Bilangan romawi

Angka	Romawi	Angka	Romawi	Angka	Romawi
1	I	11	XI	30	XXX
2	II	12	XII	40	XL
3	III	13	XIII	50	L
4	IV	14	XIV	60	LX
5	V	15	XV	70	LXX
6	VI	16	XVI	80	LXXX
7	VII	17	XVII	90	LC
8	VIII	18	XVIII	100	C
9	IX	19	XIX	500	D
10	X	20	XX	1000	M

Angka dan digit

• 14 (1 angka dan 2 digit)
• 235 (1 angka dan 3 digit)
• 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
• AB = 10A + B
• PQR = 100P + 10Q + R
• AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
• AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

Kondisi kedua bilangan

Bilangan I	Bilangan II	Jumlah	Kali
Ganjil	Ganjil	Genap	Ganjil
Genap	Genap	Genap	Genap
Ganjil	Genap	Ganjil	Genap

Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa

Bil habis dibagi pembagi	Syarat
2	Digit terakhir bilangan genap
3	Jumlah semua digit habis dibagi 3
4	Dua digit terakhir habis dibagi 4
5	Digit terakhir 0 atau 5
6	Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3 Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
7	Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
8	Tiga digit terakhir habis dibagi 8
9	Jumlah semua digit habis dibagi 9
10	Digit terakhir 0

Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa

Bil tidak habis dibagi pembagi	Syarat jika sisa
2	Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
3	Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
4
5	Digit terakhir bukan 0 atau 5
6
7
8
9	Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
10	Digit terakhir bukan 0

Bilangan desimal berulang

Dibagi 7

1	142857
2	285714
3	428571
4	571428
5	714285
6	857152

Dibagi 13

1	076923	7	538461
2	153846	8	615384
3	230769	9	692307
4	307692	10	769230
5	384615	11	846153
6	461538	12	923076

Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang

Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

Dibagi 3

Sisa (1)	Sisa (2)
2	1

Dibagi 4

Sisa (1)	Sisa (2)
2
3	1

Dibagi 5

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)
2	4	3	1
3	4	2	1
4	1

Dibagi 6

Sisa (1)	Sisa (2)
2	4
3
4
5	1

Dibagi 7

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)	Sisa (5)	Sisa (6)
2	4	1
3	2	6	4	5	1
4	2	1
5	4	6	2	3	1
6	1

Dibagi 8

Sisa (1)	Sisa (2)
2	4
3	1
4
5	1
6	4
7	1

Dibagi 9

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)	Sisa (5)	Sisa (6)
2	4	8	7	5	1
3
4	7	1
5	7	8	4	2	1
6
7	4	1
8	1

4 Keterangan:

() = berpangkat

contoh

8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)

5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)

10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang

0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.

1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.

5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.

6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

2 berpangkat

2, 4, 8, 6

3 berpangkat

3, 9, 7, 1

4 berpangkat

4, 6

7 berpangkat

7, 9, 3, 1

8 berpangkat

8, 4, 2, 6

9 berpangkat

9, 1

Bentuk persentase (%)

Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:

1. 0,5 = 1/2 * 100% = 50%
2. 0,75 = 3/4 * 100% = 75%
3. 5,25 = 5 1/4 = 21/4 = 21/4 * 100% = 525%

• 1/3 = 1/3 * 100% = 33,33%
• 2 5/6 = 17/6 = 17/6 * 100% = 283,33%

Contoh soal:

1. Berapa hasil 49% dari 500?
2. Berapa hasil 62% untuk 465?
3. Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
4. Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
5. Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:

1. 49% * 500 = 245
2. 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62%
   465 * 100/62 = 750
3. 1.728/3.600 * 100% = 48%
4. 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
5. 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16