Soal-Soal Matematika/Diferensial

Kaidah umum

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

$\left({f-g}\right)'=f'-g'$

Kaidah darab

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Kaidah timbalbalik

$\left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0$

Kaidah hasil-bagi

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

Kaidah rantai

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

Turunan fungsi invers

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum

$(f^{g})'=f^{g}\left(g'\ln f+{\frac {g}{f}}f'\right)$

Rumus sederhana

$c'=0\,$

$x'=1\,$

$(cx)'=c\,$

$|x|'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

Pembuktian

$${\begin{aligned}y&=|x|\\y^{2}&=x^{2}\\2yy'&=2x\\y'&={\frac {x}{y}}\\&={\frac {x}{|x|}}\\\end{aligned}}$$

$(x^{c})'=cx^{c-1}\qquad {\mbox{baik }}x^{c}{\mbox{ maupun }}cx^{c-1}{\mbox{ terdefinisi}}$

$\left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

$\left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}$

$\left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

$\left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1}$

$\left(u^{n}\right)'=n\cdot u'\cdot u^{n-1}$

Eksponen dan logaritma

$\left(c^{x}\right)'=c^{x}\ln c,\qquad c>0$

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$

$\left(^{c}\log x\right)'={\frac {1}{x\ln c}},\qquad c>0$

$\left(\ln x\right)'={\frac {1}{x}}$

Trigonometri

$(\sin x)'=\cos x\,$	$(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},x\neq \pm 1\,$
$(\cos x)'=-\sin x\,$	$(\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},x\neq \pm 1\,$
$(\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,$	$(\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,$
$(\sec x)'=\sec x\tan x\,$	$(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}},x\neq {\pm 1,0}\,$
$(\csc x)'=-\csc x\cot x\,$	$(\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}},x\neq {\pm 1,0}\,$
$(\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,$	$(\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,$

• Tambahkan:
  • $(\sin ^{n}x)'=n\sin ^{n-1}xcosx\,$
  • $(\sin u)'=u'\cos u\,$
  • $(\sin ^{n}u)'=nu'\sin ^{n-1}ucosu\,$

Hiperbolik

Perhatikan sebagai berikut

$sinhx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

$coshx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$(\sinh x)'=\cosh x$	$(\operatorname {arcsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$(\cosh x)'=\sinh x$	$(\operatorname {arccosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}},x>1$
$(\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x$	$(\operatorname {arctanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}},|x|<1$
$(\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$	$(\operatorname {arcsech} \,x)'={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}},0<x<1$
$(\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$	$(\operatorname {arccsch} \,x)'={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}},x\neq 0$
$(\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$	$(\operatorname {arccoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}},|x|>1$

catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

Implisit

• cara 1

$ax+by=1$

$a+by'=0$

$y'=-{\frac {a}{b}}$

• cara 2

persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi ${\frac {d_{y}}{d_{x}}}=-{\frac {F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}}$

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:

1. eksplisit

artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x²y+7=8xy+5x, y²-8x=5-6y

1. in-eksplisit

artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y³-11

Laju perubahan (rata-rata)

Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f'(x_{2})-f'(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$

Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam

Persamaan kuadrat

Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

Persamaan kubik

Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:

Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.

Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.

Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.

Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta > 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta < 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

Persamaan garis singgung kurva

Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = $\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$

contoh:

1. Berapa laju perubahaan f(x)=x²-4x+3 pada:
   1. x=5!
   2. interval 2<x<3!

Jawaban

$${\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-4x+3\\f'(x)&=2x-4\\v&={\frac {f'(x)}{x}}\\&={\frac {f'(5)}{5}}\\&={\frac {2(5)-4}{5}}\\&={\frac {6}{5}}\\&=1.2\\v&={\frac {f'(x_{2})-f'(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {f'(3)-f'(2)}{3-2}}\\&={\frac {2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2}}\\&={\frac {3}{1}}\\&=3\\\end{aligned}}$$

1. Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
   1. x=${\frac {\pi }{6}}$!
   2. interval $0<x<{\frac {\pi }{2}}$!

Jawaban

$${\begin{aligned}f(x)&=sinx-cosx\\f'(x)&=cosx+sinx\\v&={\frac {f'(x)}{x}}\\&={\frac {f'({\frac {\pi }{6}})}{\frac {\pi }{6}}}\\&={\frac {cos{\frac {\pi }{6}}+sin{\frac {\pi }{6}}}{\frac {\pi }{6}}}\\&={\frac {{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\pi }{6}}}\\&={\frac {{\frac {\pi }{2}}({\sqrt {3}}+1)}{\frac {\pi }{6}}}\\&=3({\sqrt {3}}+1)\\v&={\frac {f'(x_{2})-f'(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {f'({\frac {\pi }{2}})-f'(0)}{{\frac {\pi }{2}}-0}}\\&={\frac {cos{\frac {\pi }{2}}+sin{\frac {\pi }{2}}-(cos0+sin0)}{{\frac {\pi }{2}}-0}}\\&={\frac {(0+1)-(1+0)}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {0}{\frac {\pi }{2}}}\\&=0\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari $f(x)={\frac {x^{3}}{3}}-3x^{2}-16x+36$!

jawaban

Jawaban

$${\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{3}}{3}}-3x^{2}-16x+36\\f'(x)&=x^{2}-6x-16\\{\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 }}\\x^{2}-6x-16&=0\\(x+2)(x-8)&=0\\x=-2&{\text{ atau }}x=8\\{\text{ menentukan nilai ekstrem }}\\f''(x)&=2x-6\\f''(-2)&=2(2)-6=-2<0\\f''(8)&=2(8)-6=10>0\\{\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum }}\\{\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah }}\\f(-2)&={\frac {(-2)^{3}}{3}}-3(-2)^{2}-16(-2)+36\\&={\frac {160}{3}}\\f(8)&={\frac {8^{3}}{3}}-3(8)^{2}-16(8)+36\\&=-{\frac {1.386}{3}}\\{\text{jadi titik stasionernya adalah }}(-2,{\frac {160}{3}}){\text{ dan }}(8,-{\frac {1.386}{3}})\\{\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 }}\\f''(x)&=2x-6\\2x-6&=0\\x&=3\\{\text{untuk menentukan titik beloknya adalah }}\\f(3)&={\frac {3^{3}}{3}}-3(3)^{2}-16(3)+36\\f(3)&=-30\\{\text{jadi titik beloknya adalah }}(3,-30)\\{\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika }}x<-2{\text{ atau }}x>8{\text{ dan turun jika }}-2<x<8\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari $f(x)=1-2cos2x$ pada batas-batas interval $0<x<{\frac {\pi }{2}}$!

jawaban

Jawaban

$${\begin{aligned}f(x)&=1-2cos2x\\f'(x)&=4sin2x\\{\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 }}\\4sin2x&=0\\8sinx\cdot cosx&=0\\(sinx)(cosx)&=0\\x=0&{\text{ atau }}x={\frac {\pi }{2}}\\{\text{ menentukan nilai ekstrem }}\\f''(x)&=8cos2x\\f''(0)&=8cos2(0)=8>0\\f''({\frac {\pi }{2}})&=8cos2({\frac {\pi }{2}})=-8<0\\{\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan }}f''({\frac {\pi }{2}}){\text{ negatif maka nilai maksimum }}\\{\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah }}\\f(0)&=1-2cos2(0)\\&=-1\\f({\frac {\pi }{2}})&=1-2cos2({\frac {\pi }{2}})\\&=3\\{\text{jadi titik stasionernya adalah }}(0,-1){\text{ dan }}({\frac {\pi }{2}},3)\\{\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 }}\\f''(x)&=8cos2x\\8cos2x&=0\\cos2x&=0\\cos2x&=cos{\frac {\pi }{2}}\\2x&={\frac {\pi }{2}}\\x&={\frac {\pi }{4}}\\{\text{untuk menentukan titik beloknya adalah }}\\f({\frac {\pi }{4}})&=1-2cos2({\frac {\pi }{4}})\\f({\frac {\pi }{4}})&=1\\{\text{jadi titik beloknya adalah }}({\frac {\pi }{4}},1)\\{\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik }}\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x)={\frac {x^{3}}{3}}-x^{2}-8x$ pada:
   1. di titik (-3,-3)!
   2. berabsis 2!

jawaban

Jawaban

$${\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{3}}{3}}-x^{2}-8x\\f'(x)&=x^{2}-2x-8\\f'(x)&=(-3)^{2}-2(3)-8\\f'(x)&=-5\\(y-y_{1})&=m(x-x_{1})\\y-(-3)&=-5(x-(-3))\\y+3&=-5x-15\\y&=-5x-18\\\end{aligned}}$$

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu }}{\frac {2^{3}}{3}}-2^{2}-8(2)=-{\frac {52}{3}}\\f(x)&={\frac {x^{3}}{3}}-x^{2}-8x\\f'(x)&=x^{2}-2x-8\\f'(x)&=2^{2}-2(2)-8\\f'(x)&=-8\\(y-y_{1})&=m(x-x_{1})\\y-(-{\frac {52}{3}})&=-8(x-2)\\y+{\frac {52}{3}}&=-8x+16\\y&=-8x-{\frac {4}{3}}\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x)=3x^{2}-11x+10$ dan:
   1. sejajar dengan 7x-y=21!
   2. tegak lurus dengan 5y-x=10!

jawaban

Jawaban

$${\begin{aligned}7x-y&=21\\y&=7x-21\\m_{1}&=7\\{\text{karena bergradien sejajar maka }}m_{2}=m_{1}\\m_{2}&=m_{1}\\m_{2}&=7\\f(x)&=3x^{2}-11x+10\\f'(x)&=6x-11\\7&=6x-11\\6x&=18\\x&=3\\{\text{untuk mencari nilai y dari 3 }}\\f(x)&=3x^{2}-11x+10\\&=3(3)^{2}-11(3)+10\\&=4\\(y-y_{1})&=m(x-x_{1})\\y-4&=7(x-3)\\y-4&=7x-21\\y&=7x-17\\\end{aligned}}$$

Jawaban

$${\begin{aligned}5y-x&=10\\5y&=x+10\\y&={\frac {x}{5}}+2\\m_{1}&={\frac {1}{5}}\\{\text{karena bergradien tegak lurus maka }}m_{2}=-{\frac {1}{m_{1}}}\\m_{2}&=-{\frac {1}{\frac {1}{5}}}\\m_{2}&=-5\\f(x)&=3x^{2}-11x+10\\f'(x)&=6x-11\\-5&=6x-11\\6x&=6\\x&=1\\{\text{untuk mencari nilai y dari 1 }}\\f(x)&=3x^{2}-11x+10\\&=3(1)^{2}-11(1)+10\\&=2\\(y-y_{1})&=m(x-x_{1})\\y-2&=-5(x-1)\\y-2&=-5x+5\\y&=-5x+7\\\end{aligned}}$$

1. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal tinggi adalah x }}\\t=x,p&=45-2x,l=24-2x\\v&=(45-2x)\cdot (24-2x)\cdot x\\&=4x^{3}-138x^{2}-1080x\\{\text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0}}\\v(x)&=4x^{3}-138x^{2}-1080x\\v'(x)&=12x^{2}-376x-1080\\v'(x)&=0\\12x^{2}-376x-1080&=0\\12(x^{2}-23x-90)&=0\\x^{2}-23x-90&=0\\(x-18)(x-5)&=0\\x=18&{\text{ atau }}x=5\\\end{aligned}}$$ jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm

1. Sebuah kawat berbentuk persegipanjang dengan ukuran p x l cm. Lebar kawat ini akan dibuat kawat baru dengan cara memasangnya dengan cara setengah ukuran lebar masing-masing dari ujung ke ujung sehingga kelilingnya adalah 130 cm. Tentukan ukuran kawat agar luas maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal panjang adalah p dan lebar adalah l }}\\k&=3p+4l\\130&=3p+4l\\4l&=130-3p\\l&=32,5-0,75p\\L(x)&=pl\\&=p(32,5-0,75p)\\&=32,5p-0,75p^{2}\\{\text{agar luas maksimum adalah L'(x) = 0}}\\L(x)&=32,5p-0,75p^{2}\\L'(x)&=32,5-1,5p\\L'(x)&=0\\32,5-1,5p&=0\\p(32,5-1,5p)&=0\\p=0&{\text{ atau }}p={\frac {65}{3}}\\l&=32,5-0,75({\frac {65}{3}})\\&=32,5-16,25\\&=16,25\\\end{aligned}}$$ jadi ukurannya adalah ${\frac {65}{3}}x{\frac {65}{4}}$ cm

1. Sebuah kerucut memiliki tabung yang berada di dalamnya. Tentukan jari-jari dan tinggi tabung agar volumenya maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal jari-jari dan tinggi kerucut adalah R dan t }}\\{\text{Misal jari-jari dan tinggi tabung adalah r dan h }}\\{\frac {h}{t}}&={\frac {R-r}{R}}\\h&={\frac {(R-r)t}{R}}\\{\text{agar volume maksimum adalah V'(x) = 0 }}\\V(r)&=\pi r^{2}h\\&=\pi r^{2}{\frac {(R-r)t}{R}}\\&=\pi r^{2}t-\pi {\frac {r^{3}t}{R}}\\V'(r)&=2\pi rt-3\pi {\frac {r^{2}t}{R}}\\V'(r)&=0\\2\pi rt-3\pi {\frac {r^{2}t}{R}}&=0\\2\pi rt-3\pi {\frac {r^{2}t}{R}}&=0\\{\frac {3r}{R}}&=2\\r&={\frac {2R}{3}}\\h&={\frac {(R-{\frac {2R}{3}})t}{R}}\\&={\frac {Rt}{3R}}\\&={\frac {t}{3}}\\\end{aligned}}$$

1. Sebuah bola memiliki tabung yang berada di dalamnya. Tentukan jari-jari dan tinggi tabung agar volumenya maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal jari-jari bola adalah R }}\\{\text{Misal jari-jari dan tinggi tabung adalah r dan t }}\\t&={\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\{\text{agar volume maksimum adalah V'(x) = 0 }}\\V(r)&=\pi r^{2}t\\&=\pi r^{2}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\V'(r)&=2\pi r{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}-{\frac {\pi r^{3}}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}\\V'(r)&=0\\2\pi r{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}-{\frac {\pi r^{3}}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}&=0\\2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}-{\frac {r^{2}}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}&=0\\{\frac {r^{2}}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}&=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\r^{2}&=2(R^{2}-r^{2})\\r^{2}&=2R^{2}-2r^{2}\\3r^{2}&=2R^{2}\\r&={\frac {R{\sqrt {6}}}{3}}\\t&={\sqrt {R^{2}-({\frac {R{\sqrt {6}}}{3}})^{2}}}\\&={\sqrt {R^{2}-{\frac {6R^{2}}{9}}}}\\&={\sqrt {\frac {R^{2}}{3}}}\\&={\frac {R{\sqrt {3}}}{3}}\\\end{aligned}}$$

1. Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y }}\\x+y&=40\\y&=40-x\\{\text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0 }}\\h(x)&=x\cdot y\\&=x\cdot (40-x)\\&=40x-x^{2}\\h'(x)&=40-2x\\h'(x)&=0\\40-2x&=0\\2x&=40\\x&=20\\h(x)&=20\cdot (40-20)\\&=20\cdot 20\\&=400\\\end{aligned}}$$

jadi hasil kalinya adalah 400

• Tentukan hasil turunan pertama dari x^x!

Jawaban

$${\begin{aligned}y&=x^{x}\\lny&=lnx^{x}\\lny&=xlnx\\{\frac {1}{y}}y'&=lnx+x{\frac {1}{x}}\\y'&=y(lnx+1)\\&=x^{x}(lnx+1)\\\end{aligned}}$$

• Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15!

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{3}-y^{2}&=15\\y^{2}&=x^{3}-15\\y&={\sqrt {x^{3}-15}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-15}}}}\\&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2(x^{3}-15)}}\\&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2x^{3}-30}}\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{untuk mencari nilai y maka }}\\x^{3}-y^{2}&=15\\y^{2}&=x^{3}-15\\y&={\sqrt {x^{3}-15}}\\x^{3}-y^{2}&=15\\3x^{2}-2yy'&=0\\2yy'&=3x^{2}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\&={\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-15}}}}\\&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2(x^{3}-15)}}\\&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2x^{3}-30}}\\\end{aligned}}$$

cara 3

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{3}-y^{2}&=15\\x^{3}-y^{2}-15&=0\\y'(x)&=3x^{2}\\y'(y)&=-2y\\y'={\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {y'(x)}{y'(y)}}\\&=-{\frac {3x^{2}}{-2y}}\\&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\{\text{untuk mencari nilai y maka }}\\x^{3}-y^{2}&=15\\y^{2}&=x^{3}-15\\y&={\sqrt {x^{3}-15}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\&={\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-15}}}}\\&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2(x^{3}-15)}}\\&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2x^{3}-30}}\\\end{aligned}}$$

• Tentukan hasil turunan pertama dari 3x²y+7y=x³-2!

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}3x^{2}y+7y&=x^{3}-2\\y(3x^{2}+7)&=x^{3}-2\\y&={\frac {x^{3}-2}{3x^{2}+7}}\\y'&={\frac {3x^{2}(3x^{2}+7)-(x^{3}-2)6x}{(3x^{2}+7)^{2}}}\\&={\frac {9x^{4}+21x^{2}-6x^{4}+12x}{81x^{8}+756x^{6}+2.646x^{4}+4.116x^{2}+2.401}}\\&={\frac {3x^{4}+21x^{2}+12x}{81x^{8}+756x^{6}+2.646x^{4}+4.116x^{2}+2.401}}\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{untuk mencari nilai y maka }}\\3x^{2}y+7y&=x^{3}-2\\(3x^{2}+7)y&=x^{3}-2\\y&={\frac {x^{3}-2}{3x^{2}+7}}\\3x^{2}y+7y&=x^{3}-2\\6xy+3x^{2}y'+7y'&=3x^{2}\\3x^{2}y'+7y'&=3x^{2}-6xy\\(3x^{2}+7)y'&=3x^{2}-6xy\\y'&={\frac {3x^{2}-6xy}{3x^{2}+7}}\\&={\frac {3x^{2}-6x({\frac {x^{3}-2}{3x^{2}+7}})}{3x^{2}+7}}\\&={\frac {3x^{2}(3x^{2}+7)-6x(x^{3}-2)}{(3x^{2}+7)^{2}}}\\&={\frac {9x^{4}+21x^{2}-6x^{4}+12x}{81x^{8}+756x^{6}+2.646x^{4}+4.116x^{2}+2.401}}\\&={\frac {3x^{4}+21x^{2}+12x}{81x^{8}+756x^{6}+2.646x^{4}+4.116x^{2}+2.401}}\\\end{aligned}}$$

cara 3

Jawaban

$${\begin{aligned}3x^{2}y+7y&=x^{3}-2\\3x^{2}y+7y-x^{3}+2&=0\\y'(x)&=6xy-3x^{2}\\y'(y)&=3x^{2}+7\\y'={\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {y'(x)}{y'(y)}}\\&=-{\frac {6xy-3x^{2}}{3x^{2}+7}}\\&={\frac {3x^{2}-6xy}{3x^{2}+7}}\\{\text{untuk mencari nilai y maka }}\\3x^{2}y+7y&=x^{3}-2\\(3x^{2}+7)y&=x^{3}-2\\y&={\frac {x^{3}-2}{3x^{2}+7}}\\y'&={\frac {3x^{2}-6xy}{3x^{2}+7}}\\&={\frac {3x^{2}-6x({\frac {x^{3}-2}{3x^{2}+7}})}{3x^{2}+7}}\\&={\frac {3x^{2}(3x^{2}+7)-6x(x^{3}-2)}{(3x^{2}+7)^{2}}}\\&={\frac {9x^{4}+21x^{2}-6x^{4}+12x}{81x^{8}+756x^{6}+2.646x^{4}+4.116x^{2}+2.401}}\\&={\frac {3x^{4}+21x^{2}+12x}{81x^{8}+756x^{6}+2.646x^{4}+4.116x^{2}+2.401}}\\\end{aligned}}$$

• Tentukan hasil turunan pertama dari x²y+xy²=x+2y!

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}y+xy^{2}&=x+2y\\2xy+x^{2}y'+y^{2}+x2yy'&=1+2y'\\x^{2}y'+2xyy'-2y'&=1-2xy-y^{2}\\(x^{2}+2xy-2)y'&=-y^{2}-2xy+1\\y'&={\frac {-y^{2}-2xy+1}{x^{2}+2xy-2}}\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}y+xy^{2}&=x+2y\\x^{2}y+xy^{2}-x-2y&=0\\y'(x)&=2xy+y^{2}-1\\y'(y)&=x^{2}+x2y-2\\y'={\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {y'(x)}{y'(y)}}\\&=-{\frac {2xy+y^{2}-1}{x^{2}+x2y-2}}\\&={\frac {-y^{2}-2xy+1}{x^{2}+2xy-2}}\\\end{aligned}}$$