Lompat ke isi

Soal-Soal Matematika/Fungsi

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas

Sifat fungsi yaitu:

  1. Fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada)

contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}

    1. Buktikan f(x)=x2-4 dengan batas-batas -3<x<3 merupakan fungsi surjektif!

Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}

Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.

  1. Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)

contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}

  1. Fungsi bijektif (fungsi satu-satu)

contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

    1. Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1<x<7 merupakan fungsi bijektif!

Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}

Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.

  1. Bukan Fungsi surjektif dan injektif

contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}

Dalam pembuktian sebagai berikut:

f:A -> B : x -> y

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.

contoh

  1. Apakah f:R -> R : x -> x3 merupakan fungsi bijektif?
Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif
Ambil sembarangan y ∈ B
y = x3
x = ∈ R

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.

Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif
Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R
p3 = q3
=
p = q

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.

karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.

Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:

  1. Fungsi linear

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!

daerah asal:
daerah hasil:

  1. Fungsi kuadrat
Sumbu simetri dan harga ekstrem/titik balik

fungsi kuadrat

persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a(x-x1)(x-x2)
y = a(x-xp)2+yp

sumbu simetri adalah x = nilai balik adalah .

Kriteria akar-akar
Pernyataan
D>0 D=0 D<0
a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum) memotong menyinggung tidak memotong dan menyinggung
a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x2+5x+4! cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta hasil y yaitu (-5/2)2+5(-5/2)+4 = -9/4.

daerah asal:
daerah hasil:

2 tentukan sumbu simetri dan titik balik dari persamaan y = x2-4x+3!

cara 1
Jawaban

cara 2
Jawaban

cara 3
Jawaban

sumbu simetri x=2 dan titik baliknya (2,-1).

gambar fungsi
D > 0
Terdapat 2 titik terbuka
D = 0
Terdapat 1 titik terbuka
D < 0
Tidak terdapat titik terbuka
a > 0 Melengkung ke atas dari titik balik
a < 0 Melengkung ke bawah dari titik balik
  1. Fungsi mutlak

Fungsi piecewise adalah setiap fungsi dari daerah hasil memiliki beberapa fungsi dari daerah asal yang berbeda. contoh:

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.

daerah asal:
daerah hasil:

  1. Fungsi akar

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari !

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.

daerah asal:
daerah hasil:

  1. Fungsi pecahan

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari !

daerah asal:
daerah hasil:

2 tentukan daerah asal serta hasil dari !

daerah asal:
daerah hasil:

3 tentukan daerah asal serta hasil dari !

daerah asal:
daerah hasil:

Pembuatan grafik
fungsi pecahan linear dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

  1. titik potong sumbu x ((-b/a,0))
  2. titik potong sumbu y ((0,b/q))
  3. asymtot tegak (x=-q/p)
  4. asymtot datar (y=a/p)
  5. titik-titik lainnya
fungsi pecahan kuadrat dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

  1. titik potong sumbu x (ax2+bx+c=0)
  2. titik potong sumbu y ((0,c/r))
  3. asymtot tegak (px2+qx+r=0)
  4. asymtot datar (y=a/p)
  5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
  6. titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
  7. titik-titik lainnya
fungsi pecahan kuadrat linear dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

  1. titik potong sumbu x (ax2+bx+c=0)
  2. titik potong sumbu y ((0,c/q))
  3. asymtot tegak (x=-q/p)
  4. asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
  5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggalcari x nya)
  6. titik-titik lainnya
fungsi pecahan linear kuadrat dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

  1. titik potong sumbu x ((-b/a,0))
  2. titik potong sumbu y ((0,b/r))
  3. asymtot tegak (px2+qx+r=0)
  4. asymtot datar (y=0)
  5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
  6. titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
  7. titik-titik lainnya
Tambahan soal
  • Tentukan hasil nilai dibawah ini!
  1. f(1) jika
  2. f(2) jika
  3. f(10) jika f(6) = 61 serta

1

Jawaban

2

Jawaban

3

Jawaban

Fungsi ganjil dan genap

[sunting]

fungsi ganjil apabila f(x) = -f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).

contoh soal Apakah fungsi ganjil atau genap sebagai berikut:

  • f(x) = x2
  • f(x) = x7
  • f(x) = x2 sin x
  • f(x) = x2 cos 3x
jawaban
  • f(x) = x2 -> f(-x) = (-x)2
f(-x) = x2 = f(x) -> fungsi genap
  • f(x) = x7 -> f(-x) = (-x)7
f(-x) = -x7 = f(x) -> fungsi ganjil
  • f(x) = x2 sin x -> f(-x) = (-x)2 sin (-x)
f(-x) = x2 (- sin x) = -x2 sin x = -f(x) -> fungsi ganjil
  • f(x) = x2 cos x -> f(-x) = (-x)2 cos (-3x)
f(-x) = x2 cos x = f(x) -> fungsi genap