Soal-Soal Matematika/Fungsi

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B yaitu n(B)^n(A) untuk seluruh fungsinya.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B dalam fungsi bijektif yaitu n(n-1).

Sifat fungsi yaitu:

1. Fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada)

contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}

1. 1. Buktikan f(x)=x²-4 dengan batas-batas -3<x<3 merupakan fungsi surjektif!

Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}

Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.

1. Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)

contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}

1. Fungsi bijektif (fungsi satu-satu atau korespondensi satu-satu)

contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

1. 1. Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1<x<7 merupakan fungsi bijektif!

Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}

Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.

1. Bukan Fungsi surjektif dan injektif

contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}

Dalam pembuktian sebagai berikut:

f:A -> B : x -> y

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.

contoh

1. Apakah f:R -> R : x -> x³ merupakan fungsi bijektif?

Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif

Ambil sembarangan y ∈ B

y = x³

x = ${\sqrt[{3}]{y}}$ ∈ R

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.

Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif

Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R

p³ = q³

${\sqrt[{3}]{(p)^{3}}}$ = ${\sqrt[{3}]{(q)^{3}}}$

p = q

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.

karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.

operasi aritmetika fungsi

• f(x)+g(x) = (f+g) x
• f(x)-g(x) = (f-g) x
• f(x).g(x) = (f.g) x
• ${\frac {f(x)}{g(x)}}=({\frac {f}{g}})x$

bentuk fungsi lain

Domain disebut daerah asal sedangkan kodomain atau range disebut daerah hasil

Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:

1. Fungsi linear

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!

daerah asal: $HP={x|-\infty <x<\infty ,x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|-\infty <y<\infty ,y\in R}$

1. Fungsi kuadrat

Sumbu simetri dan harga ekstrem/titik balik

fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$

persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a(x-x₁)(x-x₂)

y = a(x-x_p)²+y_p

sumbu simetri adalah x = $-{\frac {b}{2a}}$, nilai maksimum/minimum adalah $-{\frac {D}{4a}}$ serta titik puncak/titik balik adalah $(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {D}{4a}})$.

Kriteria akar-akar

	Pernyataan
	D>0	D=0	D<0
a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum)	memotong	menyinggung	tidak memotong dan menyinggung
a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x²+5x+4! cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta hasil y yaitu (-5/2)²+5(-5/2)+4 = -9/4.

daerah asal: $HP={x|-\infty <x<\infty ,x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|y\geq -{\frac {9}{4}},y\in R}$

2 tentukan sumbu simetri dan titik balik dari persamaan y = x²-4x+3!

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}y&=x^{2}-4x+3\\x&=-{\frac {-4}{2\cdot 1}}=2\\y&=-{\frac {(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3}{4\cdot 1}}\\&=-{\frac {4}{4}}=-1\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}y&=x^{2}-4x+3\\x&=-{\frac {-4}{2\cdot 1}}=2\\y&=2^{2}-4(2)+3=-1\\\end{aligned}}$$

cara 3

Jawaban

$${\begin{aligned}y&=x^{2}-4x+3\\y'&=0\\2x-4&=0\\x&=2\\y&=2^{2}-4(2)+3=-1\\\end{aligned}}$$

sumbu simetri x=2 dan titik baliknya (2,-1).

gambar fungsi

	D > 0 Terdapat 2 titik terbuka	D = 0 Terdapat 1 titik terbuka	D < 0 Tidak terdapat titik terbuka
a > 0	Melengkung ke atas dari titik balik
a < 0	Melengkung ke bawah dari titik balik

1. Fungsi akar

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari $y={\sqrt {2x+1}}$!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.

daerah asal: $HP={x|x\geq -{\frac {1}{2}},x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|y\geq 0,y\in R}$

1. Fungsi pecahan

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari $y={\frac {2x+1}{3x-1}}$!

daerah asal: $HP={x|x\neq {\frac {1}{3}},x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|y\neq {\frac {2}{3}},y\in R}$

2 tentukan daerah asal serta hasil dari $y={\frac {x^{2}-4x-5}{x^{2}-x-6}}$!

daerah asal: $HP={x|x\neq {-2,3},x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|-\infty <y<1{\text{ v }}<1<y<\infty ,y\in R}$

3 tentukan daerah asal serta hasil dari $y={\frac {x^{2}+x-20}{2x+3}}$!

daerah asal: $HP={x|x\neq -{\frac {3}{2}},x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|-\infty <y<\infty ,y\in R}$

Pembuatan grafik

fungsi pecahan linear ${\frac {ax+b}{px+q}}$ dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x ((-b/a,0))
2. titik potong sumbu y ((0,b/q))
3. asymtot tegak (x=-q/p)
4. asymtot datar (y=a/p)
5. titik-titik lainnya

fungsi pecahan kuadrat ${\frac {ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}$ dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x (ax²+bx+c=0)
2. titik potong sumbu y ((0,c/r))
3. asymtot tegak (px²+qx+r=0)
4. asymtot datar (y=a/p)
5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
6. titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
7. titik-titik lainnya

fungsi pecahan kuadrat linear ${\frac {ax^{2}+bx+c}{px+q}}$ dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x (ax²+bx+c=0)
2. titik potong sumbu y ((0,c/q))
3. asymtot tegak (x=-q/p)
4. asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
6. titik-titik lainnya

fungsi pecahan linear kuadrat ${\frac {ax+b}{px^{2}+qx+r}}$ dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x ((-b/a,0))
2. titik potong sumbu y ((0,b/r))
3. asymtot tegak (px²+qx+r=0)
4. asymtot datar (y=0)
5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
6. titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
7. titik-titik lainnya

1. Fungsi mutlak

Fungsi mutlak adalah setiap fungsi memiliki aturan nilainya mutlak dan selalu bernilai positif. rumus: $|f(x)|={\begin{cases}x&{\text{ untuk }}x\geq 0\\-x&{\text{ untuk }}x<0\end{cases}}$

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.

daerah asal: $HP={x|-\infty <x<\infty ,x\in R}$
daerah hasil: $HP={y|y\geq 0,y\in R}$

1. Fungsi sepenggal (piecewise)

Fungsi sepenggal adalah setiap fungsi dari daerah hasil memiliki beberapa fungsi dari daerah asal yang berbeda. contoh: $f(x)={\begin{cases}2x-3&{\text{ untuk }}x\geq {\frac {3}{2}}\\x&{\text{ untuk }}x<{\frac {3}{2}}\\\end{cases}}$, $f(x)={\begin{cases}cosx&{\text{ untuk }}x\geq 0\\sinx&{\text{ untuk }}x<0\end{cases}}$

1. Fungsi tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang bernilai konstan pada interval-interval dimana ia didefinisikan. Fungsi tangga terbagi tiga jenis yaitu

1. 1. Fungsi atap

Fungsi atap disebut juga fungsi bilangan bulat terkecil. Dilambangkan sebagai berikut: $f(x)=\lceil x\rceil ={\text{atap}}(x)$ dan rumus $\lceil x\rceil =min{m\in Z,m\geq x}$. Contoh: $\lceil 0,\!8\rceil =1$, $\lceil 2,\!4\rceil =3$ dan $\lceil -3,\!5\rceil =-3$

sifat-sifat:

• $\lceil x\rceil =x$ jika x bulat
• $x\leq \lceil x\rceil <x+1$
• $\lceil x\rceil =n{\text{ maka }}n-1<x\leq n$
• $n<\lceil x\rceil {\text{ maka }}n<x$
• $\lceil x\rceil \leq n{\text{ maka }}x\leq n$
• $\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$
• $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \geq \lceil x+y\rceil$
• $\lceil xy\rceil \geq \lceil x\rceil \cdot \lceil y\rceil$

1. 1. Fungsi lantai

Fungsi lantai disebut juga fungsi bilangan bulat terbesar. Dilambangkan sebagai berikut: $f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{lantai}}(x)$ dan rumus $\lfloor x\rfloor =max{m\in Z,m\leq x}$. Contoh: $\lfloor 4,\!27\rfloor =4$, $\lceil 5,\!69\rceil =5$ dan $\lfloor -7,\!5\rfloor =-8$

sifat-sifat:

• $\lfloor x\rfloor =x$ jika x bulat
• $x-1<\lfloor x\rfloor \leq x$
• $\lfloor x\rfloor =n{\text{ maka }}n<x\leq n+1$
• $\lfloor x\rfloor <n{\text{ maka }}n<x$
• $n\leq \lfloor x\rfloor {\text{ maka }}x\leq n$
• $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$
• $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor$
• $\lfloor xy\rfloor \leq \lfloor x\rfloor \cdot \lfloor y\rfloor$

1. 1. Fungsi pembulatan

Dilambangkan sebagai berikut: $f(x)=[x]={\text{int}}(x)$. Contoh: [8,2] = 8, [9,7] = 10 dan [10,5] = 11

tambahan;

• x = $\lfloor x\rfloor$+{x}

hubungan fungsi atap dan fungsi lantai

• $x-1<\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil <x+1$
• $-\lfloor x\rfloor =\lceil -x\rceil$
• $\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil$
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor$ = 0 (?) jika x bulat
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor$ = 1 jika x takbulat

1. Fungsi eksponensial

rumus: f(x) = a^x

1. Fungsi logaritma

rumus: f(x) = ^alog x, a>0, x>0, $a\neq 1$

Tambahan soal

• Tentukan hasil nilai dibawah ini!

1. f(1) jika $f({\frac {26}{3^{x}-1}})={\frac {16}{x^{2}-1}}$
2. f(2) jika $f({\sqrt {3^{x}-5}})=log5x$
3. f(10) jika f(6) = 61 serta $f(6)\cdot f({\frac {5}{6}})=f(6)+25f({\frac {5}{6}})$
4. f(2025) jika $x^{3}f(x)+f(2-x)=3x+3x^{4}$

1

Jawaban

$${\begin{aligned}f({\frac {26}{3^{x}-1}})&={\frac {16}{x^{2}-1}}\\{\text{ anggap bahwa }}f(1)&=f({\frac {26}{3^{x}-1}})\\1&={\frac {26}{3^{x}-1}}\\3^{x}-1&=26\\3^{x}&=27\\3^{x}&=3^{3}\\x&=3\\{\text{ nah x adalah 3 }}\\{\frac {16}{x^{2}-1}}&={\frac {16}{3^{2}-1}}\\&={\frac {16}{8}}\\&=2\\f(1)&=2\\\end{aligned}}$$

2

Jawaban

$${\begin{aligned}f({\sqrt {3^{x}-5}})&=log5x\\{\text{ anggap bahwa }}f(2)&=f({\sqrt {3^{x}-5}})\\2&={\sqrt {3^{x}-5}}\\3^{x}-5&=2^{2}\\3^{x}-5&=4\\3^{x}&=9\\3^{x}&=3^{2}\\x&=2\\{\text{ nah x adalah 2 }}\\log5x&=log5(2)\\&=log10\\&=1\\f(2)&=1\\\end{aligned}}$$

3

Jawaban

$${\begin{aligned}f(6)\cdot f({\frac {5}{6}})&=f(6)+25f({\frac {5}{6}})\\61f({\frac {5}{6}})&=61+25f({\frac {5}{6}})\\36f({\frac {5}{6}})&=61\\f({\frac {5}{6}})&={\frac {61}{36}}\\f({\frac {5}{6}})&=1+{\frac {25}{36}}\\f({\frac {5}{6}})&=1+{\frac {5^{2}}{6^{2}}}\\f({\frac {5}{6}})&=1+({\frac {5}{6}})^{2}\\f(x)&=1+x^{2}\\f(x)&=1+x^{2}\\f(10)&=1+10^{2}\\&=101\\\end{aligned}}$$

4

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{3}f(x)+f(2-x)&=3x+3x^{4}\\{\text{jika f(x) adalah f(2025) maka }}\\x^{3}f(2025)+f(-2023)&=3x+3x^{4}\\{\text{jika f(2-x) adalah f(2025) maka }}\\x^{3}f(-2023)+f(2025)&=3x+3x^{4}\\{\text{eliminasi untuk kedua persamaan menjadi }}\\x^{6}f(2025)-f(2025)&=(x^{3}-1)(3x+3x^{4})\\f(2025)(x^{6}-1)&=(x^{3}-1)3x(x^{3}+1)\\f(2025)(x^{6}-1)&=3x(x^{6}-1)\\f(2025)&=3x\\f(2025)&=3(2025)\\f(2025)&=6075\\\end{aligned}}$$

Fungsi ganjil dan genap

fungsi ganjil apabila f(x) = -f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).

contoh soal Apakah fungsi ganjil atau genap sebagai berikut:

• f(x) = x²
• f(x) = x⁷
• f(x) = x² sin x
• f(x) = x² cos 3x

jawaban

• f(x) = x² -> f(-x) = (-x)²

f(-x) = x² = f(x) -> fungsi genap

• f(x) = x⁷ -> f(-x) = (-x)⁷

f(-x) = -x⁷ = f(x) -> fungsi ganjil

• f(x) = x² sin x -> f(-x) = (-x)² sin (-x)

f(-x) = x² (- sin x) = -x² sin x = -f(x) -> fungsi ganjil

• f(x) = x² cos x -> f(-x) = (-x)² cos (-3x)

f(-x) = x² cos x = f(x) -> fungsi genap