Soal-Soal Matematika/Fungsi
Sifat fungsi yaitu:
- Fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}
- Buktikan f(x)=x2-4 dengan batas-batas -3<x<3 merupakan fungsi surjektif!
Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}
Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.
- Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}
- Fungsi bijektif (fungsi satu-satu)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}
- Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1<x<7 merupakan fungsi bijektif!
Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}
Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.
- Bukan Fungsi surjektif dan injektif
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}
Dalam pembuktian sebagai berikut:
f:A -> B : x -> y
Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).
Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.
Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.
contoh
- Apakah f:R -> R : x -> x3 merupakan fungsi bijektif?
- Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif
- Ambil sembarangan y ∈ B
- y = x3
- x = ∈ R
maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.
- Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif
- Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R
- p3 = q3
- =
- p = q
maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.
karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.
Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:
- Fungsi linear
contoh soal
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!
daerah asal:
daerah hasil:
- Fungsi kuadrat
- Sumbu simetri dan harga ekstrem/titik balik
fungsi kuadrat
persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:
- y = a(x-x1)(x-x2)
- y = a(x-xp)2+yp
sumbu simetri adalah x = nilai balik adalah .
Pernyataan | |||
---|---|---|---|
D>0 | D=0 | D<0 | |
a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum) | memotong | menyinggung | tidak memotong dan menyinggung |
a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum) |
contoh soal
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x2+5x+4! cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta hasil y yaitu (-5/2)2+5(-5/2)+4 = -9/4.
daerah asal:
daerah hasil:
2 tentukan sumbu simetri dan titik balik dari persamaan y = x2-4x+3!
- cara 1
- cara 2
- cara 3
sumbu simetri x=2 dan titik baliknya (2,-1).
- gambar fungsi
D > 0 Terdapat 2 titik terbuka |
D = 0 Terdapat 1 titik terbuka |
D < 0 Tidak terdapat titik terbuka | |
---|---|---|---|
a > 0 | Melengkung ke atas dari titik balik | ||
a < 0 | Melengkung ke bawah dari titik balik |
- Fungsi mutlak
Fungsi piecewise adalah setiap fungsi dari daerah hasil memiliki beberapa fungsi dari daerah asal yang berbeda. contoh:
contoh soal
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!
cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.
daerah asal:
daerah hasil:
- Fungsi akar
contoh soal
1 tentukan daerah asal serta hasil dari !
cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.
daerah asal:
daerah hasil:
- Fungsi pecahan
contoh soal
1 tentukan daerah asal serta hasil dari !
daerah asal:
daerah hasil:
2 tentukan daerah asal serta hasil dari !
daerah asal:
daerah hasil:
3 tentukan daerah asal serta hasil dari !
daerah asal:
daerah hasil:
- Pembuatan grafik
- fungsi pecahan linear dengan p≠0.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
- titik potong sumbu x ((-b/a,0))
- titik potong sumbu y ((0,b/q))
- asymtot tegak (x=-q/p)
- asymtot datar (y=a/p)
- titik-titik lainnya
- fungsi pecahan kuadrat dengan {a,p}≠0.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
- titik potong sumbu x (ax2+bx+c=0)
- titik potong sumbu y ((0,c/r))
- asymtot tegak (px2+qx+r=0)
- asymtot datar (y=a/p)
- harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
- titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
- titik-titik lainnya
- fungsi pecahan kuadrat linear dengan {a,p}≠0.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
- titik potong sumbu x (ax2+bx+c=0)
- titik potong sumbu y ((0,c/q))
- asymtot tegak (x=-q/p)
- asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
- harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggalcari x nya)
- titik-titik lainnya
- fungsi pecahan linear kuadrat dengan p≠0.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
- titik potong sumbu x ((-b/a,0))
- titik potong sumbu y ((0,b/r))
- asymtot tegak (px2+qx+r=0)
- asymtot datar (y=0)
- harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
- titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
- titik-titik lainnya
- Tambahan soal
- Tentukan hasil nilai dibawah ini!
- f(1) jika
- f(2) jika
- f(10) jika f(6) = 61 serta
1
2
3
Fungsi ganjil dan genap
[sunting]fungsi ganjil apabila f(x) = -f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).
contoh soal Apakah fungsi ganjil atau genap sebagai berikut:
- f(x) = x2
- f(x) = x7
- f(x) = x2 sin x
- f(x) = x2 cos 3x
- jawaban
- f(x) = x2 -> f(-x) = (-x)2
- f(-x) = x2 = f(x) -> fungsi genap
- f(x) = x7 -> f(-x) = (-x)7
- f(-x) = -x7 = f(x) -> fungsi ganjil
- f(x) = x2 sin x -> f(-x) = (-x)2 sin (-x)
- f(-x) = x2 (- sin x) = -x2 sin x = -f(x) -> fungsi ganjil
- f(x) = x2 cos x -> f(-x) = (-x)2 cos (-3x)
- f(-x) = x2 cos x = f(x) -> fungsi genap