Soal-Soal Matematika/KPK dan FPB

KPK adalah singkatan dari kelipatan persekutuan kecil sedangkan FPB yaitu faktor persekutuan besar. KPK terambil dari semua angka faktor dan berpangkat tinggi serta FPB terambil dari angka faktor yang sama dan berpangkat rendah

1. Tentukan faktor, faktor prima, faktorisasi prima dan banyaknya faktor dari 36!

Jawaban

$${\begin{aligned}&{\text{ faktor dari 36 = }}1,2,3,4,6,9,12,18{\text{ dan }}36\\&{\text{ faktor prima dari 36 = }}2{\text{ dan }}3\\&{\text{ faktorisasi prima dari 36 = }}2^{2}{\text{ dan }}3^{2}\\&{\text{ banyaknya faktor dari 36 = }}9\\\end{aligned}}$$

Untuk mengetahui banyaknya faktor adalah lihat tabel faktor tinggal dihitung jumlah saja (cara 1) dan metode faktorisasi prima dilihat pangkatnya misal a^b x c^d x e^f dst kemudian hasilnya (b+1) x (d+1) x (f+1). jadi lihat tabel faktorisasi prima yaitu (2+1) x (2+1) (cara 2).

2. Tentukan KPK dan FPB dari 12 dan 20!

cara 1

12 = 2² x 3

20 = 2² x 5

FPB = 2² = 4
KPK = 2² x 3 x 5 = 60

cara 2

12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12

20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

FPB = 4

12 = 12, 24, 36, 48, 60, ….

20 = 20, 40, 60, ….

KPK = 60

cara 3

12	20	Keterangan
6	10	2
6	2	5
3	1	2
1	1	3

FPB = 2 x 2 = 4 (lihat tebal angka)
KPK = 2 x 5 x 2 x 3 = 60 (semua)

3. Tentukan FPB dan KPK dari 18, 27 dan 36!

cara 1

18 = 2 x 3²

27 = 3³

36 = 2² x 3²

FPB = 3² = 9
KPK = 2² x 3³ = 108

cara 2

18 = 1, 2, 3, 6, 9 dan 18

27 = 1, 3, 9 dan 27

36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 dan 36

FPB = 9

18 = 18, 36, 54, 72, 90, 108, ….

27 = 27, 54, 81, 108, ….

36 = 36, 72, 108, ….

KPK = 108

cara 3

18	27	36	Keterangan
6	9	12	3
3	9	6	2
1	3	2	3
1	1	2	3
1	1	1	2

FPB = 3 x 3 = 9 (lihat tebal angka)
KPK = 3 x 2 x 3 x 3 x 2 = 108 (semua)

4. Di perpustakaan pada hari senin Andi datang 5 hari dan Tuti 6 hari. Hari apa mereka datang bersama-sama?

Jawaban

5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
6 = 6, 12, 18, 24, 30, …

KPK dari 5 dan 6 adalah 30.

jadi mereka datang bersama-sama pada hari selasa.

5. Di pasar ibu membeli 12 anggur dan 16 mangga yang akan diberikan kepada anak-anak. Berapa banyak anak-anak memperolehnya serta banyaknya buah yang telah diberikan?

Jawaban

12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
16 = 1, 2, 4, 8 dan 16

FPB dari 12 dan 16 adalah 4.

banyaknya anggur = 12/4 = 3.
banyaknya mangga = 16/4 = 4

jadi buah yang diberikan kepada 4 anak serta masing-masing memperoleh 3 anggur dan 4 mangga.

6. Di rumah Ali mengecat tembok 5 hari dan Tono 8 hari. Berapa hari mereka datang bersama-sama?

Jawaban dianggap salah

Jawaban

5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …
8 = 8, 16, 24, 32, 40, …

KPK dari 5 dan 8 adalah 40.

jadi mereka datang bersama-sama selama 40 hari.

Jawaban dianggap benar

Jawaban

$${\begin{aligned}&{\text{ misalkan mereka datang bersama-sama = }}x\\{\frac {1}{x}}&={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{x}}&={\frac {13}{40}}\\x&={\frac {40}{13}}\\x&=3{\frac {1}{13}}\\x&=3.07\\\end{aligned}}$$

jadi mereka datang bersama-sama selama 3.07 hari.