Soal-Soal Matematika/Logika matematika
(Sifat) Hukum logika
[sunting]- Hukum komutatif
- p ∧ q ≡ q ∧ p
- p ∨ q ≡ q ∨ p
- Hukum asosiatif
- (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
- (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
- Hukum distributif
- p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- Hukum identitas
- p ∧ B ≡ p
- p ∨ S ≡ p
- Hukum ikatan
- p ∧ S ≡ S
- p ∨ B ≡ B
- Hukum negasi
- p ∧ ~p ≡ S
- p ∨ ~p ≡ B
- Hukum negasi ganda
- ~(~p) ≡ p
- Hukum idempotent
- p ∧ p ≡ p
- p ∨ p ≡ p
- Hukum De Morgan
- ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
- Hukum penyerapan
- p ∧ (p ∨ q) ≡ p
- p ∨ (p ∧ q) ≡ p
- Negasi B dan S
- ~B ≡ S
- ~S ≡ B
- p → q ≡ ~p ∨ q
- p → q ≡ ~q → ~p
- p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
Tabel kebenaran
[sunting]Jenis-jenis operasi pada tabel kebenaran
[sunting]Operasi yang digunakan adalah
- Negasi
Tabel kebenaran untuk tidak p (juga ditulis ¬p, Np, Fpq, atau ~p) adalah di bawah ini:
p | ¬p |
---|---|
B | S |
S | B |
- Konjungsi
Tabel kebenaran untuk p dan q (juga ditulis p ∧ q, Kpq, p & q, atau p q) adalah di bawah ini:
p | q | p ∧ q |
---|---|---|
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | S |
nama lain selain dan yaitu tetapi, walaupun atau meskipun.
- Disjungsi inklusif (sering disebut sebagai disjungsi saja)
Tabel kebenaran untuk p atau q (juga ditulis p ∨ q, Apq, p || q, atau p + q) adalah di bawah ini:
p | q | p ∨ q |
---|---|---|
B | B | B |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
- Implikasi
Tabel kebenaran untuk jika p maka q (juga ditulis p → q, Cpq, atau p ⇒ q) adalah di bawah ini:
p | q | p ⇒ q |
---|---|---|
B | B | B |
B | S | S |
S | B | B |
S | S | B |
nama lain selain jika A maka B yaitu A hanya jika B, B jika A, A syarat cukup bagi B, B syarat perlu bagi A, A mengakibatkan B atau B menurut A.
- Kesamaan atau Bikondisional (sering disebut sebagai biimplikasi saja)
Tabel kebenaran untuk p jika dan hanya jika q (juga ditulis p ↔ q, Epq, p = q, atau p ≡ q) adalah di bawah ini:
p | q | p ≡ q |
---|---|---|
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | B |
nama lain selain A jika dan hanya jika B yaitu jika A maka B dan jika B maka A atau A syarat cukup dan perlu bagi B.
- Disjungsi eksklusif
Tabel kebenaran untuk tidak kedua-duanya p atau q (juga ditulis p ⊕ q, Jpq, atau p ≠ q) adalah di bawah ini:
p | q | p ⊕ q |
---|---|---|
B | B | S |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
Jumlah kemungkinan hasil adalah , dimana n adalah jumlah pernyataan dasar yang ada (p, q, r, dsb). Namun, p dan ~p (negasi p) tidak dihitung sebagai pernyataan yang berbeda.
Invers, Konvers dan Kontraposisi
[sunting]- Invers dari adalah ~p → ~q
- Konvers dari adalah q → p
- Kontraposisi dari adalah ~q → ~p
Penarikan kesimpulan
[sunting]Modus ponens
[sunting]- premis 1: p → q
- premis 2: p
- kesimpulan: q
Modus tollens
[sunting]- premis 1: p → q
- premis 2: ~q
- kesimpulan: ~p
Silogisme
[sunting]- premis 1: p → q
- premis 2: q → r
- kesimpulan: p → r
contoh
- negasikan dari kalimat berikut:
- Semua siswa TK lulus sekolah.
- Ada orang yang tidak memakai helm pada saat dirazia.
- Jawaban
- Beberapa siswa TK tidak lulus sekolah.
- Seluruh orang yang memakai helm pada saat dirazia.
- cari kesimpulan dari dua pernyataan sebagai berikut:
- Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
- Jika Ani rajin dan pandai maka ia lulus ujian. Ani tidak lulus ujian.
- Ibu tidak cantik atau jujur. Ibu cantik.
- Jawaban
- Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
- Semua pengendara sepeda motor memakai helm. (p-> q)
- Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. (q -> r)
- kesimpulan adalah Semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa. (p -> r)
- Jika Ani rajin dan pandai maka ia lulus ujian. Ani tidak lulus ujian.
- Jika Ani rajin dan pandai maka ia lulus ujian. ((p ∧ q) -> r)
- Ani tidak lulus ujian. (~r)
- kesimpulan adalah Ani tidak rajin atau tidak pandai. (~(p ∧ q) = ~p v ~q)
- Ibu tidak cantik atau jujur. Ibu cantik
- Ibu tidak cantik atau jujur. (~p v q = p -> q)
- Ibu cantik. (p)
- kesimpulan adalah Ibu jujur. (q)