Soal-Soal Matematika/Luas permukaan bangun ruang

Rumus luas permukaan bangun ruang:

1. kubus: 6r²
2. balok: 2(p + l) + 2(p + t) + 2(l + t)
3. prisma
   1. segitiga (tergantung jenisnya): 2 x luas alas + 3 x luas segitiga
   2. segi-n:
   3. persegi panjang: sama dengan balok
4. limas:
   1. persegi: s² + 2st_s
   2. segitiga (tergantung jenisnya): luas alas + 3 x luas persegi panjang
   3. segi-n:
   4. persegi panjang: pl + (p + l)t_s
5. tabung:
   1. tertutup: 2πr(r + t)
   2. berongga tertutup: 2π(R+r)(R-r+t)
   3. terbuka: πr(r + 2t)
   4. berongga terbuka: π(R+r)(R-r+2t)
6. kerucut:
   1. biasa: πr(r + s)
   2. terpancung: $\pi \times (R^{2}+r^{2}+(R+r)\times {\sqrt {(R-r)^{2}+t^{2}}})$
   3. garis pelukis: $s={\sqrt {r^{2}+t^{2}}}$
7. bola:
   1. biasa: 4πr²
   2. terpancung: 2πRt

1. Tentukan luas permukaan kubus dengan rusuk 4 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}L&=6\times r^{2}\\&=6\times 4cm\times 4cm\\&=96cm^{2}\\\end{aligned}}$$

2. Tentukan luas permukaan sebuah balok yang memiliki ukuran 6 m x 2 m x 2,5 m!

Jawaban

$${\begin{aligned}L&=2\times (p\times l+p\times t+l\times t)\\&=2\times (6cm\times 2cm+6cm\times 2.5cm+2cm\times 2.5cm)\\&=2\times (12+15+5)cm^{2}\\&=2\times 32cm^{2}\\&=64cm^{2}\\\end{aligned}}$$

3. Tentukan luas permukaan tabung tertutup dengan diameter 14 cm dan tingginya 21 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}d&=14cm{\text{ maka }}r=7cm\\L&=2\times \pi \times r\times (r+t)\\&=2\times {\frac {22}{7}}\times 7cm\times (7+21)cm\\&=44cm\times 28cm\\&=1,232cm^{2}\\\end{aligned}}$$

4. Berapa luas permukaan pipa logam tanpa tertutup yang memiliki diameter 28 mm, dan panjang pipa 5 cm! (dalam mm persegi)

Jawaban

$${\begin{aligned}d&=28mm{\text{ maka }}r=14mm\\t&=5cm=50mm\\L&=\pi \times r\times (r+2\times t)\\&={\frac {22}{7}}\times 14mm\times (14+2\times 50)mm\\&=44mm\times 114mm\\&=5,016mm^{2}\\\end{aligned}}$$

5. Tentukan luas permukaan kerucut dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 24 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}L&=\pi \times r\times (r+{\sqrt {r^{2}+t^{2}}})\\&={\frac {22}{7}}\times 7cm\times (7+{\sqrt {7^{2}+24^{2}}})cm\\&=22cm\times (7+{\sqrt {625}})cm\\&=22cm\times (7+25)cm\\&=22cm\times 32cm\\&=704cm^{2}\\\end{aligned}}$$

6. Tentukan luas permukaan prisma segitiga sisi dengan panjang sisi alas 10 cm dan tingginya 15 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}t1&={\sqrt {10^{2}-5^{2}}}cm\\&={\sqrt {5{\sqrt {3}}}}cm\\&=8.66cm\\L&=2\times a\times t1+3\times a\times t2\\&=2\times 10cm\times 8.66cm+3\times 10cm\times 15cm\\&=173.2cm^{2}+450cm^{2}\\&=623.2cm^{2}\\atau\\L&=2\times a^{2}\times sin\alpha +3\times a\times t2\\&=2\times 10cm\times 10cm\times sin60+3\times 10cm\times 15cm\\&=200cm^{2}\times 0.866+450cm^{2}\\&=173.2cm^{2}+450cm^{2}\\&=623.2cm^{2}\\\end{aligned}}$$

7. Tentukan luas permukaan limas persegi dengan panjang sisi alas 10 cm dan tinggi tegaknya 12 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{ carilah tinggi miring terlebih dahulu }}\\t&={\sqrt {5^{2}+12^{2}}}cm\\&={\sqrt {169}}cm\\&=13cm\\L&=s^{2}+4\times {\frac {1}{2}}\times s\times t\\&=10cm\times 10cm+4\times {\frac {1}{2}}\times 10cm\times 13cm\\&=100cm^{2}+260cm2\\&=360cm^{2}\\\end{aligned}}$$

8. Tentukan luas permukaan bola yang berdiameter 40 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}d&=40cm{\text{ maka }}r=20cm\\L&=4\times \pi \times r^{2}\\&=4\times 3.14\times 20cm\times 20cm\\&=12.56\times 400cm^{2}\\&=5,024cm^{2}\\\end{aligned}}$$

9. Tentukan luas permukaan kerucut terpancung jika diameter alas 10 dm, diameter sisi atas 4 dm, dan tinggi 4 dm!

Jawaban

$${\begin{aligned}d1&=10dm{\text{ maka }}r1=5dm\\d2&=4dm{\text{ maka }}r2=2dm\\L&=\pi \times (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2})\times {\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+t^{2}}})\\&=3.14\times (5\times 5+2\times 2+(5+2)\times {\sqrt {(5-2)^{2}+4^{2}}})dm^{2}\\&=3.14\times (25+4+7\times {\sqrt {9+16}})dm^{2}\\&=3.14\times (29+7\times 5)dm^{2}\\&=3.14\times (29+35)dm^{2}\\&=3.14\times 64dm^{2}\\&=200.96dm^{2}\\\end{aligned}}$$

10. Tentukan luas permukaan bola terpancung jika jari-jari alas 3 dm, dan tinggi 4 dm!

Jawaban

$${\begin{aligned}L&=2\times \pi \times R\times t\\&=2\times 3.14\times 3dm\times 4dm\\&=75.36dm^{2}\\\end{aligned}}$$

11. Berapa luas permukaan pipa berongga tertutup dengan diameter masing-masing 10 mm dan 18 mm serta panjangnya 3.5 cm! (dalam mm persegi)

Jawaban

$${\begin{aligned}d1&=10mm{\text{ maka }}r1=5mm\\d2&=18mm{\text{ maka }}r2=9mm\\t&=3.5cm=35mm\\L&=2\times \pi \times (r2+r1)\times (r2-r1+t)\\&=2\times {\frac {22}{7}}\times (9+5)mm\times (9-5+35)mm\\&=2\times {\frac {22}{7}}\times 14mm\times 39mm\\&=3,432mm^{2}\\\end{aligned}}$$

12. Berapa luas permukaan tabung tanpa tertutup dengan jari-jari masing-masing 6 cm dan 8 cm serta tinggi 9 cm!

Jawaban

$${\begin{aligned}L&=\pi \times (r2+r1)\times (r2-r1+2\times t)\\&={\frac {22}{7}}\times (8+6)cm\times (8-6+2\times 9)cm\\&={\frac {22}{7}}\times 14cm\times 20cm\\&=880cm^{2}\\\end{aligned}}$$