Soal-Soal Matematika/Materi:Polinomial

Berikut adalah soal-soal yang bisa digunakan untuk mempelajari mengenai polinomial.

Persamaan linear

Lihat: Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel

Persamaan kuadrat

• Akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+9x-18=0$ adalah c dan d. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2c+1 dan 2d+1 adalah...

Jawaban

Menggunakan teorema Vieta, bisa disimpulkan bahwa

$c+d=-{\frac {9}{2}}$

$cd={\frac {-18}{2}}=-9$

Persamaan kuadrat dengan akar 2c+1 dan 2d+1 akan berbentuk $(x-(2c+1))(x-(2d+1))$. Uraikan persamaannya.

$(x-(2c+1))(x-(2d+1))$

$=x^{2}-(2c+1)x-(2d+1)x+(2c+1)(2d+1)$

$=x^{2}-(2c+1)x-(2d+1)x+(4cd+2c+2d+1)$

$=x^{2}-(2c+2d+1+1)x+(4cd+2c+2d+1)$

$=x^{2}-(2(c+d)+2)x+(4cd+2(c+d)+1)$

$=x^{2}-(2(-{\frac {9}{2}})+2)x+(4(-9)+2(-{\frac {9}{2}})+1)$

$=x^{2}-(-9+2)x+(-36-9+1)$

$=x^{2}+7x-44$

Jadi persamaan kuadrat yang barunya adalah $x^{2}+7x-44$

• Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan $x^{2}-x-6=0$ maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x₁+2 dan 3x₂+2 adalah...

Jawaban

Menggunakan teorema Vieta, bisa disimpulkan bahwa

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {-1}{1}}=1$

$x_{1}x_{2}={\frac {-6}{1}}=-6$

Persamaan kuadrat dengan akar 3x₁+2 dan 3x₂+2 akan berbentuk $(x-(3x_{1}+2))(x-(3x_{2}+2))$. Uraikan persamaannya.

$(x-(3x_{1}+2))(x-(3x_{2}+2))$

$=x^{2}-(3x_{1}+2)x-(3x_{2}+2)x+(3x_{1}+2)(3x_{2}+2)$

$=x^{2}-(3x_{1}+2)x-(3x_{2}+2)x+(9x_{1}x_{2}+6x_{1}+6x_{2}+4)$

$=x^{2}-(3x_{1}+3x_{2}+2+2)x+(9x_{1}x_{2}+6x_{1}+6x_{2}+4)$

$=x^{2}-(3(x_{1}+x_{2})+4)x+(9x_{1}x_{2}+6(x_{1}+x_{2})+4)$

$=x^{2}-(3(1)+4)x+(9(-6)+6(1)+4)$

$=x^{2}-(3+4)x+(-54+6+4)$

$=x^{2}-7x-44$

Jadi persamaan kuadrat yang barunya adalah $x^{2}-7x-86$

• Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-7x-p=0$ adalah c dan d. Jika $c^{2}+d^{2}=29$, maka berapa nilai p?

Jawaban

Menggunakan teorema Vieta, bisa disimpulkan bahwa

$c+d=-{\frac {-7}{1}}=7$

$cd={\frac {-p}{1}}=-p$

Hubungan antara $c^{2}+d^{2}$ dengan $c+d$ dan $cd$ adalah:

$c^{2}+d^{2}=(c+d)^{2}-2cd$

Substitusikan $c^{2}+d^{2}$ dari persamaan di soal, dan $c+d$ dan $cd$ dari persamaan teorema Vieta.

$${\begin{aligned}c^{2}+d^{2}&=(c+d)^{2}-2cd\\29&=7^{2}-2(-p)\\29&=49+2p\\-20&=2p\\-10&=p\end{aligned}}$$

Jadi nilai p adalah -10

• Tentukan nilai x dari persamaan $x^{2}-7x=10-4x$!

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}-7x&=10-4x\\x^{2}-3x-10&=0\\(x+2)(x-5)&=0\\x=-2&\lor x=5\end{aligned}}$$

$HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}$