Soal-Soal Matematika/Matriks transformasi

Transformasi

Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:

• Transformasi isometri

Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).

• Transformasi nonisometri

Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

Translasi

Rumus translasi adalah: ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

Rumus arah translasi T(a,b) atau $T{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Refleksi

Rumus refleksi adalah:

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos2\alpha &sin2\alpha \\sin2\alpha &-cos2\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos2\alpha &sin2\alpha \\sin2\alpha &-cos2\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Rotasi

Rumus rotasi adalah:

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos\alpha &-sin\alpha \\sin\alpha &cos\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}cos\alpha &-sin\alpha \\sin\alpha &cos\alpha \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Dilatasi

Rumus dilatasi adalah:

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Stretching

Rumus stretching adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

sumbu y

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Shearing

Rumus shearing adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

sumbu y

tanpa titik pusat

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

dengan titik pusat (a,b)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

Rumus sederhana

Keterangan	Posisi	Hasil
Translasi
penggeseran (a,b)	$(x,y)$	$(x+a,y+b)$
Refleksi
sumbu x [0°]	$(x,y)$	$(x,-y)$
sumbu y [90°]	$(x,y)$	$(-x,y)$
y=x [45°]	$(x,y)$	$(y,x)$
y=-x [135°]	$(x,y)$	$(-y,-x)$
pusat (0,0) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(-x,-y)$
pusat (a,b) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(2a-x,2b-y)$
pusat (a,0) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(2a-x,y)$
pusat (0,b) [0° dan 90°]	$(x,y)$	$(x,2b-y)$
Rotasi
berpusat (0,0) atau [O,$\alpha$]
90°	$(x,y)$	$(-y,x)$
-90°	$(x,y)$	$(y,-x)$
180°	$(x,y)$	$(-x,-y)$
berpusat (0,0) atau [O,k]
Dilatasi
skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x,k\cdot y)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot y)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+y,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,x+k\cdot y)$
Rotasi
berpusat (a,b) atau [(a,b),$\alpha$]
90°	$(x,y)$	$(-y+a+b,x-a+b)$
-90°	$(x,y)$	$(y-a+b,-x+a+b)$
180°	$(x,y)$	$(-x+2a,-y+2b)$
berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
Dilatasi
skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+(1-k)a,k\cdot y+(1-k)b)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(k\cdot x+(1-k)a,y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,k\cdot y+(1-k)b)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x,y)$	$(x+k\cdot (y-b)),y)$
sumbu y dan skala k	$(x,y)$	$(x,y+k\cdot (x-a))$

• keterangan:

1. berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

Luas

misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)

cara 1

titik awal diubah menjadi titik bayangan.

${\begin{aligned}L={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{array}{rrr|r}x_{1}'&x_{2}'&x_{3}'&x_{1}'\\y_{1}'&y_{2}'&y_{3}'&y_{1}'\\-&-+&-+&+\\\end{array}}\\={\frac {1}{2}}\cdot (x_{1}'y_{2}'+x_{2}'y_{3}'+x_{3}'y_{1}'-(x_{2}'y_{1}'+x_{3}'y_{2}'+x_{1}'y_{3}'))\\\end{aligned}}$

cara 2

Luas = | det M | x luas awal

contoh

1. Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks ${\begin{bmatrix}2&-1\\5&-3\\\end{bmatrix}}$?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&-1\\5&-3\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2x-y\\5x-3y\\\end{bmatrix}}\\{\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y }}\\{\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' }}\\2x-3y&=5\\2(3x'-y')-3(5x'-2y')&=5\\6x'-2y'-15x'+6y'&=5\\-9x'+4y'&=5\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&-1\\5&-3\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2&-1\\5&-3\\\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{2\cdot (-3)-((-1)\cdot 5)}}\cdot {\begin{bmatrix}-3&1\\-5&2\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{-6-(-5)}}\cdot {\begin{bmatrix}-3&1\\-5&2\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&=-1\cdot {\begin{bmatrix}-3&1\\-5&2\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}3&-1\\5&-2\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}3x'-y'\\5x'-2y'\\\end{bmatrix}}\\x&=3x'-y'\\y&=5x'-2y'\\2x-3y&=5\\2(3x'-y')-3(5x'-2y')&=5\\6x'-2y'-15x'+6y'&=5\\-9x'+4y'&=5\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu ${\begin{bmatrix}2\\5\\\end{bmatrix}}$ lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2\\5\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2+x\\5+y\\\end{bmatrix}}\\{\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. }}\\{\begin{bmatrix}x''\\y''\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}cos90&sin90\\sin90&-cos90\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2+x\\5+y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2+x\\5+y\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x''\\y''\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}5+y\\2+x\\\end{bmatrix}}\\{\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x }}\\{\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 }}\\{\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan }}\\y&=x^{2}-2x-3\\x''-5&=(y''-2)^{2}-2(y''-2)-3\\x''-5&=y''^{2}-4y''+4-2y''+4-3\\x''&=y''^{2}-6y''+10\\x&=y^{2}-6y+10\\{\text{jadi persamaan bayangan adalah }}x=y^{2}-6y+10\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y²+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. }}\\{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}cos90&-sin90\\sin90&cos90\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}\\{\text{dilatasi skala 4. }}\\&={\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}-4y\\4x\\\end{bmatrix}}\\{\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x }}\\{\text{diubah jadi }}y={\frac {-x''}{4}}{\text{dan }}x={\frac {y''}{4}}\\{\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan }}\\x&=y^{2}+3y-4\\{\frac {y''}{4}}&=({\frac {-x''}{4}})^{2}+3({\frac {-x''}{4}})-4\\{\frac {y''}{4}}&={\frac {x''^{2}}{16}}+3({\frac {-x''}{4}})-4\\4y''&=16x''^{2}-12x''-64\\4y&=16x^{2}-12x-64\\{\text{jadi persamaan bayangan adalah }}4y&=16x^{2}-12x-64\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}cos90&-sin90\\sin90&cos90\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&-4\\4&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&-4\\4&0\\\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{0\cdot 0-((-4)\cdot 4)}}\cdot {\begin{bmatrix}0&4\\-4&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{0-(-16)}}\cdot {\begin{bmatrix}0&4\\-4&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\begin{bmatrix}0&4\\-4&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{4}}\\-{\frac {1}{4}}&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {y'}{4}}\\-{\frac {x'}{4}}\\\end{bmatrix}}\\x&={\frac {y'}{4}}\\y&=-{\frac {x'}{4}}\\x&=y^{2}+3y-4\\{\frac {y'}{4}}&=({\frac {-x''}{4}})^{2}+3({\frac {-x''}{4}})-4\\{\frac {y''}{4}}&={\frac {x''^{2}}{16}}+3({\frac {-x''}{4}})-4\\4y''&=16x''^{2}-12x''-64\\4y&=16x^{2}-12x-64\\{\text{jadi persamaan bayangan adalah }}4y&=16x^{2}-12x-64\\\end{aligned}}$$

1. Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks ${\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}$, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned};{\text{menentukan titik bayangan A}}\\{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\3\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}-7\\13\\\end{bmatrix}}\\;{\text{menentukan titik bayangan B}}\\{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\\4\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}-16\\14\\\end{bmatrix}}\\;{\text{menentukan titik bayangan C}}\\{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1\\-1\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1\\-5\\\end{bmatrix}}\\L&={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{array}{rrr|r}-7&-16&1&-7\\13&14&-5&13\\-&-+&-+&+\\\end{array}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot ((-7)\cdot 14+(-16)\cdot (-5)+1\cdot 13-((-7)\cdot (-5)+1\cdot 14+(-16)\cdot 13))\\&={\frac {1}{2}}\cdot (-98+80-13-(35+14-208))\\&={\frac {1}{2}}\cdot (-5-(-159))\\&={\frac {1}{2}}\cdot 154\\&=77\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}L_{a}&={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{array}{rrr|r}1&-2&-1&1\\3&4&-1&3\\-&-+&-+&+\\\end{array}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot (1\cdot 4+(-2)\cdot (-1)+(-1)\cdot 3-(1\cdot (-1)+(-1)\cdot 4+(-2)\cdot 3))\\&={\frac {1}{2}}\cdot (4+2-3-(-1-4-6))\\&={\frac {1}{2}}\cdot (3-(-11))\\&={\frac {1}{2}}\cdot 14\\&=7\\L_{b}&=|{\text{det M}}|\cdot L_{a}\\&={\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot 7\\&=(2\cdot 4-(-3)\cdot 1)\cdot 7\\&=(8+3)\cdot 7\\&=11\cdot 7\\&=77\\\end{aligned}}$$