Soal-Soal Matematika/Modal dan bunga

Bunga terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Bunga tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Dalam kata lain, perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap.

Bunga tunggal terdiri dari dua jenis yaitu bunga tunggal setoran tunggal dan bunga tunggal setoran berulang.

Bunga tunggal setoran tunggal

• suku bunga

${\text{suku bunga}}={\frac {\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}}}\times 100$

• suku bunga per satuan waktu

$B={\frac {b}{M_{o}}}\times 100$

keterangan:

1. b adalah suku bunga per satuan waktu
2. Mo adalah modal yang dibungakan
3. B adalah jasa modal

• modal akhir

$M_{n}=M_{o}(1+nb)$ atau $M_{n}=M_{o}(1+{\frac {nb}{100}})$

keterangan:

1. Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode
2. Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan
3. n adalah periode menabung
4. b adalah suku bunga

• besaran bunga yang diterima per periode

$Bn=nB=n(bMo)$

keterangan:

1. Bn adalah nominal bunga yang akan diterima dalam akhir periode ke n
2. B adalah bunga
3. Mo adalah modal awal

contoh

1. Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga tunggal. Berapa besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun 11% dalam jangka waktu 5 tahun?

Suku bunga 11% per tahun, bunga dalam 1 tahun:

B = b x M_o

= 11/100 x 2.000.000 = 220.000

Bunga dalam 5 tahun:

B_n = n x B

= 5 x 220.000 = 1.100.000

Modal seluruhnya

M_n = M_o + B_n

= 2.000.000 + 1.100.000 = 3.100.000

atau

$M_{n}=M_{o}(1+{\frac {nb}{100}})$

$M_{5}=2.000.000\cdot (1+{\frac {5\cdot 11}{100}})$

$M_{5}=2.000.000\cdot (1,55)$

$=3.100.000$

Bunga tunggal setoran berulang

Modal akhir

$M_{n}={\frac {1}{2}}n(nb+b+2)A$

keterangan:

1. Mn adalah nominal dana yang dikembalikan setelah satu periode
2. Mo adalah nominal modal yang dipinjamkan
3. n adalah periode menabung
4. b adalah bunga
5. A adalah setoran setiap bulan

contoh

1. Mila menabung di bank dengan setoran setiap awal bulan sebesar A per bulan dengan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Jika ia menginginkan uangnya menjadi Rp 19.200.000,00 pada akhir bulan ke–15, maka berapa uang yang harus ia setorkan per bulannya?

$M_{n}={\frac {1}{2}}n(nb+b+2)A$

$19.200.000={\frac {1}{2}}\cdot 15\cdot (15\cdot {\frac {0,1}{12}}+{\frac {0,1}{12}}+2)\cdot A$

$19.200.000=7,5\cdot (0,12+0,008+2)\cdot A$

$19.200.000=7,5\cdot (2,128)\cdot A$

$19.200.000=15,96\cdot A$

$A={\frac {19.200.000}{15,96}}$

$A=1.2003.0007,51$

Metode perhitungan bunga tunggal terbagi tiga jenis yaitu pembagi tetap, persen yang sebanding dan persen yang seukuran.

Bunga majemuk

• umum

$M_{n}=M_{o}(1+i)^{n}$

• besaran bunga kumulatif yang didapat

$M_{n}-M_{o}=M_{o}(1+i)^{n}-M_{o}$ $=M_{o}((1+i)^{n}-1)$

• besaran bunga per periode

$M_{n}-M_{n-1}=M_{o}(1+i)^{n}-M_{o}(1+i)^{n-1}$ $=M_{o}((1+i)^{n}-(1+i)^{n-1})$

keterangan:

1. Mn = tabungan setelah n periode
2. M_n-1 = tabungan setelah n-1 periode
3. Mo = modal awal
4. n = periode penyimpanan menabung
5. i = persentase bunga

contoh

1. Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan. Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun!

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=100.000\\i&=0,045\\{\text{1 tahun = 4 triwulan}}\\{\text{3,5 tahun = 14 triwulan}}\\n&=14\\M_{n}&=M_{o}(1+i)^{n}\\M_{14}&=100.000(1+0,045)^{1}4\\&=100.000(1,045)^{14}\\&=185.194,492\\\end{aligned}}$$

1. Ayah mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Berapa besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10?

Jawaban

$${\begin{aligned}M_{o}&=10.000.000\\i&=0,05\\n&=10\\M_{n}-M_{n-1}&=M_{o}((1+i)^{n}-(1+i)^{n-1})\\M_{1}0-M_{10-1}&=10.000.000((1+0,05)^{10}-(1+0,05)^{10-1})\\M_{1}0-M_{9}&=10.000.000((1+0,05)^{10}-(1+0,05)^{9})\\&=10.000.000((1,05)^{10}-(1,05)^{9})\\&=10.000.000((1,05)^{9}(1,05-1))\\&=775,664,108\\\end{aligned}}$$

Aritmatika sosial

${\text{Bunga}}={\frac {b}{12}}\cdot {\frac {P}{100}}\cdot M_{o}$

keterangan:

1. B = bunga (modal akhir-modal awal)
2. b = lamanya menabung (bulan)
3. P = persentase bunga
4. Mo = modal awal