Lompat ke isi

Soal-Soal Matematika/Notasi sigma dan induksi matematika

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas

Notasi Sigma

[sunting]

sifat notasi sigma

[sunting]

, (distributif)

, (asosiatif dan komutatif)

, (pergeseran indeks)

, untuk bijeksi dari himpunan terbatas ke himpunan (perubahan indeks); ini menggeneralisasi formula sebelumnya.

, (memecahkan jumlah, menggunakan sifat asosiatif).

, (varian dari rumus sebelumnya).

, (jumlah dari istilah pertama hingga yang terakhir sama dengan jumlah dari yang terakhir hingga yang pertama).

, (kasus rumus tertentu di atas).

, (asosiatif dan komutatif)

, (penerapan pada asosiatif dan komutatif)

, (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks genap)

, (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks ganjil)

, (distributif)

, (distributif yang memungkinkan faktorisasi)

, (logaritma suatu produk adalah jumlah dari faktor-faktor logaritma)

, (eksponensial dari jumlah adalah produk dari eksponensial pada penjumlahan)

Contoh

  1. tentukan:
Jawaban

Induksi Matematika

[sunting]

Induksi matematika terdiri dari 2 jenis yaitu matematika umum dan matematika kuat.

Matematika umum

[sunting]

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Bilangan (termasuk jumlah deret)

[sunting]
  • Buktikan bahwa untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa
(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Pertidaksamaan

[sunting]
  • Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

(karena 4 < 4k)

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa
(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Faktor (termasuk kali atau bagi)

[sunting]
  • Buktikan bahwa salah satu faktor dari adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa habis dibagi 4

karena dan habis dibagi 4, maka habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Faktorisasi

[sunting]
  • Buktikan bahwa x - y adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa x - y adalah faktor dari

karena x - y adalah faktor dari dan x - y juga merupakan faktor , maka x - y adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk x - y adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Barisan

[sunting]

Temukan hasil rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan hasil rumus tersebut dengan induksi matematika!


Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk beberapa penjumlahan dari pertama, benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Matematika kuat

[sunting]

Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

S(a), S(a + 1), ..., dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi) Teks miring Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), ..., S(k) semuanya bernilai benar.)

Bilangan (termasuk jumlah deret)

[sunting]

Barisan

[sunting]

Teori

[sunting]