Soal-Soal Matematika/Peluang

Peluang

Rumus: $P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}$

NB:

• jumlah x buah dadu=6^x
• jumlah x set kartu=52^x
• jumlah x anak dalam jenis kelamin=2^x

contoh soal

1. Berapa peluang dadu muncul lebih dari 3 jika dilempar satu dadu sekali?

Jawab

S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6

A={4,5,6}, n(A)=3

$P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

1. Di lemari terdapat 10 piring dalam kondisi utuh. berapa peluang terambilnya lima piring utuh dimana 3 piring pecah?

Jawab

$P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {C_{5}^{7}}{C_{5}^{10}}}={\frac {\frac {7!}{5!2!}}{\frac {10!}{5!5!}}}={\frac {\frac {7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 2\cdot 1}}{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}={\frac {21}{252}}={\frac {1}{12}}$

Kejadian komplemen

Rumus: $P(A^{c})=1-P(A)$

Contoh soal

1. Tentukan peluang komplemen dari kejadian hujan akan turun di pagi hari adalah 0,07!

Jawab

P(A)=0,07 maka P(A^c) ?

P(A^c)= 1-P(A) = 1-0,07 = 0,93

1. Sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu lebih dari dua!

Jawab

P(dadu kurang dari atau sama dengan 2)=1/3 maka P(dadu lebih dari 2) ?

P(A^c)= 1-P(A) = 1-1/3 = 2/3

Kejadian sembarang

Kejadian sembarang adalah dua kejadian yang bisa terjadi bersamaan.

Rumus: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Contoh soal

1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3!

Jawab

S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6

A={2,4,6}, n(A)=3

P(A) = n(A)/n(S) = 3/6

S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6

B={4,5,6}, n(B)=3

P(B) = n(B)/n(S) = 3/6

Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B

A ∩ B={4,6}, n(A ∩ B)=2

Sehingga peluang A ∩ B

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) = 2/6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = ${\frac {3}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {2}{6}}={\frac {2}{3}}$

Kejadian saling lepas

Kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan.

Rumus: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Contoh soal

1. Saya punya 10 kartu dalam satu kantong yang sudah diberi nomor 1 hingga 10. Lalu, kita ambil 1 kartu secara acak, kejadian A merupakan peluang terambilnya nomor prima ganjil, dan kejadian B merupakan peluang terambilnya kartu dengan nomor genap. Tentukan:

• Apakah kejadian A dan B merupakan peluang kejadian lepas?
• Berapa peluang kejadian A atau B?

Jawab

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, n(S)=10

A={3,5,7}, n(A)=3

B={2,4,6,8,10}, n(B)=5

ini berarti A dan B tidak memiliki irisan. jadi termasuk peluang saling lepas

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = ${\frac {3}{10}}+{\frac {5}{10}}={\frac {4}{5}}$

1. Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 7!

Jawab

n(S)=6²=36

A={(1,3),(2,2),(3,1)}, n(A)=3

B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, n(B)=6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = ${\frac {3}{36}}+{\frac {6}{36}}={\frac {1}{4}}$

Kejadian saling bebas

Kejadian saling bebas adalah ketika pada dua kejadian, munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua.

Rumus: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

1. Sebuah kota memiliki dua mobil pemadam kebakaran yang beroperasi bebas satu sama lain. Peluang kedua mobil tersebut tersedia ketika diperlukan adalah 0,16 dan peluang salah satu mobil tersedia ketika diperlukan adalah 0,5. Tentukan:

• Peluang mobil lainnya tersedia ketika diperlukan
• Peluang salah satu mobil tersedia ketika keduanya diperlukan

Jawab

P(A∩B) = 0,16

P(A) = 0.5

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)

0,16 = 0,5 ⋅ P(B)

P(B) = 0,32

Ada dua kemungkinan yaitu

1. Mobil 1 tersedia (A) dan mobil 2 tidak tersedia (C)
2. Mobil 1 tidak tersedia (D) dan mobil 2 tersedia (B)

P(IUII) = P(I) + P(II)

P(IUII) = P(A) ⋅ P(C) + P(D) ⋅ P(B)

P(IUII) = 0.5 ⋅ (1-0.32) + (1-0.5) ⋅ 0.32

P(IUII) = 0.5 ⋅ 0.68 + 0.5 ⋅ 0.32

P(IUII) = 0.5 ⋅ (0.68 + 0.32)

P(IUII) = 0.5

Kejadian bersyarat

Kejadian bersyarat adalah ketika pada dua kejadian, munculnya kejadian pertama mempengaruhi (syarat) peluang munculnya kejadian kedua.

Rumus: $P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

contoh soal

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu!

S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6

A={2,3,5}, n(A)=3

B={1,3,5}, n(B)=3

P(A ∩ B) = 3/6 x 3/6 = 1/4

$P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {\frac {1}{4}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}$

Frekuensi harapan

Rumus: $F(A)=n\cdot P(A)$

Contoh soal

1. Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu 5 pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 150 kali?

Jawab

S={1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6

A={5}, n(A) = 1

n=150

$F(A)=n\cdot P(A)=150\cdot {\frac {1}{6}}=25kali$