Soal-Soal Matematika/Peluang

Peluang

Rumus: $P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}$

Keterangan:

P(A): peluang kejadian A
n(A): banyaknya sampel kejadian A
n(S): banyaknya sampel kejadian seluruhnya (S)

NB:

jumlah x buah dadu=6^x
jumlah x set kartu=52^x
jumlah x anak dalam jenis kelamin atau mata uang (koin/kertas)=2^x

kaidah peluang terdiri atas:

pembuatan tabel (misalkan dadu, kartu, koin)
pembuatan diagram (misalkan koin, jenis kelamin)
perkalian terurut (misalkan angka atau huruf)

contoh soal

Berapa peluang dadu muncul lebih dari 3 jika dilempar satu dadu sekali?

Jawab: S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6; A={4,5,6}, n(A)=3; $P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Di lemari terdapat 10 piring dalam kondisi utuh. Terambilnya dari lima piring secara acak dan ternyata tiga piring diantaranya pecah. berapa peluang terambilnya:

lima piring utuh
tiga piring utuh

Jawab: $n(S)=C_{5}^{10}={\frac {10!}{5!5!}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=252$

n(A)=C_{0}^{3}\cdot C_{5}^{7}=1\cdot {\frac {7!}{5!2!}}={\frac {7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 2\cdot 1}}=21

P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {21}{252}}={\frac {1}{12}}

jadi peluangnya adalah 1/12

n(A)=C_{2}^{3}\cdot C_{3}^{7}={\frac {3!}{2!1!}}\cdot {\frac {7!}{3!4!}}={\frac {3\cdot 2!}{2!\cdot 1}}{\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 4!}}=3\cdot 35=105

P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {105}{252}}

jadi peluangnya adalah 105/252

Sebuah toko menjual 10 jenis roti. Anita memilih 6 jenisnya. berapa peluang jenis yang dipilihnya jika ia menentukan 2 jenis roti?

Jawab: $n(S)=C_{6}^{10}={\frac {10!}{6!4!}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=210$; $n(A)=C_{2}^{2}\cdot C_{4}^{8}=1\cdot {\frac {8!}{4!4!}}={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=70$; $P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {70}{210}}={\frac {1}{3}}$; jadi peluangnya adalah 1/3

Diketahui himpunan A={2,3,4,5,7,8,9} dapat dibuat 3 angka maka betapa peluang jika berjumlah ketiga bilangan adalah bilangan genap?

n(S)=C_{3}^{7}={\frac {7!}{3!4!}}={\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 4!}}=140

untuk angka dalam himpunan memiliki 3 angka genap serta 4 ganjil yang akan dibuat 3 angka sebagai berikut:

1 genap dan 2 ganjil pasti hasilnya bilangan genap (contohnya xx2+xx3+xx5 = xx0)

2 genap dan 1 ganjil pasti bukan hasilnya bilangan genap (contohnya xx2+xx8+xx5 = xx5)

3 genap pasti bilangan genap (contohnya xx2+xx4+xx8 = xx4)

jadi

n(A)=C_{1}^{3}\cdot C_{2}^{4}+C_{3}^{3}\cdot C_{0}^{4}={\frac {3!}{1!2!}}\cdot {\frac {4!}{2!2!}}+{\frac {3!}{3!0!}}\cdot {\frac {4!}{0!4!}}={\frac {3\cdot 2!}{1\cdot 2!}}\cdot {\frac {4\cdot 3\cdot 2!}{2!\cdot 2\cdot 1}}+1=18+1=19

P(A)={\frac {n(A)}{n(S)}}={\frac {19}{140}}

jadi peluangnya adalah 19/140

Kejadian komplemen

Rumus: $P(A')=P(A^{c})=1-P(A)$

Contoh soal

Tentukan peluang komplemen dari kejadian hujan akan turun di pagi hari adalah 0,07!

Jawab: P(A)=0,07 maka P(A^c) ?; P(A^c)= 1-P(A) = 1-0,07 = 0,93

Sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu lebih dari dua!

Jawab: P(dadu kurang dari atau sama dengan 2)=1/3 maka P(dadu lebih dari 2) ?; P(A^c)= 1-P(A) = 1-1/3 = 2/3

Tiga koin dilempar sekali, tentukan peluang munculnya koin minimal satu gambar!

Jawab: P(hanya tiga koin angka)=1/8 maka P(koin minimal 1 gambar) ?; P(A^c)= 1-P(A) = 1-1/8 = 7/8

Sebuah klinik beberapa dokter dan perawat melakukan uji penyakit bagi pasien. Terdapat 2000 pasien diperiksa secara sukarela. Dari hasil tes uji laboratium ternyata 10% pasien menderita penyakit tubekulosis (TBC). Bagi 98% pasien penyakit TBC menunjukkan tes positif sedangkan pasien tidak terjangkit penyakitnya menunjukkan 99% tes negatifnya. maka berapa persentase peluang:

pasien menunjuk hasil tes positif
pasien menunjuk hasil tes negatif
pasien terjangkit TBC menunjukkan hasil tes positif
pasien tidak terjangkit TBC menunjukkan tes negatif

Sampel 2000 pasien
Hasil tes	Terjangkit TBC	Tidak terjangkit TBC	Total
+	196	18	214
-	4	1782	1786
	200	1800	2000

jawab: P(A)= ${\frac {214}{2000}}$ x100% = 10,7%; P(A)= ${\frac {1786}{2000}}$ x100% = 89,3%; P(A)= ${\frac {196}{214}}$ x100% = 91,6%; P(A)= ${\frac {1782}{1786}}$ x100% = 99,7%

Kejadian sembarang (tidak saling lepas/bebas)

Kejadian sembarang (tidak saling lepas/bebas) adalah dua kejadian yang bisa terjadi bersamaan.

Rumus: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Contoh soal

Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3!

Jawab: S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6; A={2,4,6}, n(A)=3; P(A) = n(A)/n(S) = 3/6

S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6

B={4,5,6}, n(B)=3

P(B) = n(B)/n(S) = 3/6

Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B

A ∩ B={4,6}, n(A ∩ B)=2

Sehingga peluang A ∩ B

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) = 2/6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) =

{\frac {3}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {2}{6}}={\frac {2}{3}}

Budi dan Ali berturut-turut dapat menyelesaikan 60% dan 70% soal ulangan Matematika. Dipilih soal secara acak, berapa peluang soal yang terpilih yang dapat diselesaikan oleh Budi atau Ali!

Jawab: P(B)=0,6; P(A)=0,7; P(B n A)=0,6 x 0,7 = 0,42

P(B ∪ A) = P(B) + P(A) - P(B ∩ A) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88

Kejadian saling lepas

Kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan.

Rumus: $P(A\cup B)=P(A)+P(B){\text{ jika }}P(A\cap B)=0$

Contoh soal

Saya punya 10 kartu dalam satu kantong yang sudah diberi nomor 1 hingga 10. Lalu, kita ambil 1 kartu secara acak, kejadian A merupakan peluang terambilnya nomor prima ganjil, dan kejadian B merupakan peluang terambilnya kartu dengan nomor genap. Tentukan:

Apakah kejadian A dan B merupakan peluang kejadian lepas?
Berapa peluang kejadian A atau B?

Jawab

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, n(S)=10

A={3,5,7}, n(A)=3

B={2,4,6,8,10}, n(B)=5

ini berarti A dan B tidak memiliki irisan. jadi termasuk peluang saling lepas

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =

{\frac {3}{10}}+{\frac {5}{10}}={\frac {4}{5}}

Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 7!

Jawab

n(S)=6²=36

A={(1,3),(2,2),(3,1)}, n(A)=3

B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, n(B)=6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =

{\frac {3}{36}}+{\frac {6}{36}}={\frac {1}{4}}

Kejadian saling bebas

Kejadian saling bebas adalah ketika pada dua kejadian, munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua.

Rumus: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Sebuah kota memiliki dua mobil pemadam kebakaran yang beroperasi bebas satu sama lain. Peluang mobil tertentu tersedia ketika diperlukan adalah 0,8. Tentukan:

Peluang kedua mobil tidak tersedia jika diperlukan
Peluang sebuah mobil tersedia jika diperlukan

Jawab: P(A) = 0,8; P(A^c) = 0,2

P(A^c ∩ A^c) = P(A^c) ⋅ P(A^c)

= 0,2 ⋅ 0,2

= 0,04

P(A ∩ A^c) = P(A) ⋅ P(A^c)

= 0,8 ⋅ 0,2

= 0,16

Sebuah kota memiliki dua mobil pemadam kebakaran yang beroperasi bebas satu sama lain. Peluang kedua mobil tersebut tersedia ketika diperlukan adalah 0,16 dan peluang salah satu mobil tersedia ketika diperlukan adalah 0,5. Tentukan:

Peluang mobil lainnya tersedia ketika diperlukan
Peluang salah satu mobil tersedia ketika keduanya diperlukan

Jawab

P(A ∩ B) = 0,16

P(A) = 0.5

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

0,16 = 0,5 ⋅ P(B)

P(B) = 0,32

Ada dua kemungkinan yaitu

Mobil 1 tersedia (A) dan mobil 2 tidak tersedia (B^c)
Mobil 1 tidak tersedia (A^c) dan mobil 2 tersedia (B)

P(I U II) = P(I) + P(II)

P(I U II) = P(A) ⋅ P(B^c) + P(A^c) ⋅ P(B)

P(I U II) = 0.5 ⋅ (1-0.32) + (1-0.5) ⋅ 0.32

P(I U II) = 0.5 ⋅ 0.68 + 0.5 ⋅ 0.32

P(I U II) = 0.5 ⋅ (0.68 + 0.32)

P(I U II) = 0.5

Satu dadu dan satu angka dilempar sekali. berapa peluang satu gambar dan bilangan prima ganjil?

P(A) = 1/2

P(B) = 2/6

P(A U B) = P(A) ⋅ P(B) = 1/2 x 2/6 = 1/6

Kejadian bersyarat

Kejadian bersyarat adalah ketika pada dua kejadian, munculnya kejadian pertama mempengaruhi (syarat) peluang munculnya kejadian kedua.

Rumus: $P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

contoh soal

Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu!

Jawab: S={1,2,3,4,5,6}, n(S)=6; G={2,3,5}, n(G)=3; P={1,3,5}, n(P)=3; G ∩ P={3,5}, n(A n B) = 2; $P(G|P)={\frac {P(G\cap P)}{P(P)}}={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{3}}$

Dua buah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya dua mata dadu berjumlah lebih dari 9 jika dadu pertama munculnya angka 5!

Jawab: n(S)=6²=36; L9={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}, n(G)=6; M5={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}, n(P)=6; L9 ∩ M5={(5,5),(5,6)}, n(L9 ∩ M5) = 2; $P(L9|M5)={\frac {P(L9\cap M5)}{P(M5)}}={\frac {\frac {1}{18}}{\frac {1}{6}}}={\frac {1}{3}}$

Sebuah kotak terdapat 6 kelereng putih dan 5 kelereng merah. Dua diambil satu demi satu dengan pengembalian (tanpa syarat). Tentukan

peluang terambilnya kelereng putih terlebih dahulu baru kelereng merah!
peluang terambilnya kelereng merah terlebih dahulu baru kelereng merah!

n(A) = 6

n(B|A) = 5

P(A n B) = n(A)/n(S) x n(B)/n(S) = 6/11 x 5/11 = 30/121

n(A) = 6

n(B|A) = 6

P(A n B) = n(A)/n(S) x n(B)/n(S) = 6/11 x 6/11 = 36/121

Sebuah kotak terdapat 5 kelereng putih dan 4 kelereng merah. Dua diambil satu demi satu (pengambilan dua kali berurutan) tanpa pengembalian. Tentukan:

peluang terambilnya satu kelereng putih pada pengambilan pertama dan terambil satu kelereng putih pada pengambilan kedua!
peluang terambilnya satu kelereng merah pada pengambilan pertama dan terambil satu kelereng putih pada pengambilan kedua!

Jawab

n(A) = 5

n(B|A) = 4

karena pada pengambilan pertama tetapi pengambilan kedua tidak dikembalikan kelerengnya maka berkurang satu kelereng yaitu 9 bola yang diambil seluruhnya serta satu kelereng putih juga berkurang yaitu 4 bola karena telah diambil dari pertama yang berwarna putih

P(A n B) = P(A) x P(B|A) = 5/10 x 4/9 = 2/9

n(A) = 4

n(B|A) = 5

karena pada pengambilan pertama tetapi pengambilan kedua tidak dikembalikan kelerengnya maka berkurang satu kelereng yaitu 9 bola yang diambil seluruhnya tetapi satu kelereng putih yaitu tetap 5 bola karena pengambilan pertama adalah bola merah

P(A n B) = P(A) x P(B|A) = 4/10 x 5/9 = 2/9

Kotak permainan terdapat dua buah yaitu kotak A dan kotak B. kotak A terdiri atas 12 bola kuning dan 3 bola hijau serta kotak B terdiri dari 6 bola kuning dan 4 bola hijau. Akan diambil dua bola satu per satu secara acak masing-masing satu bola dari kotak A dan satu bola dari kotak B. berapa peluang:

terambil satu bola kuning dengan pengembalian bola
terambil satu bola hijau tanpa pengembalian bola

pada kotak 1 ada 2 kemungkinan yaitu KH HH atau HK HH

{\frac {12}{15}}\cdot {\frac {3}{15}}\cdot {\frac {4}{10}}\cdot {\frac {4}{10}}+{\frac {3}{15}}\cdot {\frac {12}{15}}\cdot {\frac {4}{10}}\cdot {\frac {4}{10}}={\frac {16}{625}}+{\frac {16}{625}}={\frac {32}{625}}

pada kotak 2 ada 2 kemungkinan yaitu HH KH atau HH HK

{\frac {3}{15}}\cdot {\frac {3}{15}}\cdot {\frac {6}{10}}\cdot {\frac {4}{10}}+{\frac {3}{15}}\cdot {\frac {3}{15}}\cdot {\frac {4}{10}}\cdot {\frac {6}{10}}={\frac {6}{625}}+{\frac {6}{625}}={\frac {12}{625}}

semua kotak yaitu P(KI n KII) = 32/625+12/625 = 44/625

pada kotak 1 ada 2 kemungkinan yaitu HK KK atau KH KK

{\frac {3}{15}}\cdot {\frac {12}{14}}\cdot {\frac {6}{10}}\cdot {\frac {5}{9}}+{\frac {12}{15}}\cdot {\frac {3}{14}}\cdot {\frac {6}{10}}\cdot {\frac {5}{9}}={\frac {2}{105}}+{\frac {2}{105}}={\frac {4}{105}}

pada kotak 2 ada 2 kemungkinan yaitu KK HK atau KK KH

{\frac {12}{15}}\cdot {\frac {11}{14}}\cdot {\frac {4}{10}}\cdot {\frac {6}{9}}+{\frac {12}{15}}\cdot {\frac {12}{15}}\cdot {\frac {6}{10}}\cdot {\frac {6}{9}}={\frac {11}{105}}+{\frac {11}{105}}={\frac {22}{105}}

semua kotak yaitu P(KI n KII) = 4/105+22/105 = 26/105

Sebuah desa terdapat anak-anak berusia 3-11 tahun dibagi tiga kategori yaitu kategori A (3-5 tahun), B (6-8 tahun) dan C (9-11 tahun). berdasarkan usianya 20% kategori A, 30% B dan 50% C. Semua kategori tersebut masing-masing disurvei untuk menyukai roti yang diinginkan maka 70% kategori A menyukai roti, 40% kategori B sedangkan 30% kategori C. Berdasarkan informasi tersebut berapa peluang:

Semua anak-anak dari berbagai usia menyukai roti
Anak-anak kategori A menyukai roti?
Anak-anak kategori C menyukai roti jika semua anak-anak menyukai roti

Jawab


Tipe	Kategori A	Kategori B	Kategori C	Total
	0,2	0,3	0,5
Menyukai roti	0,7=0,14	0,4=0,12	0,3=0,15	0,41
Tidak menyukai roti	0,3=0,06	0,6=0,18	0,7=0,35	0,59

P(A)=0,2, P(B)=0,3, P(C)=0,5, P(D|A)=0,7, P(E|B)=0,4 dan P(F|C)=0,3

P(A n B n C) = P(A n D) + P(B n E) + P(C n F)

= P(A) x P(D|A) + P(B) x P(E|B) + P(C) x P(F|C)

= 0,2 x 0,7 + 0,3 x 0,4 + 0,5 x 0,3

= 0,14 + 0,12 + 0,15 = 0,41

P(A n D) = P(A) x P(D|A) = 0,2 x 0,7 = 0,14

P(C) =

{\frac {P(C\cap F)}{P(A\cap B\cap C)}}={\frac {0,15}{0,41}}=0,365

Frekuensi harapan

Rumus: $F(A)=n\cdot P(A)$

Contoh soal

Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu 5 pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 150 kali?

Jawab: S={1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6; A={5}, n(A) = 1; n=150; $F(A)=n\cdot P(A)=150\cdot {\frac {1}{6}}=25{\text{ kali}}$

Berapa frekuensi harapan muncul satu angka dan dua gambar pada pelemparan tiga koin sebanyak 240 kali?

Jawab: S={(g,g,g), (g,g,a), (g,a,g), (g,a,a), (a,a,g), (a,a,a), (a,g,g), (a,g,a)}, n(S) = 8; A={(g,g,a), (g,a,g),(a,g,g)}, n(A) = 3; n=240; $F(A)=n\cdot P(A)=240\cdot {\frac {3}{8}}=90{\text{ kali}}$

Tambahan

Peluang seorang memenangkan pertandingan catur melawan pemain lawannya adalah 1/3. Berapa peluang bahwa seorang memenangkan paling sedikit 1 dari 3 pertandingan?

Jawaban

${\begin{aligned}P(menang)={\frac {1}{3}},P(kalah)={\frac {2}{3}}\\P({\text{kalah 3x}})&={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\\&={\frac {8}{27}}\\P({\text{minimal menang 1x}})&=1-{\frac {8}{27}}\\&={\frac {19}{27}}\\\end{aligned}}$