Soal-Soal Matematika/Perbandingan

Umum

1. Tono memiliki 5 kue serta Ali 20 kue. Berapa nilai perbandingannya?

Jawaban

5:20 = 1:4 Jadi perbandingannya adalah 1:4

2. Perbandingan Yuni, Wati dan Rita adalah 4:5:6. Jika jumlah seluruhnya adalah 90 buah kue. Maka berapa:

buah kue yang diberikan Yuni?
jumlah kue yang diberikan Yuni dan Rita?
selisih kue yang diberikan Wati dan Rita?

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {4}{15}}\times 90=24\end{aligned}}$

jadi kue yang diberikan Yuni adalah 24 buah

${\begin{aligned}{\frac {10}{15}}\times 90=60\end{aligned}}$

jadi jumlah kue yang diberikan Yuni dan Rita adalah 60 buah

${\begin{aligned}{\frac {1}{15}}\times 90=6\end{aligned}}$

jadi selisih kue yang diberikan Wati dan Rita adalah 6 buah

3. Perbandingan Armand dan Bakti adalah 3:7 serta Bakti dan Catur adalah 4:5. Jika jumlah seluruhnya adalah 450 buah kelereng. Maka berapa:

buah kelereng yang diberikan Catur?
jumlah kelereng yang diberikan Armand dan Bakti?
selisih kelereng yang diberikan Catur dan Armand?

Jawaban

\text{perbandingan Armand dan Bakti adalah } 3:7 \\ \text{perbandingan Bakti dan Catur adalah } 4:5 \\

\text{menggunakan kpk maka menjadi } 12:28:35 \\

${\begin{aligned}{\frac {35}{75}}\times 450=210\end{aligned}}$

jadi kelereng yang dimiliki catur adalah 30 buah

${\begin{aligned}{\frac {40}{75}}\times 450=240\end{aligned}}$

jadi jumlah kelereng yang diberikan Armand dan Bakti adalah 240 buah

${\begin{aligned}{\frac {23}{75}}\times 450=138\end{aligned}}$

jadi selisih kelereng yang diberikan Catur dan Armand adalah 138 buah

{\frac {a}{xy}}={\frac {b}{xz}}={\frac {c}{yz}}

hasilnya

x=ab,y=ac,z=bc

1 berapa nilai x, y dan z dari ${\frac {2}{xy}}={\frac {3}{xz}}={\frac {5}{yz}}$ ?

Jawaban

x = 2 x 3 = 6, y = 2 x 5 = 10, z = 3 x 5 = 15

{\text{jika }}{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}{\text{ maka }}{\frac {a+c}{b+d}}

Pembuktian

${\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&={\frac {c}{d}}\\a\cdot d&=b\cdot c\\{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b+d}{b+d}}\\{\frac {a(b+d)}{b(b+d)}}\\{\frac {ab}{b(b+d)}}+{\frac {ad}{b(b+d)}}\\{\frac {a}{b+d}}+{\frac {ad}{b(b+d)}}\\{\frac {a}{b+d}}+{\frac {bc}{b(b+d)}}\\{\frac {a}{b+d}}+{\frac {c}{b+d}}\\{\frac {a+c}{b+d}}\\\end{aligned}}$

{\text{jika }}{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}{\text{ maka }}{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}

Pembuktian

${\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&={\frac {c}{d}}\\{\frac {a}{b}}+1&={\frac {c}{d}}+1\\{\frac {a+b}{b}}&={\frac {c+d}{d}}{\text{ (1) }}\\{\frac {a}{b}}-1&={\frac {c}{d}}-1\\{\frac {a-b}{b}}&={\frac {c-d}{d}}{\text{ (2) }}\\{\text{bagikan (1) dengan (2) }}\\{\frac {a+b}{a-b}}&={\frac {c+d}{c-d}}\\\end{aligned}}$

Contoh

{\frac {2}{7}}={\frac {4}{14}}

menjadi

{\frac {2+4}{7+14}}

kemudian

{\frac {6}{21}}

{\text{jika }}{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}{\text{ maka }}{\frac {b-a}{b+a}}={\frac {d-c}{d+c}}

dimana dikalikan sama senilai

Contoh

{\frac {2}{7}}={\frac {4}{14}}

menjadi

{\frac {7-2}{7+2}}={\frac {14-4}{14+4}}

kemudian

{\frac {5}{9}}={\frac {10}{18}}

Perbandingan senilai
Pembahasan

Ciri-ciri perbandingan senilai yaitu a/b = c/d.

1. Tono mengadonkan 5 kue dalam 400 gram tepung. Berapa gram tepung jika mengadonkan 7 kue?

Jawaban

kue1 : kue2 = tepung1 : tepung2
5:7 = 400:x

x = 7/5 x 400 = 560

jadi Tono mengadonkan 7 kue dalam 560 gram

2. Akuarium bermassa 1.6 kg dengan volume 32 cm³. Berapa volume jika akuarium bermassa 0.5 kg?

Jawaban

massa1 : massa2 = volume1 : volume2
1.6:0.5 = 32:x

x = 0.5/1.6 x 32 = 10

jadi akuarium bermassa 0.5 kg adalah 10 cm³

Perbandingan berbalik nilai
Pembahasan

Ciri-ciri perbandingan berbalik nilai yaitu a x b = c x d. Contoh ciri-cirinya adalah persediaan yang selalu habis, pekerja dalam terbatas waktunya, dua buah ukurannya yang salah satunya dimiliki pecahan ukuran seperti km/jam, kg/m³, dst

1. Dalam 5 hari kantor dipekerjakan 72 orang. Berapa orang yang perlu ditambahkan dalam 3 hari?

Jawaban

hari1 x pekerja1 = hari2 x pekerja2
5 x 72 = 3 x k

k = 5/3 x 72 = 120

yang perlu ditambahkan = 120 - 72 = 48

jadi orang yang perlu ditambahkan dalam 3 hari adalah 48 orang

2. Ardi mengendarakan motor dengan kecepatan 24 km/jam dalam 6 jam. Berapa waktu jika dikendarai dengan kecepatan 72 km/jam?

Jawaban

waktu1 x kecepatan1 = waktu2 x kecepatan2
24 x 6 = 72 x k

k = 24/72 x 6 = 2

jadi waktu jika dikendarai dengan kecepatan 72 km/jam adalah 2 jam

3. Di rumah Ali mengecat tembok 5 hari dan Tono 8 hari. Berapa hari mereka datang bersama-sama?

Jawaban dianggap salah

Jawaban

5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …
8 = 8, 16, 24, 32, 40, …

KPK dari 5 dan 8 adalah 40.

jadi mereka datang bersama-sama selama 40 hari.

Jawaban dianggap benar

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ misalkan mereka datang bersama-sama = }}x\\{\frac {1}{x}}&={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{x}}&={\frac {13}{40}}\\x&={\frac {40}{13}}\\x&=3{\frac {1}{13}}\\x&=3.07\\\end{aligned}}$

jadi mereka datang bersama-sama selama 3.07 hari.

4. Sebuah rumah jika dikerjakan 14 orang akan selesai dalam waktu 60 hari. Setelah bekerja 20 hari, pekerjaan dihentikan selama 5 hari maka berapa tambahan pekerja agar pekerjaan selesai tepat waktu?

Jawaban


hari	pekerja	keterangan
60	14	dianggap salah
40	14
35	x

x = 40/35 * 14 = 16

jadi tambahan pekerja yang diperlukan 16-14 = 2 orang

5. Ami mampu menyelesaikan suatu anyaman dalam waktu 9 hari, Batiani mampu menyelesaikannya dalam waktu 6 hari, sedangkan jika diselesaikan oleh Cintami hanya memerlukan waktu 12 hari. Tentukan berapa hari pekerjaan tersebut dapat diselesaikan jika dikerjakan bersama-sama?

Jawaban dianggap salah

Jawaban

6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
9 = 9, 18, 27, 36, …
12 = 12, 24, 36, …

KPK dari 6, 9 dan 12 adalah 36.

jadi mereka menyelesaikan secara bersama-sama selama 36 hari.

Jawaban dianggap benar

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ misalkan mereka datang bersama-sama = }}x\\{\frac {1}{x}}&={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{x}}&={\frac {13}{36}}\\x&={\frac {36}{13}}\\x&=2{\frac {10}{13}}\\x&=2.77\\\end{aligned}}$

jadi mereka menyelesaikan secara bersama-sama selama 2.77 hari.

6. Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh Nayaka dan Ari selama 15 hari. jika perkerjaan itu dapat diselesaikan oleh Nayaka dan Brandon dalam 12 hari, sedangkan Ari dan Brandon selesai dalam 10 hari maka berapa hari pekerjaan tersebut secara bersama-sama dikerjakan oleh ketiganya akan selesai?

cara 1

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ misalkan Nayaka = x, Ari = y dan Brandon = z}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}&={\frac {1}{15}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{10}}\\{\text{eliminasi persamaan 1 dikurangi 2 }}\\{\frac {1}{y}}-{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{15}}-{\frac {1}{12}}\\&={\frac {4-5}{60}}\\&=-{\frac {1}{60}}\\{\text{eliminasi persamaan 3 dikurangi 4 }}\\2{\frac {1}{y}}&={\frac {1}{10}}-{\frac {1}{60}}\\&={\frac {6-1}{60}}\\&={\frac {5}{60}}\\{\frac {1}{y}}&={\frac {5}{120}}\\y&=24\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}&={\frac {1}{15}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {5}{120}}&={\frac {1}{15}}\\{\frac {1}{x}}&={\frac {1}{15}}-{\frac {5}{120}}\\&={\frac {8-5}{120}}\\&={\frac {3}{120}}\\x&=40\\{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{10}}\\{\frac {5}{120}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{10}}\\{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{10}}-{\frac {5}{120}}\\&={\frac {12-5}{120}}\\&={\frac {7}{120}}\\z&={\frac {120}{7}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {3}{120}}+{\frac {5}{120}}+{\frac {7}{120}}\\&={\frac {15}{120}}\\&={\frac {1}{8}}\\\end{aligned}}$

jadi pekerjaan tersebut secara bersama-sama dikerjakan oleh ketiganya akan selesai selama 8 hari.

cara 2

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ misalkan Nayaka = x, Ari = y dan Brandon = z}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}&={\frac {1}{15}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{12}}\\{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{10}}\\{\text{jumlahkan ketiga persamaan tersebut }}\\2({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}})&={\frac {1}{15}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{10}}\\&={\frac {4+5+6}{60}}\\&={\frac {15}{60}}\\&={\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}&={\frac {1}{2\times 4}}\\&={\frac {1}{8}}\\\end{aligned}}$

jadi pekerjaan tersebut secara bersama-sama dikerjakan oleh ketiganya akan selesai selama 8 hari.

7. Anton, Bidu dan Dodo mampu menyelesaikan suatu anyaman bersama-sama dalam waktu 15 hari, Bidu dan Dodo mampu menyelesaikannya bersama-sama dalam waktu 20 hari. Tentukan berapa hari pekerjaan tersebut dapat diselesaikan Anton?

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ misalkan Anton = A, Bidu = B serta Dodo = D}}\\{\frac {1}{15}}&={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{D}}\\{\frac {1}{20}}&={\frac {1}{B}}+{\frac {1}{D}}\\{\frac {1}{15}}&={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{D}}\\{\frac {1}{15}}&={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{A}}&={\frac {1}{15}}-{\frac {1}{20}}\\{\frac {1}{A}}&={\frac {1}{60}}\\A&=60\\\end{aligned}}$

jadi anton menyelesaikan selama 60 hari.

8. Sebuah ladang berisi tanaman rumput. Jika di makan oleh 3 ekor kerbau habis dalam waktu 20 hari, sedangkan jika dimakan oleh 5 ekor kambing habis dalam waktu 40 hari. Berapa hari rumput tersebut akan habis dimakan oleh 2 ekor kerbau dan 2 ekor kambing?

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ misalkan kerbau = x dan kambing = y }}\\{\frac {3}{x}}&={\frac {1}{20}}\\x&=60\\{\frac {5}{y}}&={\frac {1}{40}}\\y&=200\\{\frac {1}{2(x+y)}}&={\frac {2}{60}}+{\frac {2}{200}}\\{\frac {1}{2(x+y)}}&={\frac {26}{600}}\\2(x+y)&={\frac {600}{26}}\\2(x+y)&=23{\frac {2}{26}}\\2(x+y)&=23.07\\\end{aligned}}$

jadi 2 ekor kerbau dan 2 ekor kambing habis memakan bersama-sama selama 23.07 hari.

Perbandingan campuran

Dua senilai

1. Jika 4 kucing menangkap 4 tikus dalam waktu 9 menit. Berapa jumlah tikus yang mungkin ditangkap 24 kucing dalam 81 menit?

Jawaban


Kucing	Waktu (menit)	Tikus
4	9	4
A /24	9	B (24)
24	81	C (216)

Perhatikan data dari kucing A harus 24 maka dari 4 ke 24 adalah 6 kali lipat kemudian B kita cari perbandingan senilai jadi B itu 4 kali 6 jadi 24. kemudian C merupakan senilai waktu dari 9 ke 81 adalah 9 kali lipat jadi C itu 24 kali 9 adalah 216. jadi jumlah tikus yang mungkin ditangkap adalah 216.

atau

Jawaban

9 menit = 4/4 = 1

81 menit = 9 (dikali 9 dari atas)

jumlah tikus yang ditangkap: 24 x 9 = 216

Jadi jumlah tikus yang mungkin ditangkap 24 kucing dalam 81 menit adalah 216.

atau

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {\frac {4}{4}}{\frac {24}{x}}}&={\frac {9}{81}}\\{\frac {1}{\frac {24}{x}}}&={\frac {1}{9}}\\{\frac {x}{24}}&=9\\x&=216\\\end{aligned}}$

Jadi jumlah tikus yang mungkin ditangkap 24 kucing dalam 81 menit adalah 216.

Perbandingan berbalik senilai dan senilai

1. Dinding seluas 60 m² selesai dicat selama 5 jam oleh 6 pekerja. Berapa waktu yang diperlukan untuk mengecat dinding seluas 48 m² oleh 3 pekerja?

jawaban


Pekerja	Luas	Waktu (jam)
6	60	5
3	60	(10)
3	48	(8)

Jawaban

Untuk mengecat dinding seluas 60 m²
orang1 x waktu1 = orang2 x waktu2
6 x 5 = 3 x k

k = 6/3 x 5 = 10

Jadi untuk mengecat dinding seluas 60 m² oleh 3 orang selesai dalam waktu 10 jam.

Oleh 3 orang pekerja, waktu untuk mengecat dinding seluas 48 m²
luas1:waktu1 = luas2:waktu2
60:10 = 48:y

y = 10/60 x 48 = 8 jam

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mengecat dinding seluas 48 m² oleh 3 pekerja adalah 8 jam.

atau

Jawaban

6 pekerja = 60/5 = 12 m²/j

3 pekerja = 6 m²/j (dibagi 2 dari atas)

Waktu yang diperlukan: 48/6 = 8 jam

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mengecat dinding seluas 48 m² oleh 3 pekerja adalah 8 jam.

atau

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {\frac {60}{5}}{\frac {48}{x}}}&={\frac {6}{3}}\\{\frac {12}{\frac {48}{x}}}&=2\\{\frac {48}{x}}&={\frac {12}{2}}\\{\frac {48}{x}}&=6\\x&=8\\\end{aligned}}$

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mengecat dinding seluas 48 m² oleh 3 pekerja adalah 8 jam.

2. Perbandingan Budi dan Dani adalah 4:5. Jika Budi mengetik 240 huruf dalam waktu 7 menit. Berapa waktu yang diperlukan B dalam mengetik 7200 huruf?

Jawaban


Per	Waktu (menit)	Huruf
4	7	240
5	7	(300)
5	(168)	720

Jawaban

Untuk membutuhkan 7 menit
huruf1 : per1 = huruf2 : per2
240 : 4 = k : 5

k = 5/4 x 240 = 300

Jadi untuk membutuhkan 7 menit dalam mengetik 300 huruf.

Diketik 7200 huruf, waktu untuk mengetik
Waktu1:huruf1 = waktu2:huruf2
7:y = 300:7200

y = 7200/300 x 7 = 168 menit = 2 jam 48 menit

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mengetik 7200 huruf adalah 2 jam 48 menit.

atau

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {\frac {240}{7}}{\frac {7200}{x}}}&={\frac {4}{5}}\\{\frac {240}{7}}\cdot {\frac {x}{7200}}&={\frac {4}{5}}\\{\frac {x}{210}}&={\frac {4}{5}}\\x&={\frac {840}{5}}\\x&=168\\\end{aligned}}$

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mengetik 7200 huruf adalah 168 menit atau 2 jam 48 menit.

3. Dalam 4 jam satu kolam dikerjakan oleh 6 pekerja. Berapa pekerja yang mengerjakan 12 kolam dalam 8 jam?

jawaban


Waktu (jam)	Pekerja	Kolam
4	11	1
8	11	(2)
8	(66)	12

atau

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {\frac {1}{11}}{\frac {12}{x}}}&={\frac {4}{8}}\\{\frac {1}{11}}\cdot {\frac {x}{12}}&={\frac {1}{2}}\\{\frac {x}{66}}&=1\\x&=66\\\end{aligned}}$

Jadi pekerja yang dibutuhkan untuk mengerjakan 12 kolam dalam 8 jam adalah 66 pekerja.

Skala peta

Pembahasan

Rumus skala peta adalah ${\text{ skala peta = ukuran peta : ukuran yang sebenarnya.}}$

1. Sebuah denah rumah dengan skala 1:200 berukuran 9 cm x 8 cm. Berapakah luas sebenarnya rumah itu?

Jawaban dianggap salah

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ luas denah rumah }}=9cm\times 8cm=72cm^{2}\\{\text{ luas sebenarnya rumah adalah }}=72cm^{2}\times 200=14,400cm^{2}=1.44m^{2}\\\end{aligned}}$

Jawaban dianggap benar

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ panjang sebenarnya denah rumah }}=9cm\times 200=1,800cm=18m\\{\text{ lebar sebenarnya denah rumah }}=8cm\times 200=1,600cm=16m\\{\text{ luas sebenarnya rumah adalah }}=18m\times 16m=288m^{2}\\\end{aligned}}$

2. Sebuah peta dari Jakarta ke Bandung dengan skala 1:1.200.000 berukuran 7 cm. Berapakah jarak sebenarnya dari Jakarta ke Bandung itu?

Jawaban

${\begin{aligned}{\text{ jarak sebenarnya Jakarta-Bandung adalah }}=7cm\times 1,200,000=8,400,000cm=8.4km\\\end{aligned}}$

Bervariasi

1. Suatu persegi panjang mempunyai luas 120 cm². Jika panjangnya bertambah 25% dan lebarnya berkurang 20%, maka berapa luasnya tersebut?

Jawaban

${\begin{aligned}L_{1}=p_{1}\cdot p_{2}&=120\\p_{2}=p_{1}+0,25\cdot p_{1}&=1,25\cdot p_{1}\\l_{2}=l_{1}-0,2\cdot l_{1}&=0,8\cdot l_{1}\\L_{2}=p_{2}\cdot l_{2}&=1,25\cdot p_{1}\cdot 0,8\cdot l_{1}\\L_{2}=1\cdot p_{1}\cdot l_{1}&=1\cdot 120\\&=120\\\end{aligned}}$

Jadi luasnya menjadi 120 cm².