Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma

Sistem persamaan

Eksponen

Rumus:

1. a^f(x) = a^g(x)
2. f(x)^a = g(x)^a
3. f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 1
   3. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif
   4. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap
4. g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0

contoh

1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• 4^2x2+3x-5 = 4^-2x2+x+15
• (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷
• (x+8)^2x2+3x+7 = (x+8)^x2+10x-5
• (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3

Jawaban

$${\begin{aligned}*4^{2x^{2}+7x-5}&=4^{-2x^{2}+3x+10}\\2x^{2}+7x-5&=-2x^{2}+3x+10\\4x^{2}+4x-15&=0\\(2x-3)(2x+5)&=0\\x&={\frac {3}{2}}{\text{atau}}x=-{\frac {5}{2}}\\*(-x^{2}-3x+1)^{7}&=(2x^{2}+2x-1)^{7}\\-x^{2}-3x+1&=2x^{2}+2x-1\\3x^{2}+5x-2&=0\\(3x-1)(x+2)&=0\\x&={\frac {1}{3}}{\text{atau}}x=-2\\*(x+8)^{2x^{2}+3x+7}&=(x+8)^{x^{2}+10x-5}\\2x^{2}+3x+7&=x^{2}+10x-5\\x^{2}-7x+12&=0\\(x-3)(x-4)&=0\\x&=3{\text{atau}}x=4\\x+8&=1\\x&=-7\\x+8&=0\\x&=-8\\{\text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?}}\\2x^{2}+3x+7&={\text{pasti positif}}\\x^{2}+10x-5&={\text{pasti positif}}\\x+8&=-1\\x&=-9\\{\text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?}}\\2x^{2}+3x+7&=2(8)^{2}+3(8)+7=159\\x^{2}+10x-5&=(8)^{2}+10(8)-5=139\\{\text{dapat memenuhi syarat}}\\*(3x^{2}+3x-20)^{2x-3}&=(2x^{2}+x+15)^{2x-3}\\3x^{2}+3x-20&=2x^{2}+x+15\\x^{2}+2x-35&=0\\(x-5)(x+7)&=0\\x&=5{\text{atau}}x=-7\\2x-3&=0\\x&={\frac {3}{2}}\\{\text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol}}\\\end{aligned}}$$

Logaritma

Rumus:

1. ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0
2. ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1
3. ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1
4. ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1

contoh

1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4)
• ^2x2-11x+12log 8 = ^x2-13x+47log 8
• ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6)
• ^2x2-13x+53log (2x-15) = ^x2+2x-3log (2x-15)

Jawaban

$${\begin{aligned}*^{4}log(2x^{2}-3x)&=^{4}log(x^{2}+2x-4)\\2x^{2}-3x&=x^{2}+2x-4\\x^{2}-5x+4&=0\\(x-4)(x-1)&=0\\x&=4{\text{atau}}x=1\\{\text{syarat}}\\2x^{2}-3x&>0\\x(2x-3)&>0\\{\text{harga nol}}x(2x-3)&=0\\x&=0{\text{atau}}x={\frac {3}{2}}\\x&<0{\text{atau}}x>{\frac {3}{2}}\\x^{2}+2x-4&>0\\{\text{harga nol}}x^{2}+2x-4&=0\\x&={\frac {-2\pm {\sqrt {4+16}}}{2}}\\x&={\frac {-2\pm {\sqrt {20}}}{2}}\\x&={\frac {-2\pm 2{\sqrt {5}}}{2}}\\x&=-1\pm {\sqrt {5}}\\x_{1}&=-1-{\sqrt {5}}\\x_{2}&=-1+{\sqrt {5}}\\x_{1}&<-1-{\sqrt {5}}{\text{atau}}x>-1+{\sqrt {5}}\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}}\\x&<-1-{\sqrt {5}}{\text{atau}}x>{\frac {3}{2}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}}x&=4\\*^{2x^{2}-11x+12}log8&=^{x^{2}-13x+47}log8\\2x^{2}-11x+12&=x^{2}-13x+47\\x^{2}+2x-35&=0\\(x+7)(x-5)&=0\\x&=-7{\text{atau}}x=5\\{\text{syarat}}\\2x^{2}-11x+12&>0\\{\text{harga nol}}2x^{2}-11x+12&=0\\(2x-3)(x-4)&=0\\x&={\frac {3}{2}}{\text{atau}}x=4\\x&<{\frac {3}{2}}{\text{atau}}x>4\\2x^{2}-11x+12&\neq 1\\2x^{2}-11x+11&\neq 0\\x&\neq {\frac {11\pm {\sqrt {121-88}}}{4}}\\x&\neq {\frac {11\pm {\sqrt {43}}}{4}}\\x_{1}&\neq {\frac {11-{\sqrt {43}}}{4}}\\x_{2}&\neq {\frac {11+{\sqrt {43}}}{4}}\\x^{2}-13x+47&>0\\{\text{harga nol}}x^{2}-13x+47&=0\\x&={\frac {13\pm {\sqrt {169-188}}}{2}}\\{\text{definit positif}}\\x^{2}-13x+47&\neq 1\\x^{2}-13x+46&\neq 0\\x&\neq {\frac {13\pm {\sqrt {169-184}}}{2}}\\{\text{definit positif}}\\{\text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi}}\\x&<{\frac {3}{2}},x>4{\text{atau}}x\neq {\frac {11\pm {\sqrt {43}}}{4}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}}x&={-7,5}\\*^{4x-1}log(5x^{2}-12x+9)&=^{4x-1}log(x^{2}-5x+6)\\5x^{2}-12x+9&=x^{2}-5x+6\\4x^{2}-7x+3&=0\\(4x-3)(x-1)&=0\\x&={\frac {3}{4}}{\text{atau}}x=1\\{\text{syarat}}\\5x^{2}-12x+9&>0\\{\text{harga nol}}5x^{2}-12x+9&=0\\x&={\frac {12\pm {\sqrt {144-180}}}{10}}\\{\text{definit positif}}\\x^{2}-5x+6&>0\\{\text{harga nol}}x^{2}-5x+6&=0\\(x-2)(x-3)&=0\\x&=2{\text{atau}}x=3\\x&<2{\text{atau}}x>3\\4x-1&>0\\x&>{\frac {1}{4}}\\4x-1&\neq 1\\4x&\neq 2\\x&\neq {\frac {1}{2}}\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}}\\{\frac {1}{4}}&<x<2,x>3{\text{atau}}x\neq {\frac {1}{2}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}}x&={{\frac {3}{4}},1}\\*^{2x^{2}-13x+53}log(2x-15)&=^{x^{2}+2x-3}log(2x-15)\\2x^{2}-13x+53&=x^{2}+2x-3\\x^{2}-15x+56&=0\\(x-7)(x-8)&=0\\x&=7{\text{atau}}x=8\\{\text{syarat}}\\2x-15&>0\\x&>{\frac {15}{2}}\\2x^{2}-13x+53&>0\\{\text{harga nol}}2x^{2}-13x+53&=0\\x&={\frac {13\pm {\sqrt {169-424}}}{4}}\\{\text{definit positif}}\\2x^{2}-13x+53&\neq 1\\2x^{2}-13x+52&\neq 0\\x&\neq {\frac {13\pm {\sqrt {169-416}}}{4}}\\{\text{definit positif}}\\x^{2}+2x-3&>0\\{\text{harga nol}}x^{2}+2x-3&=0\\(x-1)(x+3)&=0\\x&=1{\text{atau}}x=-3\\x&<-3{\text{atau}}x>1\\x^{2}+2x-3&\neq 1\\x^{2}+2x-4&\neq 0\\x&\neq {\frac {-2\pm {\sqrt {4+16}}}{2}}\\x&\neq {\frac {-2\pm {\sqrt {20}}}{2}}\\x&\neq {\frac {-2\pm 2{\sqrt {5}}}{2}}\\x&\neq -1\pm {\sqrt {5}}\\x_{1}&\neq -1-{\sqrt {5}}\\x_{2}&\neq -1+{\sqrt {5}}\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}}\\x&>{\frac {15}{2}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}}x&=8\\\end{aligned}}$$

catatan:

• jawaban 1

• • grafik arsiran 1

	0		3/2
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 2

	$-1-{\sqrt {5}}$		$-1+{\sqrt {5}}$
+++		——-		+++

• • grafik irisan arsiran 1 dan 2

	$-1-{\sqrt {5}}$		0		$-1+{\sqrt {5}}$		3/2
+++		+++		——-		———		+++
+++		——-		——-		+++		+++

• jawaban 2

• • grafik arsiran 1

	3/2		4
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol

	${\frac {11-{\sqrt {43}}}{4}}$		3/2		4		${\frac {11+{\sqrt {43}}}{4}}$
+++		+++		——-		+++		+++

• jawaban 3

• • grafik arsiran 2

	2		3
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol

	1/4		1/2		2		3
——-		+++		+++		———		+++

• jawaban 3

• • grafik arsiran 3

	-3		1
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol

	$-1-{\sqrt {5}}$		-3		1		$-1+{\sqrt {5}}$		15/2
——-		----		----		———		-----		+++