Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma

Sistem persamaan

Eksponen

Rumus:

1. a^f(x) = a^g(x)
2. f(x)^a = g(x)^a
3. f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 1
   3. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif
   4. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap
4. g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0

jumlah akar eksponen

$x_{1}+x_{2}=^{p}log{\frac {c}{a}}$ (p adakah bilangan pokok)

contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• 4^2x2+3x-5 = 4^-2x2+x+15
• (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷
• (x+8)^2x2+3x+7 = (x+8)^x2+10x-5
• (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3

Jawaban

$${\begin{aligned}*4^{2x^{2}+7x-5}&=4^{-2x^{2}+3x+10}\\2x^{2}+7x-5&=-2x^{2}+3x+10\\4x^{2}+4x-15&=0\\(2x-3)(2x+5)&=0\\x={\frac {3}{2}}&{\text{ atau }}x=-{\frac {5}{2}}\\*(-x^{2}-3x+1)^{7}&=(2x^{2}+2x-1)^{7}\\-x^{2}-3x+1&=2x^{2}+2x-1\\3x^{2}+5x-2&=0\\(3x-1)(x+2)&=0\\x={\frac {1}{3}}&{\text{ atau }}x=-2\\*(x+8)^{2x^{2}+3x+7}&=(x+8)^{x^{2}+10x-5}\\2x^{2}+3x+7&=x^{2}+10x-5\\x^{2}-7x+12&=0\\(x-3)(x-4)&=0\\x=3&{\text{ atau }}x=4\\x+8&=1\\x&=-7\\x+8&=0\\x&=-8\\{\text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?}}\\2x^{2}+3x+7&={\text{pasti positif}}\\x^{2}+10x-5&={\text{pasti positif}}\\x+8&=-1\\x&=-9\\{\text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?}}\\2x^{2}+3x+7&=2(8)^{2}+3(8)+7=159\\x^{2}+10x-5&=(8)^{2}+10(8)-5=139\\{\text{dapat memenuhi syarat}}\\*(3x^{2}+3x-20)^{2x-3}&=(2x^{2}+x+15)^{2x-3}\\3x^{2}+3x-20&=2x^{2}+x+15\\x^{2}+2x-35&=0\\(x-5)(x+7)&=0\\x=5&{\text{ atau }}x=-7\\2x-3&=0\\x&={\frac {3}{2}}\\{\text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol}}\\\end{aligned}}$$

Logaritma

Rumus:

1. ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0
2. ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1
3. ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1
4. ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1

hasil akar eksponen

$x_{1}\cdot x_{2}=p^{-{\frac {b}{a}}}$ (p adakah bilangan pokok)

contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4)
• ^2x2-11x+12log 8 = ^x2-13x+47log 8
• ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6)
• ^2x2-13x+53log (2x-15) = ^x2+2x-3log (2x-15)

Jawaban

$${\begin{aligned}*^{4}log(2x^{2}-3x)&=^{4}log(x^{2}+2x-4)\\2x^{2}-3x&=x^{2}+2x-4\\x^{2}-5x+4&=0\\(x-4)(x-1)&=0\\x=4&{\text{ atau }}x=1\\{\text{syarat 1}}\\2x^{2}-3x&>0\\x(2x-3)&>0\\{\text{harga nol }}\\x(2x-3)&=0\\x=0&{\text{ atau }}x={\frac {3}{2}}\\x<0&{\text{ atau }}x>{\frac {3}{2}}\\{\text{syarat 2}}\\x^{2}+2x-4&>0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}+2x-4&=0\\x&={\frac {-2\pm {\sqrt {4+16}}}{2}}\\x&={\frac {-2\pm {\sqrt {20}}}{2}}\\x&={\frac {-2\pm 2{\sqrt {5}}}{2}}\\x&=-1\pm {\sqrt {5}}\\x_{1}&=-1-{\sqrt {5}}\\x_{2}&=-1+{\sqrt {5}}\\x_{1}<-1-{\sqrt {5}}&{\text{ atau }}x>-1+{\sqrt {5}}\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}}\\x<-1-{\sqrt {5}}&{\text{ atau }}x>{\frac {3}{2}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }}x&=4\\*^{2x^{2}-11x+12}log8&=^{x^{2}-13x+47}log8\\2x^{2}-11x+12&=x^{2}-13x+47\\x^{2}+2x-35&=0\\(x+7)(x-5)&=0\\x=-7&{\text{ atau }}x=5\\{\text{syarat 1}}\\2x^{2}-11x+12&>0\\{\text{harga nol }}2x^{2}-11x+12&=0\\(2x-3)(x-4)&=0\\x={\frac {3}{2}}&{\text{ atau }}x=4\\x<{\frac {3}{2}}&{\text{ atau }}x>4\\{\text{syarat 2}}\\2x^{2}-11x+12&\neq 1\\2x^{2}-11x+11&\neq 0\\x&\neq {\frac {11\pm {\sqrt {121-88}}}{4}}\\x&\neq {\frac {11\pm {\sqrt {43}}}{4}}\\x_{1}&\neq {\frac {11-{\sqrt {43}}}{4}}\\x_{2}&\neq {\frac {11+{\sqrt {43}}}{4}}\\{\text{syarat 3}}\\x^{2}-13x+47&>0\\{\text{harga nol }}x^{2}-13x+47&=0\\x&={\frac {13\pm {\sqrt {169-188}}}{2}}\\{\text{definit positif}}\\{\text{syarat 4}}\\x^{2}-13x+47&\neq 1\\x^{2}-13x+46&\neq 0\\x&\neq {\frac {13\pm {\sqrt {169-184}}}{2}}\\{\text{definit positif}}\\{\text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi}}\\x<{\frac {3}{2}},x>4&{\text{ atau }}x\neq {\frac {11\pm {\sqrt {43}}}{4}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }}x&={-7,5}\\*^{4x-1}log(5x^{2}-12x+9)&=^{4x-1}log(x^{2}-5x+6)\\5x^{2}-12x+9&=x^{2}-5x+6\\4x^{2}-7x+3&=0\\(4x-3)(x-1)&=0\\x={\frac {3}{4}}&{\text{ atau }}x=1\\{\text{syarat 1}}\\5x^{2}-12x+9&>0\\{\text{harga nol }}5x^{2}-12x+9&=0\\x&={\frac {12\pm {\sqrt {144-180}}}{10}}\\{\text{definit positif}}\\{\text{syarat 2}}\\x^{2}-5x+6&>0\\{\text{harga nol }}x^{2}-5x+6&=0\\(x-2)(x-3)&=0\\x=2&{\text{ atau }}x=3\\x<2&{\text{ atau }}x>3\\{\text{syarat 3}}\\4x-1&>0\\x&>{\frac {1}{4}}\\{\text{syarat 4}}\\4x-1&\neq 1\\4x&\neq 2\\x&\neq {\frac {1}{2}}\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}}\\{\frac {1}{4}}&<x<2,x>3{\text{ atau }}x\neq {\frac {1}{2}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }}x&={{\frac {3}{4}},1}\\*^{2x^{2}-13x+53}log(2x-15)&=^{x^{2}+2x-3}log(2x-15)\\2x^{2}-13x+53&=x^{2}+2x-3\\x^{2}-15x+56&=0\\(x-7)(x-8)&=0\\x=7&{\text{ atau }}x=8\\{\text{syarat 1}}\\2x-15&>0\\x&>{\frac {15}{2}}\\{\text{syarat 2}}\\2x^{2}-13x+53&>0\\{\text{harga nol }}2x^{2}-13x+53&=0\\x&={\frac {13\pm {\sqrt {169-424}}}{4}}\\{\text{definit positif}}\\{\text{syarat 3}}\\2x^{2}-13x+53&\neq 1\\2x^{2}-13x+52&\neq 0\\x&\neq {\frac {13\pm {\sqrt {169-416}}}{4}}\\{\text{definit positif}}\\{\text{syarat 4}}\\x^{2}+2x-3&>0\\{\text{harga nol }}x^{2}+2x-3&=0\\(x-1)(x+3)&=0\\x=1&{\text{ atau }}x=-3\\x<-3&{\text{ atau }}x>1\\{\text{syarat 5}}\\x^{2}+2x-3&\neq 1\\x^{2}+2x-4&\neq 0\\x&\neq {\frac {-2\pm {\sqrt {4+16}}}{2}}\\x&\neq {\frac {-2\pm {\sqrt {20}}}{2}}\\x&\neq {\frac {-2\pm 2{\sqrt {5}}}{2}}\\x&\neq -1\pm {\sqrt {5}}\\x_{1}&\neq -1-{\sqrt {5}}\\x_{2}&\neq -1+{\sqrt {5}}\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}}\\x&>{\frac {15}{2}}\\{\text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }}x&=8\\\end{aligned}}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• syarat 1

	0		3/2
+++		——-		+++

• syarat 2

	$-1-{\sqrt {5}}$		$-1+{\sqrt {5}}$
+++		——-		+++

total irisan

	$-1-{\sqrt {5}}$		0		$-1+{\sqrt {5}}$		3/2
Ya		Ya						Ya
Ya						Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor dua

• syarat 2

	3/2		4
+++		——-		+++

daerah arsiran untuk nomor tiga

• syarat 2

	2		3
+++		——-		+++

• syarat 3

	${\frac {1}{4}}$
——-		+++

total irisan

	${\frac {1}{4}}$		2		3
Ya		Ya				Ya
		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor empat

• syarat 1

	${\frac {15}{2}}$
——-		++*

• syarat 4

	-3		1		${\frac {15}{2}}$
						Ya
Ya				Ya		Ya

• total irisan

	-3		1
+++		——-		+++

Sistem pertidaksamaan

Eksponen

Rumus:

Pertidaksamaan eksponen

Teks judul	af(x)≤ag(x)	af(x)>ag(x)
a>1	f(x)≤g(x)	f(x)>g(x)
0<a<1	f(x)≥g(x)	f(x)<g(x)

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $27^{\frac {x+4}{3}}\geq {\frac {1}{81}}^{\frac {3x-8}{4}}$
• ${\frac {1}{16}}^{{\frac {x^{2}}{4}}-1}\geq {\frac {1}{8}}^{\frac {8-x}{3}}$
• ${\sqrt[{3}]{\frac {1}{27^{x+2}}}}\geq {\frac {3^{x-2}}{9}}$
• $3^{2x+1}+9\geq 28\cdot 3^{x}$

Jawaban

$${\begin{aligned}*27^{\frac {x+4}{3}}&\geq {\frac {1}{81}}^{\frac {3x-8}{4}}\\(3^{3})^{\frac {x+4}{3}}&\geq {\frac {1}{3^{4}}}^{\frac {3x-8}{4}}\\3^{x+4}&\geq (3^{-4})^{\frac {3x-8}{4}}\\3^{x+4}&\geq 3^{-(3x-8)}\\x+4&\geq -(3x-8)\\x+4&\geq -3x+8\\4x&\geq 4\\x&\geq 1\\*{\frac {1}{16}}^{{\frac {x^{2}}{4}}-1}&\geq {\frac {1}{8}}^{\frac {8-x}{3}}\\{\frac {1}{2^{4}}}^{{\frac {x^{2}}{4}}-1}&\geq {\frac {1}{2^{3}}}^{\frac {8-x}{3}}\\{\frac {1}{2}}^{4({\frac {x^{2}}{4}}-1)}&\geq {\frac {1}{2}}^{3({\frac {8-x}{3}})}\\{\frac {1}{2}}^{4({\frac {x^{2}-4}{4}})}&\geq {\frac {1}{2}}^{8-x}\\{\frac {1}{2}}^{x^{2}-4}&\geq {\frac {1}{2}}^{8-x}\\x^{2}-4&\leq 8-x\\x^{2}+x-12&\leq 0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}+x-12&=0\\(x+4)(x-3)&=0\\x=-4&{\text{ atau }}x=3\\{\text{jadi }}-4\leq x\leq 3\\*{\sqrt[{3}]{\frac {1}{27^{x+2}}}}&\geq {\frac {3^{x-2}}{9}}\\({\frac {1}{(3^{3})^{x+2}}})^{\frac {1}{3}}&\geq {\frac {3^{x-2}}{3^{2}}}\\({\frac {1}{(3^{3})^{x+2}}})^{\frac {1}{3}}&\geq 3^{x-4}\\({\frac {1}{(3^{x+2})^{3}}})^{\frac {1}{3}}&\geq 3^{x-4}\\(3^{-3(x+2)})^{\frac {1}{3}}&\geq 3^{x-4}\\3^{-(x+2)}&\geq 3^{x-4}\\-(x+2)&\geq x-4\\-x-2&\geq x-4\\2x&\leq 2\\x&\leq 1\\*3^{2x+1}+9&\geq 28\cdot 3^{x}\\3\cdot (3^{x})^{2}-28\cdot 3^{x}+9&\geq 0\\(3\cdot 3^{x}-1)(3^{x}-9)&\geq 0\\{\text{harga nol }}\\(3\cdot 3^{x}-1)(3^{x}-9)&=0\\3^{x}={\frac {1}{3}}&{\text{ atau }}3^{x}=9\\{\text{untuk }}3^{x}={\frac {1}{3}}\\3^{x}={\frac {1}{3}}\\3^{x}=3^{-1}\\x=-1\\{\text{untuk }}3^{x}=9\\3^{x}=9\\3^{x}=3^{2}\\x=2\\{\text{jadi }}x\leq -1{\text{ atau }}x\geq 2\\\end{aligned}}$$

Logaritma

Rumus:

Pertidaksamaan logaritma

Teks judul	alog f(x)≤alog g(x)	alog f(x)>alog g(x)
a>1	f(x)≤g(x)	f(x)>g(x)
0<a<1	f(x)≥g(x)	f(x)<g(x)

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $2logx\leq log(3x+7)+2log2$
• $^{\frac {1}{2}}log(x^{2}-2x)\geq ^{\frac {1}{2}}log(x+10)$
• ${\frac {1}{^{x^{2}-4x}log3}}\geq ^{3}log(x+14)$
• $^{2}log^{2}x-2\geq ^{2}logx$

Jawaban

$${\begin{aligned}*2logx&\leq log(3x+7)+2log2\\logx^{2}&\leq log(3x+7)+log4\\logx^{2}&\leq log4(3x+7)\\x^{2}&\leq 4(3x+7)\\x^{2}&\leq 12x+28\\x^{2}-12x-28&\leq 0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}-12x-28&=0\\(x+2)(x-14)&=0\\x=-2&{\text{ atau }}x=14\\{\text{jadi }}-2\leq x\leq 14\\{\text{syarat 1 }}\\x&>0\\{\text{syarat 2 }}\\3x+7&>0\\x&>-{\frac {7}{3}}\\{\text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah }}0<x\leq 14\\*^{\frac {1}{2}}log(x^{2}-2x)&\geq ^{\frac {1}{2}}log(x+10)\\x^{2}-2x&\leq x+10\\x^{2}-3x-10&\leq 0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}-3x-10&=0\\(x+2)(x-5)&=0\\x=-2&{\text{ atau }}x=5\\{\text{jadi }}-2\leq x\leq 5\\{\text{syarat 1 }}\\x^{2}-2x&>0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}-2x&=0\\x(x-2)&=0\\x=0&{\text{ atau }}x=2\\{\text{jadi }}x<0{\text{ atau }}x>2\\{\text{syarat 2 }}\\x+10&>0\\x&>-10\\{\text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah }}-2\leq x<0{\text{ atau }}2<x\leq 5\\*{\frac {1}{^{x^{2}-4x}log3}}&\geq ^{3}log(x+14)\\^{3}log(x^{2}-4x)&\geq ^{3}log(x+14)\\x^{2}-4x&\geq x+14\\x^{2}-4x-x-14&\geq 0\\x^{2}-5x-14&\geq 0\\(x-7)(x+2)&\geq 0\\{\text{harga nol }}\\(x+2)(x-7)&=0\\x=-2&{\text{ atau }}x=7\\{\text{jadi }}x\leq -2{\text{ atau }}x\geq 7\\{\text{syarat 1 }}\\x^{2}-4x&\neq 0\\x(x-4)&\neq 0\\x\neq 0&{\text{ atau }}x\neq 4\\{\text{syarat 2 }}\\x^{2}-4x&>0\\x(x-4)&>0\\{\text{harga nol }}\\x(x-4)&=0\\x=0&{\text{ atau }}x=4\\{\text{jadi }}x<0{\text{ atau }}x>4\\{\text{syarat 3 }}\\x+14&>0\\x&>-14\\{\text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah }}-14<x\leq -2{\text{ atau }}x\geq 7\\*^{2}log^{2}x-2&\geq ^{2}logx\\^{2}log^{2}x-^{2}logx-2&\geq 0\\(^{2}logx-2)(^{2}logx+1)&\geq 0\\{\text{harga nol }}\\(^{2}logx-2)(^{2}logx+1)&=0\\^{2}logx=2&{\text{ atau }}^{2}logx=-1\\{\text{untuk }}^{2}logx=2\\^{2}logx&=2\\x&=4\\{\text{untuk }}^{2}logx=-1\\^{2}logx&=-1\\x&={\frac {1}{2}}\\{\text{jadi }}x\leq {\frac {1}{2}}{\text{ atau }}x\geq 4\\{\text{syarat }}\\x&>0\\{\text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah }}0<x\leq {\frac {1}{2}}{\text{ atau }}x\geq 4\\\end{aligned}}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• utama

Teks takarir

	-2		14
+++		——		+++

• total irisan

Teks takarir

	$(-{\frac {7}{3}})$		-2		(0)		14
				Ya		Ya
						Ya		Ya
		Ya		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor dua

• utama

Teks takarir

	-2		5
+++		——		+++

• syarat 1

Teks takarir

	0		2
+++		——		+++

• syarat 2

Teks takarir

	-10
——		+++

• total irisan

Teks takarir

	(-10)		-2		(0)		(2)		5
				Ya		Ya		Ya
Ya		Ya		Ya				Ya		Ya
		Ya		Ya		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor tiga

• utama

Teks takarir

	-2		7
+++		——		+++

• syarat 2

Teks takarir

	(0)		(4)
+++		——		+++

• total irisan

Teks takarir

	(-14)		-2		(0)		(4)		7
Ya		Ya								Ya
Ya		Ya		Ya				Ya		Ya
		Ya		Ya		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor empat

• utama

Teks takarir

	1/2		4
+++		——-		+++

• total irisan

Teks takarir

	(0)		1/2		4
Ya		Ya				Ya
		Ya		Ya		Ya