Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Sistem persamaan

bentuk

ax²+bx+c=0

Nilai hasil akar

Nilai hasil akar terdiri dari tiga jenis yaitu memfaktorkan, pengkuadratan serta rumus ABC.

contoh

1. tentukan nilai akar dari persamaan x²-16x+55=0!

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}-16x+55&=0\\{\text{hasil faktor tersebut adalah -5 dan -11}}\\(x-5)(x-11)=0\\x-5=0&{\text{ atau }}x-11=0\\x=5&x=11\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}-16x+55&=0\\x^{2}-16x&=-55\\x^{2}-16x+64&=-55+64\\(x-8)^{2}&=9\\x-8&=\pm {\sqrt {9}}\\x-8&=\pm 3\\x-8=3&{\text{ atau }}x-8=-3\\x=11&x=5\\\end{aligned}}$$

cara 3

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}-16x+55&=0\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-(-16)\pm {\sqrt {(-16)^{2}-4(1)(55)}}}{2(1)}}\\&={\frac {16\pm {\sqrt {256-220}}}{2}}\\&={\frac {16\pm {\sqrt {36}}}{2}}\\&={\frac {16\pm 6}{2}}\\&=8\pm 3\\x=8+3&{\text{ atau }}x=8-3\\x=11&x=5\\\end{aligned}}$$

Sifat akar (Teorema Vieta)

bentuk:

ax²+bx+c=0

x²+b/ax+c/a=0

dengan menggunakan (x-x1)(x-x2)

(x-x1)(x-x2)=0

x²-(x1+x2)x+x1x2=0

x²-(-b/a)x+c/a=0

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

$x_{1}-x_{2}=\pm {\frac {\sqrt {D}}{a}}$ (jarang)

contoh

1. tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 5!

Jawaban

$${\begin{aligned}x_{1}&=-2\\x_{2}&=5\\x_{1}+x_{2}&=-2+5=3\\x_{1}\cdot x_{2}&=-2\cdot 5=-10\\{\text{ jadi persamaan kuadrat adalah }}x^{2}-3x-10=0\\\end{aligned}}$$

1. tentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah x^{2-12x+20 = 0!}

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}-12x+20&=0\\x_{1}+x_{2}&=-({\frac {-12}{1}})\\x_{1}+x_{2}&=12\\x_{1}\cdot x_{2}&={\frac {20}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}&=20\\{\text{ jadi jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah }}12{\text{ dan }}20\\\end{aligned}}$$

1. tentukan nilai p dari persamaan x²-8x+p=0 dimana salah satu akarnya 2 lebih dari akar lainnya!

Jawaban

$${\begin{aligned}x_{1}&=x_{2}+2\\x_{1}-x_{2}&=2\\x_{1}+x_{2}&=8\\x_{1}-x_{2}&=2\\{\text{eliminasi kedua akar persamaan.}}\\2x_{2}&=6\\x_{2}&=3\\x_{1}-x_{2}&=2\\x_{1}-3&=2\\x_{1}&=5\\x_{1}\cdot x_{2}&=p\\5(3)&=p\\p&=15\\\end{aligned}}$$

Persamaan kuadrat baru

bentuk

x' = x diubah menjadi x = x' dengan menggunakan sifat akar.

Persamaan kuadrat baru

Pernyataan	Akar lama	Akar baru	Persamaan kuadrat baru
lebihnya dari	x'=x+p	x=x'-p	a(x'-p)2+b(x'-p)+c=0
kurangnya dari	x'=x-p	x=x'+p	a(x'+p)2+b(x'+p)+c=0
kalinya dari	x'=px	x=x'/p	a(x')2+bpx'+cp2=0
baginya dari	x'=x/p	x=px'	ap2(x')2+bpx'+c=0
berlawanan	x'=-x	x=-x'	a(x')2-bx'+c=0
kebalikan	x'=1/x	x=1/x'	c(x')2+bx'+a=0
kuadratnya	x=(x')2	$x'={\sqrt {x}}$	a2(x')2-(b2-2ac)x'+c2=0
akarnya	$x={\sqrt {x'}}$	(x')=x2	a(x')4-b(x')2+c=0

Buktikan akar-akar baru kuadratnya dari akar-akar lama!

Pembuktian

$${\begin{aligned}x'=x^{2}&{\text{ diubah menjadi }}x={\sqrt {x'}}\\ax^{2}+bx+c&=0\\a({\sqrt {x'}})^{2}+b({\sqrt {x'}})+c&=0\\a(x')+b({\sqrt {x'}})+c&=0\\a(x')+c&=-b({\sqrt {x'}})\\a^{2}(x')^{2}+2ac(x')+c^{2}&=b^{2}(x')\\a^{2}(x')^{2}-b^{2}(x')+2ac(x')+c^{2}&=0\\a^{2}(x')^{2}-(b^{2}-2ac)(x')+c^{2}&=0\\\end{aligned}}$$

contoh

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari 2x²-3x+1=0 yang akar-akarnya p-2 dan q-2!

Jawaban

$${\begin{aligned}p+q={\frac {3}{2}}&{\text{ dan }}pq={\frac {1}{2}}\\x_{1}=p-2&{\text{ dan }}x_{2}=q-2\\x_{1}+x_{2}&=p-2+q-2\\&=p+q-4={\frac {3}{2}}-4=-{\frac {5}{2}}\\x_{1}\cdot x_{2}&=(p-2)\cdot (q-2)\\&=pq-2(p+q)+4\\&={\frac {5}{2}}-2\cdot {\frac {3}{2}}+4\\&={\frac {5-6+8}{2}}\\&={\frac {7}{2}}\\x^{2}-(-{\frac {5}{2}})x+{\frac {7}{2}}=0\\2x^{2}+5x+7=0\\\end{aligned}}$$

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari x²-x+3=0 yang akar-akarnya pq dan p+q!

Jawaban

$${\begin{aligned}p+q=1&{\text{ dan }}pq=3\\x_{1}=pq&{\text{ dan }}x_{2}=p+q\\x_{1}+x_{2}&=pq+p+q\\&=3+1=4\\x_{1}\cdot x_{2}&=pq\cdot (p+q)\\&=3\cdot 1=3\\x^{2}-4x+3=0\\\end{aligned}}$$

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari 5x²+2x-1=0 yang akar-akarnya 1/q dan 1/q!

Jawaban

$${\begin{aligned}p+q=-{\frac {2}{5}}&{\text{ dan }}pq=-{\frac {1}{5}}\\x_{1}={\frac {1}{p}}&{\text{ dan }}x_{2}={\frac {1}{q}}\\x_{1}+x_{2}&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&={\frac {p+q}{pq}}\\&={\frac {-{\frac {2}{5}}}{-{\frac {1}{5}}}}\\&=2\\x_{1}\cdot x_{2}&={\frac {1}{p}}\cdot {\frac {1}{q}}\\&={\frac {1}{pq}}\\&={\frac {1}{-{\frac {1}{5}}}}\\&=-5\\x^{2}-2x-5=0\\\end{aligned}}$$

Diskriminan dan kriteria akar-akar

Diskriminan (D) = b²-4ac

Kriteria akar-akar

	Pernyataan
	D>0	D=0	D<0
a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum)	memotong	menyinggung	tidak memotong dan menyinggung
a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)

Kriteria akar-akar

Pernyataan	Kriteria
Kedua akar riil yang berbeda (D>0)
bertanda positif	x1+x2>0 dan x1x2>0
bertanda negatif	x1+x2<0 dan x1x2>0
berlawanan	x1x2<0
Akar riil yang sama (D=0)
berlawanan	b=0
kebalikan	c=a
Akar imajiner (D<0)

contoh

1. tentukan nilai b yang memenuhi persamaan x²+(b-8)x+(b+3)=0 yang memiliki kedua akar yang berbeda dan bertanda positif!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{kedua akar real yang berbeda dan bertanda positif memiliki 3 syarat yaitu}}\\*D&>0\\(b-8)^{2}-4(1)(b+3)&>0\\b^{2}-16x+64-4b-12&>0\\b^{2}-20b+52&>0\\{\text{harga nol}}b^{2}-20b+52&=0\\b&={\frac {20\pm {\sqrt {(-20)^{2}-4(1)(52)}}}{2}}\\&={\frac {20\pm {\sqrt {400-208}}}{2}}\\&={\frac {20\pm {\sqrt {192}}}{2}}\\&={\frac {20\pm 8{\sqrt {3}}}{2}}\\&=10\pm 4{\sqrt {3}}\\10-4{\sqrt {3}}&<b&<10+4{\sqrt {3}}\\*x_{1}+x_{2}&>0\\-(b-8)&>0\\8-b&>0\\b&<8\\*x_{1}\cdot x_{2}&>0\\b+3&>0\\b&>-3\\{\text{nilai b yang memenuhi adalah}}10-4{\sqrt {3}}<b<8\\\end{aligned}}$$

catatan grafik irisan:

• jawaban 1

• • grafik arsiran 1

	$10-4{\sqrt {3}}$		$10+4{\sqrt {3}}$
——		+++		——

• • grafik arsiran 2

	8
——		+++

• • grafik arsiran 3

	-3
——		+++

• • grafik irisan arsiran 1, 2 dan 3

	-3		$10-4{\sqrt {3}}$		8		$10+4{\sqrt {3}}$
				A		A
A		A		A
		A		A		A		A

Jarak (x2,y2) pada persamaan kuadrat/parabola

• anggap persamaaan nilai y sebagai y1
• masukkan y1 ke rumus jarak yaitu d = ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$
• kemudian turunan d’ dalam akar dari d sama dengan nilai nol untuk mencari nilai x
• jika mendapatkan xa, xb, xc, dst lalu masukkan lagi ke d yang tadi (tidak perlu mencari ya, yb, yc, dst karena persamaan y telah dimasukkan ke d yang tadi)
• kalau jarak terdekat bila nilai d terkecil (d’ minimum) tapi terjauh bila nilai d tak terhingga nilainya (d’ maksimum)

contoh

1. tentukan jarak terdekat (2,0) terhadap $y={\sqrt {x}}$!

Jawaban

$${\begin{aligned}d&={\sqrt {(x-2)^{2}+({\sqrt {x}}-0)^{2}}}\\&={\sqrt {x^{2}-4x+4+x}}\\&={\sqrt {x^{2}-3x+4}}\\{\text{turunan d dalam akar }}\\f'(x)&=2x-3\\{\text{untuk mencapai minimum (f'(x)) harus bernilai nol }}\\2x-3&=0\\x&={\frac {3}{2}}\\d&={\sqrt {({\frac {3}{2}})^{2}-3({\frac {3}{2}})+4}}\\&={\sqrt {\frac {7}{4}}}\\&={\frac {\sqrt {7}}{2}}\\\end{aligned}}$$

Persamaan parabola

untuk persamaan parabola ini dimana titik pusat dianggap sebagai titik puncak.

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Persamaan	$x^{2}=4py$	$y^{2}=4px$
Sumbu simetri	sumbu y (x=0)	sumbu x (y=0)
Panjang Latus Rectum	L = 4p	L = 4p
Fokus	$F(0,p)$	$F(p,0)$
Direktris	y = -p	x = -p
	Titik pusat (h,k)
Persamaan	$(x-h)^{2}=4p(y-k)$	$(y-k)^{2}=4p(x-h)$
Sumbu simetri	x = h	y = k
Panjang Latus Rectum	L = 4p	L = 4p
Fokus	$F(h,k+p)$	$F(h+p,k)$
Direktris	y = k-p	x = h-p

Persamaan garis singgung

bergradien $m$ ($y=mx+c$)

Vertikal	Horisontal
Titik pusat (0,0)
$y=mx-pm^{2}$	$y=mx+{\frac {p}{m}}$
Titik pusat (h,k)
$(y-k)=m(x-h)-pm^{2}$	$(y-k)=m(x-h)+{\frac {p}{m}}$

jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka $m_{2}=m_{1}$

jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka $m_{2}={\frac {-1}{m_{1}}}$

melalui titik $(x_{1},y_{1})$

dengan cara bagi adil

Vertikal	Horisontal
Titik pusat (0,0)
$xx_{1}=2py+2py_{1}$	$yy_{1}=2px+2px_{1}$
Titik pusat (h,k)
$(x-h)(x_{1}-h)=2p(y-k)+2p(y_{1}-k)$	$(y-k)(y_{1}-k)=2p(x-h)+2p(x_{1}-h)$

jika titik $(x_{1},y_{1})$ berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).

jika titik $(x_{1},y_{1})$ berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan kuadrat/parabola untuk mencari x.

contoh

Titik pusat (0,0)

• Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap $y^{2}=16x$!

jawab:

$y^{2}=16x->y^{2}=4(4x){\text{ jadi }}p=4$

$y=mx+{\frac {p}{m}}$

$y=2x+{\frac {4}{2}}$

$y=2x+2$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap $y^{2}=16x$!

jawab:

$y^{2}=16x->y^{2}=4(4x){\text{ jadi }}p=4$

$y^{2}-16x=0{\text{ maka masukkan lah (4,8) }}(8)^{2}-16(4)=0=0$ (dalam)

dengan cara bagi adil

$yy_{1}=2px+2px_{1}$

$8y=2(4)x+2(4)(4)$

$8y=8x+32$ (dibagi 8)

$y=x+4$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap $y^{2}=16x$!

jawab:

$y^{2}=16x->y^{2}=4(4x){\text{ jadi }}p=4$

$y^{2}-16x=0{\text{ maka masukkan lah (1,5) }}(5)^{2}-16(1)=9>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$yy_{1}=2px+2px_{1}$

$5y=2(4)x+2(4)(1)$

$5y=8x+8$

$y={\frac {8}{5}}x+{\frac {8}{5}}$

masukkan lah $y^{2}=16x$

$({\frac {8}{5}}x+{\frac {8}{5}})^{2}=16x$

${\frac {64}{25}}x^{2}+{\frac {128}{25}}x+{\frac {64}{25}}-16x=0$

${\frac {64}{25}}x^{2}+{\frac {128}{25}}x+{\frac {64}{25}}-{\frac {400}{25}}x=0$

${\frac {64}{25}}x^{2}-{\frac {272}{25}}x+{\frac {64}{25}}=0$ (dibagi 16/25)

$4x^{2}-17x+4=0$

maka kita mencari nilai x

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x={\frac {17\pm {\sqrt {289-256}}}{8}}$

$x={\frac {17\pm {\sqrt {33}}}{8}}$

$x_{1}={\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}}$ atau $x_{2}={\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_{1}$

$y_{1}={\frac {8}{5}}({\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}})+{\frac {8}{5}}$

$y_{1}={\frac {17}{5}}+{\frac {\sqrt {33}}{5}}+{\frac {8}{5}}$

$y_{1}=5+{\frac {\sqrt {33}}{5}}$

jadi $({\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}},5+{\frac {\sqrt {33}}{5}})$

untuk $x_{2}$

$y_{2}={\frac {8}{5}}({\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}})+{\frac {8}{5}}$

$y_{2}={\frac {17}{5}}-{\frac {\sqrt {33}}{5}}+{\frac {8}{5}}$

$y_{2}=5-{\frac {\sqrt {33}}{5}}$

jadi $({\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}},5-{\frac {\sqrt {33}}{5}})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$yy_{1}=2px+2px_{1}$

$(5+{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=2(4)x+2(4)({\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}})$

$(5+{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=8x+17+{\sqrt {33}}$

untuk persamaan singgung kedua

$yy_{2}=2px+2px_{2}$

$(5-{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=2(4)x+2(4)({\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}})$

$(5-{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=8x+17-{\sqrt {33}}$

Titik pusat (h,k)

• Tentukan persamaan garis singgung $y^{2}-6y-8x+9=0$ melalui persamaan yang tegak lurus $y-2x-5=0$!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

$y^{2}-6y-8x+9=0$

$y^{2}-6y+9=8x$

$(y-3)^{2}=8x$

cari gradien persamaan $y-2x-5=0$

$y-2x-5=0$

$y=2x+5$

gradien ($m_{1}$) = 2 karena tegak lurus menjadi $m_{2}=-{\frac {1}{2}}$

cari $p$

$(y-3)^{2}=8x->(y-3)^{2}=4(2x){\text{ jadi }}p=2$

$(y-k)=mx+{\frac {p}{m}}$

$y-3=-{\frac {1}{2}}x+{\frac {2}{-{\frac {1}{2}}}}$

$y-3=-{\frac {1}{2}}x-4$

$y=-{\frac {1}{2}}x-1$

• Tentukan persamaan garis singgung $y^{2}-6y-8x+9=0$ yang berordinat 6!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

$y^{2}-6y-8x+9=0$

$y^{2}-6y+9=8x$

$(y-3)^{2}=8x$

cari absis dimana ordinat 6

$(y-3)^{2}=8x$

$(6-3)^{2}=8x$

$9=8x$

$x={\frac {9}{8}}$

$(y-3)^{2}=8x->(y-3)^{2}=4(2x){\text{ jadi }}p=2$

dengan cara bagi adil

$(y-k)(y_{1}-k)=2px+2px_{1}$

$(y-3)(6-3)=2(2)x+2(2)({\frac {9}{8}})$

$(y-3)3=4x+{\frac {9}{2}}$

$3y-9=4x+{\frac {9}{2}}$

$3y=4x+{\frac {27}{2}}$

$y={\frac {4}{3}}x+{\frac {27}{6}}$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap $y^{2}-6y-8x+9=0$!

ubah ke bentuk sederhana

$y^{2}-6y-8x+9=0$

$y^{2}-6y+9=8x$

$(y-3)^{2}=8x$

$(y-3)^{2}=8x->(y-3)^{2}=4(2x){\text{ jadi }}p=2$

$(y-3)^{2}-8x=0{\text{ maka masukkan lah (1,6) }}(6-3)^{2}-8(1)=9-8=1>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$(y-k)(y_{1}-k)=2px+2px_{1}$

$(y-3)(6-3)=2(2)x+2(2)(1)$

$(y-3)3=4x+4$

$3y-9=4x+4$

$3y=4x+13$

$y={\frac {4}{3}}x+{\frac {13}{3}}$

masukkan lah $(y-3)^{2}=8x$

$({\frac {4}{3}}x+{\frac {13}{3}}-3)^{2}=8x$

$({\frac {4}{3}}x+{\frac {4}{3}})^{2}=8x$

${\frac {16}{9}}x^{2}+{\frac {32}{9}}x+{\frac {16}{9}}-8x=0$

${\frac {16}{9}}x^{2}-{\frac {40}{9}}x+{\frac {16}{9}}=0$ (dibagi 8/9)

$2x^{2}+5x+2=0$

maka kita mencari nilai x

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x={\frac {5\pm {\sqrt {25-16}}}{4}}$

$x={\frac {5\pm {\sqrt {9}}}{4}}$

$x_{1}={\frac {5+{\sqrt {9}}}{4}}=2$ atau $x_{2}={\frac {5-{\sqrt {9}}}{4}}={\frac {1}{2}}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_{1}$

$y_{1}={\frac {4}{3}}(2)+{\frac {13}{3}}={\frac {8}{3}}+{\frac {13}{3}}=7$

jadi $(2,7)$

untuk $x_{2}$

$y_{2}={\frac {4}{3}}({\frac {1}{2}})+{\frac {13}{3}}={\frac {2}{3}}+{\frac {13}{3}}=5$

jadi $({\frac {1}{2}},5)$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$(y-k)(y_{1}-k)=2px+2px_{1}$

$(y-3)(7-3)=2(2)x+2(2)(2)$

$(y-3)4=4x+8$

$4y-12=4x+8$

$4y=4x+20$ (dibagi 4)

$y=x+5$

untuk persamaan singgung kedua

$(y-k)(y_{2}-k)=2px+2px_{2}$

$(y-3)(5-3)=2(2)x+2(2)({\frac {1}{2}})$

$(y-3)2=4x+2$

$2y-6=4x+2$

$2y=4x+8$ (dibagi 2)

$y=2x+4$