Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Persamaan linear dua variabel [ sunting ] bentuk:
ax+by = c (implisit)
y = mx + c (eksplisit) Ada tiga solusi sistem penyelesaian persamaan linear dua variabel yaitu:
solusi tunggal bercirikan
semua koefisien dan konstanta yang berbeda atau hanya salah satu koefisien yang sama nilainya dengan konstanta dimana salah satu lainnya koefisien adalah nol.
memiliki 1 titik potong
rumus:
:
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
:
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
:
a
1
a
2
≠
b
1
b
2
≠
c
1
c
2
{\displaystyle :a_{1}x+b_{1}y=c_{1}:a_{2}x+b_{2}y=c_{2}:{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\neq {\frac {b_{1}}{b_{2}}}\neq {\frac {c_{1}}{c_{2}}}}
solusi tak hingga (banyak penyelesaian) bercirikan
semua koefisen dan konstanta yang sama
memiliki garis berhimpit (sejajar)
banyak variabel ≥ banyak persamaan
rumus
:
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
:
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
:
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
{\displaystyle :a_{1}x+b_{1}y=c_{1}:a_{2}x+b_{2}y=c_{2}:{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}}
Tidak punya solusi (tidak memiliki penyelesaian) bercirikan
semua koefisen yang sama tetapi konstanta yang berbeda
hasilnya hanya pasti konstanta yang berbeda
memiliki jawaban yang berbeda
rumus
:
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
:
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
:
a
1
a
2
=
b
1
b
2
≠
c
1
c
2
{\displaystyle :a_{1}x+b_{1}y=c_{1}:a_{2}x+b_{2}y=c_{2}:{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}\neq {\frac {c_{1}}{c_{2}}}}
Ada empat metode untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel yaitu: substitusi, eliminasi, matriks serta grafik.
1. Tentukan nilai x dan y dari persamaan 6x - 7y = 4 dan 2x + 3y = 12!
substitusi Jawaban
6
x
−
7
y
=
4
6
x
=
7
y
+
4
x
=
7
y
+
4
6
2
x
+
3
y
=
12
2
(
7
y
+
4
6
)
+
3
y
=
12
7
y
+
4
3
+
3
y
=
12
7
y
+
4
+
9
y
=
36
16
y
=
32
y
=
2
x
=
7
y
+
4
6
=
7
(
2
)
+
4
6
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}6x-7y&=4\\6x&=7y+4\\x&={\frac {7y+4}{6}}\\2x+3y&=12\\2({\frac {7y+4}{6}})+3y&=12\\{\frac {7y+4}{3}}+3y&=12\\7y+4+9y&=36\\16y&=32\\y&=2\\x&={\frac {7y+4}{6}}\\&={\frac {7(2)+4}{6}}\\&=3\\\end{aligned}}}
jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.
eliminasi Jawaban
6
x
−
7
y
=
4
(
1
)
2
x
+
3
y
=
12
(
2
)
persamaan kedua dikalikan tiga agar dieliminasi.
6
x
−
7
y
=
4
(
1
)
6
x
+
9
y
=
36
(
2
)
persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.
−
16
y
=
−
32
y
=
2
2
x
+
3
y
=
12
2
x
+
3
(
2
)
=
12
2
x
+
6
=
12
2
x
=
6
x
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}6x-7y&=4(1)\\2x+3y&=12(2)\\{\text{persamaan kedua dikalikan tiga agar dieliminasi.}}\\6x-7y&=4(1)\\6x+9y&=36(2)\\{\text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.}}\\-16y&=-32\\y&=2\\2x+3y&=12\\2x+3(2)&=12\\2x+6&=12\\2x&=6\\x&=3\\\end{aligned}}}
jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.
matriks Jawaban
[
6
−
7
2
3
]
⋅
[
x
y
]
=
[
4
12
]
[
x
y
]
=
[
6
−
7
2
3
]
−
1
⋅
[
4
12
]
[
x
y
]
=
1
6
(
3
)
−
(
−
7
)
2
[
3
7
−
2
6
]
⋅
[
4
12
]
[
x
y
]
=
1
32
[
3
7
−
2
6
]
⋅
[
4
12
]
[
x
y
]
=
1
32
[
96
64
]
[
x
y
]
=
[
3
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}6&-7\\2&3\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}4\\12\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}6&-7\\2&3\\\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}4\\12\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}&={\frac {1}{6(3)-(-7)2}}{\begin{bmatrix}3&7\\-2&6\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4\\12\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}&={\frac {1}{32}}{\begin{bmatrix}3&7\\-2&6\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4\\12\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}&={\frac {1}{32}}{\begin{bmatrix}96\\64\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3\\2\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.
grafik Gradien serta persamaan garis lurus [ sunting ] rumus gradien:
m
=
y
x
{\displaystyle m={\frac {y}{x}}}
m
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
{\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
sejajar:
m
1
=
m
2
{\displaystyle m_{1}=m_{2}}
tegak lurus:
m
1
=
−
1
m
2
{\displaystyle m_{1}=-{\frac {1}{m_{2}}}}
berpotongan:
t
a
n
α
=
m
1
+
m
2
1
−
m
1
⋅
m
2
{\displaystyle tan\,\alpha ={\frac {m_{1}+m_{2}}{1-m_{1}\cdot m_{2}}}}
α
=
β
1
−
β
2
{\displaystyle \alpha =\beta _{1}-\beta _{2}}
rumus persamaan garis lurus:
y
=
m
x
±
c
{\displaystyle y=mx\pm c}
y
−
y
1
=
m
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
y
−
y
1
y
2
−
y
1
=
x
−
x
1
x
2
−
x
1
{\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
Dua titik (A (x1, y1), B (x2,y2)) |AB| =
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
{\displaystyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}
Titik A (x1, y1) terhadap ax+by+c=0 d =
|
a
x
1
+
b
y
1
+
c
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\frac {|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
jika ada dua garis untuk mencari jarak maka ambil salah satu garis untuk mencari nilai x dan y secara sembarangan terlebih dahulu kemudian rumuskan sesuai dengan di atas
Titik A (x1, y1) terhadap y=mx+c d =
|
y
1
−
m
x
1
−
c
|
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {|y_{1}-mx_{1}-c|}{\sqrt {1+m^{2}}}}}
contoh soal
1 Jimmy memelihara ayam dan anjing yang berjumlah 44 kaki. Jumlah ayam di kandang dan anjing di teras adalah 15. maka berapa banyaknya ayam dan anjing masing-masing?
Jawaban
misalkan ayam = a dan anjing = b
2
a
+
4
b
=
44
a
+
b
=
15
a
+
b
=
15
a
=
15
−
b
2
(
15
−
b
)
+
4
b
=
44
30
−
2
b
+
4
b
=
44
2
b
=
14
b
=
7
a
+
7
=
15
a
=
8
j
a
d
i
b
a
n
y
a
k
n
y
a
a
y
a
m
8
e
k
o
r
s
e
r
t
a
a
n
j
i
n
g
7
e
k
o
r
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{misalkan ayam = a dan anjing = b}}\\2a+4b&=44\\a+b&=15\\a+b&=15\\a&=15-b\\2(15-b)+4b&=44\\30-2b+4b&=44\\2b&=14\\b&=7\\a+7&=15\\a&=8\\\end{aligned}}jadibanyaknyaayam8ekorsertaanjing7ekor}
2. tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0,5) dan (2,7)!
Jawaban
y
−
5
7
−
5
=
x
−
0
2
−
0
y
−
5
2
=
x
−
0
2
y
−
5
=
x
y
=
x
+
5
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y-5}{7-5}}&={\frac {x-0}{2-0}}\\{\frac {y-5}{2}}&={\frac {x-0}{2}}\\y-5&=x\\y&=x+5\\\end{aligned}}}
3 tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0,5) dan sejajar dengan 2x + 3y = 7!
Jawaban
2
x
+
3
y
=
7
3
y
=
−
2
x
+
7
y
=
−
2
3
x
+
7
3
m
1
=
−
2
3
m
2
=
m
1
m
2
=
−
2
3
y
−
5
=
−
2
3
(
x
−
0
)
y
−
5
=
−
2
3
x
y
=
−
2
3
x
+
5
{\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y&=7\\3y&=-2x+7\\y&=-{\frac {2}{3}}x+{\frac {7}{3}}\\m_{1}&=-{\frac {2}{3}}\\m_{2}&=m_{1}\\m_{2}&=-{\frac {2}{3}}\\y-5&=-{\frac {2}{3}}(x-0)\\y-5&=-{\frac {2}{3}}x\\y&=-{\frac {2}{3}}x+5\\\end{aligned}}}
4 tentukan persamaan garis lurus yang melalui (2,9) dan tegak lurus dengan x + 4y = 8!
Jawaban
x
+
4
y
=
8
4
y
=
−
x
+
8
y
=
−
1
4
x
+
8
4
y
=
−
1
4
x
+
2
m
1
=
−
1
4
m
2
=
−
1
m
1
m
2
=
−
1
−
1
4
m
2
=
4
y
−
9
=
4
(
x
−
2
)
y
−
9
=
4
x
−
8
y
=
4
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}x+4y&=8\\4y&=-x+8\\y&=-{\frac {1}{4}}x+{\frac {8}{4}}\\y&=-{\frac {1}{4}}x+2\\m_{1}&=-{\frac {1}{4}}\\m_{2}&=-{\frac {1}{m_{1}}}\\m_{2}&=-{\frac {1}{-{\frac {1}{4}}}}\\m_{2}&=4\\y-9&=4(x-2)\\y-9&=4x-8\\y&=4x+1\\\end{aligned}}}
5. tentukan jarak (2,1) terhadap 4y-3x=8!
Jawaban
ubah 4y-3x=8 menjadi 3x-4y+8=0
d
=
|
3
(
2
)
+
(
−
4
)
1
+
8
|
3
2
+
(
−
4
)
2
=
|
6
−
4
+
8
|
25
=
10
5
=
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ubah 4y-3x=8 menjadi 3x-4y+8=0 }}\\d&={\frac {|3(2)+(-4)1+8|}{\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}}}}\\&={\frac {|6-4+8|}{\sqrt {25}}}\\&={\frac {10}{5}}\\&=2\\\end{aligned}}}
