Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Ada tiga solusi sistem penyelesaian persamaan linear tiga variabel yaitu:
solusi tunggal bercirikan
semua koefisien dan konstanta yang berbeda atau hanya salah satu koefisien yang sama nilainya dengan konstanta dimana dua lainnya koefisien adalah nol.
memiliki 1 titik potong
rumus:
:
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
=
d
1
:
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
=
d
2
:
a
3
x
+
b
3
y
+
c
3
=
d
3
:
a
1
a
2
≠
b
1
b
2
≠
c
1
c
2
≠
d
1
d
2
{\displaystyle :a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=d_{1}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=d_{2}:a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=d_{3}:{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\neq {\frac {b_{1}}{b_{2}}}\neq {\frac {c_{1}}{c_{2}}}\neq {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
solusi tak hingga (banyak penyelesaian) bercirikan
semua koefisen dan konstanta yang sama
memiliki garis berhimpit (sejajar)
banyak variabel ≥ banyak persamaan
rumus
:
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
=
d
1
:
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
=
d
2
:
a
3
x
+
b
3
y
+
c
3
=
d
3
:
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
=
d
1
d
2
{\displaystyle :a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=d_{1}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=d_{2}:a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=d_{3}:{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
Tidak punya solusi (tidak memiliki penyelesaian) bercirikan
semua koefisen yang sama tetapi konstanta yang berbeda
hasilnya hanya pasti konstanta yang berbeda
memiliki jawaban yang berbeda
rumus
:
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
=
d
1
:
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
=
d
2
:
a
3
x
+
b
3
y
+
c
3
=
d
3
:
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
≠
d
1
d
2
{\displaystyle :a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=d_{1}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=d_{2}:a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=d_{3}:{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}\neq {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
Ada empat metode untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel yaitu: substitusi, eliminasi, matriks serta grafik.
contoh soal
tentukan persamaan linear sebagai berikut: x + 3y + 5z = 17, 2x + y + z = 11 serta x + 2y + 3z = 12! substitusi Jawaban
x
+
3
y
+
5
z
=
17
(
1
)
x
=
17
−
3
y
−
5
z
(
1
)
x
+
2
y
+
3
z
=
12
(
3
)
x
=
12
−
2
y
−
3
z
(
3
)
persamaan pertama sama dengan persamaan ketiga agar disubstitusi.
17
−
3
y
−
5
z
=
12
−
2
y
−
3
z
(
4
)
y
+
2
z
=
5
(
4
)
persamaan pertama dikalikan dua.
2
x
+
6
y
+
10
z
=
34
(
1
)
2
x
+
y
+
z
=
11
(
2
)
persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.
5
y
+
9
z
=
23
(
5
)
y
+
2
z
=
5
(
4
)
5
y
+
9
z
=
23
(
5
)
persamaan keempat dikalikan lima.
5
y
+
10
z
=
25
(
4
)
5
y
+
9
z
=
23
(
5
)
langsung dieliminasi.
z
=
2
y
+
2
z
=
5
y
+
2
(
2
)
=
5
y
+
4
=
5
y
=
1
x
+
3
(
1
)
+
5
(
2
)
=
17
x
+
3
+
10
=
17
x
=
4
{\displaystyle {\begin{aligned}x+3y+5z&=17(1)\\x&=17-3y-5z(1)\\x+2y+3z&=12(3)\\x&=12-2y-3z(3)\\{\text{persamaan pertama sama dengan persamaan ketiga agar disubstitusi.}}\\17-3y-5z&=12-2y-3z(4)\\y+2z&=5(4)\\{\text{persamaan pertama dikalikan dua.}}\\2x+6y+10z&=34(1)\\2x+y+z&=11(2)\\{\text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.}}\\5y+9z&=23(5)\\y+2z&=5(4)\\5y+9z&=23(5)\\{\text{persamaan keempat dikalikan lima.}}\\5y+10z&=25(4)\\5y+9z&=23(5)\\{\text{langsung dieliminasi.}}\\z&=2\\y+2z&=5\\y+2(2)&=5\\y+4&=5\\y&=1\\x+3(1)+5(2)&=17\\x+3+10&=17\\x&=4\\\end{aligned}}}
jadi nilai x, y dan z adalah 4, 1 dan 2.
eliminasi Jawaban
x
+
3
y
+
5
z
=
17
(
1
)
2
x
+
y
+
z
=
11
(
2
)
persamaan pertama dikalikan dua agar dieliminasi.
2
x
+
6
y
+
10
z
=
34
(
1
)
2
x
+
y
+
z
=
11
(
2
)
persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.
5
y
+
9
z
=
23
(
4
)
x
+
3
y
+
5
z
=
17
(
1
)
x
+
2
y
+
3
z
=
12
(
3
)
langsung dieliminasi.
y
+
2
z
=
5
(
5
)
5
y
+
9
z
=
23
(
4
)
y
+
2
z
=
5
(
5
)
persamaan kelima dikalikan lima agar dieliminasi.
5
y
+
9
z
=
23
(
4
)
5
y
+
10
z
=
25
(
5
)
persamaan keempat kurangkan persamaan kelima.
−
z
=
−
2
z
=
2
y
+
2
z
=
5
y
+
2
(
2
)
=
5
y
+
4
=
5
y
=
1
x
+
3
(
1
)
+
5
(
2
)
=
17
x
+
3
+
10
=
17
x
=
4
{\displaystyle {\begin{aligned}x+3y+5z&=17(1)\\2x+y+z&=11(2)\\{\text{persamaan pertama dikalikan dua agar dieliminasi.}}\\2x+6y+10z&=34(1)\\2x+y+z&=11(2)\\{\text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.}}\\5y+9z&=23(4)\\x+3y+5z&=17(1)\\x+2y+3z&=12(3)\\{\text{langsung dieliminasi.}}\\y+2z&=5(5)\\5y+9z&=23(4)\\y+2z&=5(5)\\{\text{persamaan kelima dikalikan lima agar dieliminasi.}}\\5y+9z&=23(4)\\5y+10z&=25(5)\\{\text{persamaan keempat kurangkan persamaan kelima.}}\\-z&=-2\\z&=2\\y+2z&=5\\y+2(2)&=5\\y+4&=5\\y&=1\\x+3(1)+5(2)&=17\\x+3+10&=17\\x&=4\\\end{aligned}}}
jadi nilai x, y dan z adalah 4, 1 dan 2.
matriks Jawaban
1
3
5
17
2
1
1
11
1
2
3
12
b2-2b1
1
3
5
17
0
−
5
−
9
−
23
1
2
3
12
b3-b1
1
3
5
17
0
−
5
−
9
−
23
0
−
1
−
2
−
5
-b2/5
1
3
5
17
0
1
9
5
23
5
0
−
1
−
2
−
5
b1-3b2
1
0
−
2
5
16
5
0
1
9
5
23
5
0
−
1
−
2
−
5
b3+b2
1
0
−
2
5
16
5
0
1
9
5
23
5
0
0
−
1
5
−
2
5
-5b3
1
0
−
2
5
16
5
0
1
9
5
23
5
0
0
1
2
b1+2b3/5
1
0
0
4
0
1
9
5
23
5
0
0
1
2
b2-9b3/5
1
0
0
4
0
1
0
1
0
0
1
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{rrr|r}1&3&5&17\\2&1&1&11\\1&2&3&12\\\end{array}}\\{\text{b2-2b1}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&3&5&17\\0&-5&-9&-23\\1&2&3&12\\\end{array}}\\{\text{b3-b1}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&3&5&17\\0&-5&-9&-23\\0&-1&-2&-5\\\end{array}}\\{\text{-b2/5}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&3&5&17\\0&1&{\frac {9}{5}}&{\frac {23}{5}}\\0&-1&-2&-5\\\end{array}}\\{\text{b1-3b2}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&0&-{\frac {2}{5}}&{\frac {16}{5}}\\0&1&{\frac {9}{5}}&{\frac {23}{5}}\\0&-1&-2&-5\\\end{array}}\\{\text{b3+b2}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&0&-{\frac {2}{5}}&{\frac {16}{5}}\\0&1&{\frac {9}{5}}&{\frac {23}{5}}\\0&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\\end{array}}\\{\text{-5b3}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&0&-{\frac {2}{5}}&{\frac {16}{5}}\\0&1&{\frac {9}{5}}&{\frac {23}{5}}\\0&0&1&2\\\end{array}}\\{\text{b1+2b3/5}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&4\\0&1&{\frac {9}{5}}&{\frac {23}{5}}\\0&0&1&2\\\end{array}}\\{\text{b2-9b3/5}}\\{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&2\\\end{array}}\\\end{aligned}}}
jadi nilai x, y dan z adalah 4, 1 dan 2.
grafik 
