Soal-Soal Matematika/Persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran

Titik pusat (0,0): $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Titik pusat (h,k): $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}{\text{ atau }}x^{2}+2hx+h^{2}+y^{2}+2ky+k^{2}-r^{2}=0$

dengan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ maka $A=2h,B=2k{\text{ serta }}C=h^{2}+k^{2}-r^{2}$

Persamaan berkas lingkaran

persamaan lingkaran L1 dan L2 melalui komponen (x,y) dapat dirumuskan sebagai berikut: $L1+\lambda L2=0$

Kedudukan dua lingkaran

misalnya lingkaran pertama (L₁) jari-jarinya R dan titik pusat P sedangkan lingkaran dua (L₁) jari-jarinya r dan titik pusat Q.

• L₂ di dalam L₁ dan konsentris (PQ = 0)
• L₂ di dalam L₁ dan tidak konsentris (PQ < R-r)
• L₁ dan L₂ bersinggung di dalam (PQ = R-r)
• L₁ dan L₂ bersinggung di luar (PQ = R+r)
• L₁ dan L₂ saling terpisah (PQ > R+r)
• L₁ dan L₂ saling berpotongan (R-r < PQ < R+r)
• L₁ dan L₂ berpotongan di diameter (PQ = R²-R²)
• L₁ dan L₂ ortognal (PQ = R²+R²)

Jarak (x2,y2) pada persamaan lingkaran

• harus diubah menjadi $(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=R^{2}$
• temukan titik pusat pada persamaan yang tadi dengan (x,y) menentukan jarak yaitu d = ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$
• kalau jarak terdekat maka rumusnya R-d tapi kalau terjauh maka rumusnya R+d

1. tentukan jarak terdekat dan terjauh (3,6) terhadap $x^{2}-6x+y^{2}-8y=0$!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{mencari titik pusat dan nilai R (jari-jari) adalah }}\\x^{2}-6x+y^{2}-8y&=0\\x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16-25&=0\\(x-3)^{2}+(y-4)^{2}&=25\\(x-3)^{2}+(y-4)^{2}&=5^{2}\\{\text{titik pusat adalah (3,4) dan nilai R (jari-jari) adalah 5 }}\\{\text{menentukan jaraknya }}\\d&={\sqrt {(3-3)^{2}+(4-6)^{2}}}\\&={\sqrt {4}}\\&=2\\{\text{jika jarak terdekat maka }}R-d=5-2=3\\{\text{jika jarak terjauh maka }}R+d=5+2=7\\\end{aligned}}$$

Persamaan garis singgung

bergradien $m$ ($y=mx+c$)

Titik pusat (0,0): $y=mx\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}$

Titik pusat (h,k): $(y-k)=m(x-h)\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}$

jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka $m_{2}=m_{1}$

jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka $m_{2}={\frac {-1}{m_{1}}}$

melalui titik $(x_{1},y_{1})$

dengan cara bagi adil

Titik pusat (0,0): $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

Titik pusat (h,k): $(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$ atau
$xx_{1}+yy_{1}+{\frac {1}{2}}Ax+{\frac {1}{2}}Ax_{1}+{\frac {1}{2}}By+{\frac {1}{2}}By_{1}+C=0$

jika titik $(x_{1},y_{1})$ berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).

jika titik $(x_{1},y_{1})$ berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan lingkaran untuk mencari x.

contoh

Umum

1. Tentukan persamaan lingkaran

berpusat (-3,4) dan menyinggung sumbu x

berpusat (-2,-3) dan menyinggung sumbu y

berpusat (-1,1) dan menyinggung 3x-4y+12=0

berpusat (2${\sqrt {2}}$,0) dan menyinggung x-y=0

berpusat (1,-3) dan melalui titik potong x+3y-1=0 dan 2x+y+3=0

berpusat x+y+2=0 dan menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif

Jawaban

$${\begin{aligned}*{\text{titik P (-3,4) dan lingkaran menyinggung sumbu x berarti kuadran II maka jari-jari adalah 4. }}\\(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(x+3)^{2}+(y-4)^{2}&=4^{2}\\x^{2}+6x+9+y^{2}-8y+16&=16\\x^{2}+y^{2}+6x-8y+9&=0\\*{\text{titik P (-2,-3) dan lingkaran menyinggung sumbu y berarti kuadran III maka jari-jari adalah 2. }}\\(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(x+2)^{2}+(y+3)^{2}&=2^{2}\\x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9&=4\\x^{2}+y^{2}+4x-6y+9&=0\\*{\text{cara 1}}\\P(-1,1)\\3x-4y+12&=0\\r&={\frac {|3(-1)+(-4)(1)+12|}{\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}}}}\\&={\frac {5}{5}}\\&=1\\(x+1)^{2}+(y-1)^{2}&=1^{2}\\x^{2}+2x+1+y^{2}-2y+1&=1\\x^{2}+y^{2}+2x-2y+1&=0\\{\text{cara 2}}\\3x-4y+12&=0\\y&={\frac {3}{4}}x+3\\m&={\frac {3}{4}}\\y-k&=m(x-h)\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}\\y-1&={\frac {3}{4}}(x+1)\pm r{\sqrt {1+({\frac {3}{4}})^{2}}}\\y-1&={\frac {3}{4}}x+{\frac {3}{4}}\pm r{\sqrt {\frac {25}{16}}}\\y&={\frac {3}{4}}x+{\frac {7}{4}}\pm r{\frac {5}{4}}\\{\frac {3}{4}}x+3&={\frac {3}{4}}x+{\frac {7}{4}}\pm r{\frac {5}{4}}\\{\frac {5}{4}}&=\pm r{\frac {5}{4}}\\1&=\pm r\\r&=\pm 1\\(x-h)^{2}+(y-k)^{2}&=r^{2}\\(x+1)^{2}+(y-1)^{2}&=1^{2}\\x^{2}+2x+1+y^{2}-2y+1&=1\\x^{2}+y^{2}+2x-2y+1&=0\\*{\text{cara 1}}\\P(2{\sqrt {2}},0)\\x-y&=0\\r&={\frac {|1(2{\sqrt {2}})+(-1)(0)+0|}{\sqrt {1^{2}+(-1)^{2}}}}\\&={\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}\\&=2\\(x-2{\sqrt {2}})^{2}+y^{2}&=2^{2}\\x^{2}-4{\sqrt {2}}x+8+y^{2}&=4\\x^{2}+y^{2}-4{\sqrt {2}}x+4&=0\\{\text{cara 2}}\\x-y&=0\\y&=x\\m&=1\\y-k&=m(x-h)\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}\\y-0&=1(x-2{\sqrt {2}})\pm r{\sqrt {1+1^{2}}}\\y&=x-2{\sqrt {2}}\pm r{\sqrt {2}}\\x&=x-2{\sqrt {2}}\pm r{\sqrt {2}}\\2{\sqrt {2}}&=\pm r{\sqrt {2}}\\2&=\pm r\\r&=\pm 2\\(x-2{\sqrt {2}})^{2}+y^{2}&=2^{2}\\x^{2}-4{\sqrt {2}}x+8+y^{2}&=4\\x^{2}+y^{2}-4{\sqrt {2}}x+4&=0\\*{\text{cari titik potong dari kedua persamaan tersebut }}\\x+3y-1&=0\\x+3y&=1\\2x+y+3&=0\\2x+y&=-3\\{\text{cari x dan y dengan metode substitusi dan eliminasi dan hasilnya adalah }}(-2,1)\\{\text{mencari jari-jari lingkaran tersebut }}\\(x-h)^{2}+(y-k)^{2}&=r^{2}\\(-2-1)^{2}+(1+3)^{2}&=r^{2}\\(-3)^{2}+4^{2}&=r^{2}\\25&=r^{2}\\r&=5\\(x-1)^{2}+(y+3)^{2}&=5^{2}\\x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9&=25\\x^{2}+y^{2}-2x+6y-15&=0\\*{\text{misalkan titik pusat }}(a,b)\\r=|a|&=|b|\\a&=b\\x+y+2&=0\\a+b+2&=0\\b+b+2&=0\\2b&=-2\\b&=-1\\a&=-1\\{\text{titik pusat adalah }}(-1,-1){\text{ serta jari-jari adalah }}1\\(x+1)^{2}+(y+1)^{2}&=1^{2}\\x^{2}+2x+1+y^{2}+2y+1&=1\\x^{2}+y^{2}+2x+2y+1&=0\\\end{aligned}}$$

Titik pusat (0,0)

1. Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 3 terhadap $x^{2}+y^{2}=4$!

jawab:

$x^{2}+y^{2}=4->x^{2}+y^{2}=2^{2}$

$y=mx\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}$

$y=3x\pm 2{\sqrt {1+3^{2}}}$

$y=3x\pm 2{\sqrt {10}}$

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,3) terhadap $x^{2}+y^{2}=10$!

jawab:

$x^{2}+y^{2}-10=0{\text{ maka masukkan lah (1,3) }}1^{2}+3^{2}-10=0=0$ (dalam)

dengan cara bagi adil

$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

$x(1)+y(3)=10$

$x+3y=10$

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,6) terhadap $x^{2}+y^{2}=25$!

jawab:

$x^{2}+y^{2}-25=0{\text{ maka masukkan lah (4,6) }}4^{2}-6^{2}-25=27>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

$x(4)+y(6)=25$

$4x+6y=25$

$y=-{\frac {4}{6}}x+{\frac {25}{6}}$

masukkan lah $x^{2}+y^{2}=25$

$x^{2}+(-{\frac {4}{6}}x+{\frac {25}{6}})^{2}=25$

$x^{2}+{\frac {16}{36}}x^{2}-{\frac {200}{36}}x+{\frac {256}{36}}-25=0$

${\frac {52}{36}}x^{2}-{\frac {200}{36}}x-{\frac {644}{36}}=0$ (dikalikan 9)

$13x^{2}-50x-161=0$

maka kita mencari nilai x

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x={\frac {50\pm {\sqrt {2.500+8.372}}}{26}}$

$x={\frac {50\pm {\sqrt {10.872}}}{26}}$

$x={\frac {50\pm 6{\sqrt {302}}}{26}}$ (dibagi 2)

$x={\frac {25\pm 3{\sqrt {302}}}{13}}$

$x_{1}={\frac {25+3{\sqrt {302}}}{13}}$ atau $x_{2}={\frac {25-3{\sqrt {302}}}{13}}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_{1}$

$y_{1}=-{\frac {4}{6}}({\frac {25+3{\sqrt {302}}}{13}})+{\frac {25}{6}}$

$y_{1}={\frac {-100-12{\sqrt {302}}+325}{78}}$

$y_{1}={\frac {225-12{\sqrt {302}}}{78}}$

jadi $({\frac {25+3{\sqrt {302}}}{13}},{\frac {225-12{\sqrt {302}}}{78}})$

untuk $x_{2}$

$y_{2}=-{\frac {4}{6}}({\frac {25-3{\sqrt {302}}}{13}})+{\frac {25}{6}}$

$y_{2}={\frac {-100+12{\sqrt {302}}+325}{78}}$

$y_{2}={\frac {225+12{\sqrt {302}}}{78}}$

jadi $({\frac {25-3{\sqrt {302}}}{13}},{\frac {225+12{\sqrt {302}}}{78}})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

$x({\frac {25+3{\sqrt {302}}}{13}})+y({\frac {225-12{\sqrt {302}}}{78}})=25$ (dikalikan 78)

$x(6(25+3{\sqrt {302}}))+y(225-12{\sqrt {302}})=1.950$

$(150+18{\sqrt {302}})x+(225-12{\sqrt {302}})y=1.950$

untuk persamaan singgung kedua

$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

$x({\frac {25-3{\sqrt {302}}}{13}})+y({\frac {225+12{\sqrt {302}}}{78}})=25$ (dikalikan 78)

$x(6(25-3{\sqrt {302}}))+y(225+12{\sqrt {302}})=1.950$

$(150-18{\sqrt {302}})x+(225+12{\sqrt {302}})y=1.950$

Titik pusat (h,k)

1. Tentukan persamaan garis singgung $x^{2}-2x+y^{2}+4y-11=0$ melalui persamaan yang sejajar $4y-2x+7=0$!

jawab:

$x^{2}-2x+y^{2}+4y-11=0->(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4^{2}$

cari gradien dari persamaan $4y-2x+7=0$:

$4y-2x+7=0$

$y={\frac {1}{2}}x-{\frac {7}{2}}$

gradien $(m_{1})={\frac {1}{2}}$ karena karena sejajar menjadi $(m_{2})={\frac {1}{2}}$

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}$

$y+2={\frac {1}{2}}(x-1)\pm 4{\sqrt {1+({\frac {1}{2}})^{2}}}$

$y+2={\frac {1}{2}}(x-1)\pm 4{\sqrt {1+{\frac {1}{4}}}}$

$y={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}\pm 2{\sqrt {5}}$

$y={\frac {1}{2}}x-({\frac {5}{2}}\mp 2{\sqrt {5}})$

1. Tentukan persamaan garis singgung $x^{2}-6x+y^{2}+2y-3=0$ yang berordinat 1!

jawab:

cari x pada persamaan $x^{2}-6x+y^{2}+2y-3=0$

$x^{2}-6x+y^{2}+2y-3=0$

$x^{2}-6x+1^{2}+2(1)-3=0$

$x^{2}-6x=0$

$x(x-6)=0$

$x=0{\text{ atau }}x=6$

$x^{2}-6x+y^{2}+2y-3=0->(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=({\sqrt {13}})^{2}$

untuk (0,1)

dengan cara bagi adil

$(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$

$(x-3)(0-3)+(y+1)(1+1)=13$

$(x-3)(-3)+(y+1)(2)=13$

$-3x+9+2y+2=13$

$-3x+2y=2$

$y={\frac {3}{2}}x+1$

untuk (6,1)

dengan cara bagi adil

$(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$

$(x-3)(6-3)+(y+1)(1+1)=13$

$(x-3)(3)+(y+1)(2)=13$

$3x-9+2y+2=13$

$3x+2y=20$

$y=-{\frac {3}{2}}x+10$

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,2) terhadap $x^{2}-2x+y^{2}-2y-7=0$!

jawab:

$x^{2}-2x+y^{2}-2y-7=0{\text{ maka masukkan lah (4,2) }}4^{2}-2(4)+2^{2}-2(2)-7=1>0$ (luar)

$x^{2}-2x+y^{2}-2y-7=0->(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=3^{2}$

dengan cara bagi adil

$(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$

$(x-1)(4-1)+(y-1)(2-1)=9$

$(x-1)3+y-1=9$

$3x-3+y-1=9$

$3x+y=13$

$y=-3x+13$

masukkan lah $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=9$

$(x-1)^{2}+(-3x+13-1)^{2}=9$

$(x-1)^{2}+(-3x+12)^{2}-9=0$

$x^{2}-2x+1+9x^{2}-72x+144-9=0$

$10x^{2}-74x+136=0$ (dibagi 2)

$5x^{2}-37x+68=0$

maka kita mencari nilai x

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x={\frac {37\pm {\sqrt {1.369-1.360}}}{10}}$

$x={\frac {37\pm {\sqrt {9}}}{10}}$

$x={\frac {37\pm 3}{10}}$

$x_{1}={\frac {37+3}{10}}=4$ atau $x_{2}={\frac {37-3}{10}}={\frac {34}{10}}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_{1}$

$y_{1}=-3x+13$

$y_{1}=-3(4)+13$

$y_{1}=1$

jadi $(4,1)$

untuk $x_{2}$

$y_{2}=-3x+13$

$y_{2}=-3({\frac {34}{10}})+13$

$y_{2}={\frac {-102+130}{10}}$

$y_{2}={\frac {28}{10}}$

jadi $({\frac {34}{10}},{\frac {28}{10}})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$

$(x-1)(4-1)+(y-1)(1-1)=9$

$3x-3=9$

$3x=12$

$x=4$

untuk persamaan singgung kedua

$(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$

$(x-1)({\frac {34}{10}}-1)+(y-1)({\frac {28}{10}}-1)=9$

$(x-1){\frac {24}{10}}+(y-1){\frac {18}{10}}=9$

${\frac {24}{10}}x-{\frac {24}{10}}+{\frac {18}{10}}y-{\frac {18}{10}}=9$

${\frac {24}{10}}x+{\frac {18}{10}}y={\frac {132}{10}}$ (dikalikan 10/6)

$4x+3y=22$