Soal-Soal Matematika/Persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran

Titik pusat (0,0): $x^2+y^2=r^2$

Titik pusat (h,k): $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2\text{ atau }{x}^2+2hx+h^2+y^2+2ky+k^2-r^2=0$

dengan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka $A=2h,B=2k\text{ serta }C=h^2+k^2-r^2$

Berkas persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran L1 dan L2 melalui komponen (x,y) dapat dirumuskan sebagai berikut: $L1+\lambda L2=0$

Kedudukan dua lingkaran

misalnya lingkaran pertama (L₁) jari-jarinya R dan titik pusat P sedangkan lingkaran dua (L₁) jari-jarinya r dan titik pusat Q.

• L₂ di dalam L₁ dan konsentris (PQ = 0)
• L₂ di dalam L₁ dan tidak konsentris (PQ < R-r)
• L₁ dan L₂ bersinggung di dalam (PQ = R-r)
• L₁ dan L₂ bersinggung di luar (PQ = R+r)
• L₁ dan L₂ saling terpisah (PQ > R+r)
• L₁ dan L₂ saling berpotongan (R-r < PQ < R+r)
• L₁ dan L₂ berpotongan di diameter (PQ = R²-R²)
• L₁ dan L₂ ortognal (PQ = R²+R²)

Jarak (x2,y2) pada persamaan lingkaran

• harus diubah menjadi $(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=R^2$
• temukan titik pusat pada persamaan yang tadi dengan (x,y) menentukan jarak yaitu d = $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
• kalau jarak terdekat maka rumusnya R-d tapi kalau terjauh maka rumusnya R+d

1. tentukan jarak terdekat dan terjauh (3,6) terhadap $x^2-6x+y^2-8y=0$!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{mencari titik pusat dan nilai R (jari-jari) adalah }\\ x^2-6x+y^2-8y& =0\\ x^2-6x+9+y^2-8y+16-25& =0\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =25\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =5^2\\ \text{titik pusat adalah (3,4) dan nilai R (jari-jari) adalah 5 }\\ \text{menentukan jaraknya }\\ d& =\sqrt{(3-3{)}^2+(4-6{)}^2}\\ & =\sqrt{4}\\ & =2\\ \text{jika jarak terdekat maka }R-d=5-2=3\\ \text{jika jarak terjauh maka }R+d=5+2=7\\ \end{array}$$

Persamaan garis singgung

bergradien $m$ ($y=mx+c$)

Titik pusat (0,0): $y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$

Titik pusat (h,k): $(y-k)=m(x-h)\pm r\sqrt{1+m^2}$

jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka $m_2=m_1$

jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka $m_2=\frac{-1}{m_1}$

melalui titik $(x_1,y_1)$

dengan cara bagi adil

Titik pusat (0,0): $x{x}_1+y{y}_1=r^2$

Titik pusat (h,k): $(x-h)(x_1-h)+(y-k)(y_1-k)=r^2$ atau
$x{x}_1+y{y}_1+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}A{x}_1+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}B{y}_1+C=0$

jika titik $(x_1,y_1)$ berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).

jika titik $(x_1,y_1)$ berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan lingkaran untuk mencari x.

contoh

Umum

1. Tentukan persamaan lingkaran

berpusat (-3,4) dan menyinggung sumbu x

berpusat (-2,-3) dan menyinggung sumbu y

berpusat (-1,1) dan menyinggung 3x-4y+12=0

berpusat (2$\sqrt{2}$,0) dan menyinggung x-y=0

berpusat (1,-3) dan melalui titik potong x+3y-1=0 dan 2x+y+3=0

berpusat x+y+2=0 dan menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast \text{titik P (-3,4) dan lingkaran menyinggung sumbu x berarti kuadran II maka jari-jari adalah 4. }\\ (x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x+3{)}^2+(y-4{)}^2& =4^2\\ x^2+6x+9+y^2-8y+16& =16\\ x^2+y^2+6x-8y+9& =0\\ \ast \text{titik P (-2,-3) dan lingkaran menyinggung sumbu y berarti kuadran III maka jari-jari adalah 2. }\\ (x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x+2{)}^2+(y+3{)}^2& =2^2\\ x^2+4x+4+y^2-6y+9& =4\\ x^2+y^2+4x-6y+9& =0\\ \ast \text{cara 1}\\ P(-1,1)\\ 3x-4y+12& =0\\ r& =\frac{|3(-1)+(-4)(1)+12|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\\ & =\frac{5}{5}\\ & =1\\ (x+1{)}^2+(y-1{)}^2& =1^2\\ x^2+2x+1+y^2-2y+1& =1\\ x^2+y^2+2x-2y+1& =0\\ \text{cara 2}\\ 3x-4y+12& =0\\ y& =\frac{3}{4}x+3\\ m& =\frac{3}{4}\\ y-k& =m(x-h)\pm r\sqrt{1+m^2}\\ y-1& =\frac{3}{4}(x+1)\pm r\sqrt{1+(\frac{3}{4}{)}^2}\\ y-1& =\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\pm r\sqrt{\frac{25}{16}}\\ y& =\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\pm r\frac{5}{4}\\ \frac{3}{4}x+3& =\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\pm r\frac{5}{4}\\ \frac{5}{4}& =\pm r\frac{5}{4}\\ 1& =\pm r\\ r& =\pm 1\\ (x-h{)}^2+(y-k{)}^2& =r^2\\ (x+1{)}^2+(y-1{)}^2& =1^2\\ x^2+2x+1+y^2-2y+1& =1\\ x^2+y^2+2x-2y+1& =0\\ \ast \text{cara 1}\\ P(2\sqrt{2},0)\\ x-y& =0\\ r& =\frac{|1(2\sqrt{2})+(-1)(0)+0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ & =2\\ (x-2\sqrt{2}{)}^2+y^2& =2^2\\ x^2-4\sqrt{2}x+8+y^2& =4\\ x^2+y^2-4\sqrt{2}x+4& =0\\ \text{cara 2}\\ x-y& =0\\ y& =x\\ m& =1\\ y-k& =m(x-h)\pm r\sqrt{1+m^2}\\ y-0& =1(x-2\sqrt{2})\pm r\sqrt{1+1^2}\\ y& =x-2\sqrt{2}\pm r\sqrt{2}\\ x& =x-2\sqrt{2}\pm r\sqrt{2}\\ 2\sqrt{2}& =\pm r\sqrt{2}\\ 2& =\pm r\\ r& =\pm 2\\ (x-2\sqrt{2}{)}^2+y^2& =2^2\\ x^2-4\sqrt{2}x+8+y^2& =4\\ x^2+y^2-4\sqrt{2}x+4& =0\\ \ast \text{cari titik potong dari kedua persamaan tersebut }\\ x+3y-1& =0\\ x+3y& =1\\ 2x+y+3& =0\\ 2x+y& =-3\\ \text{cari x dan y dengan metode substitusi dan eliminasi dan hasilnya adalah }(-2,1)\\ \text{mencari jari-jari lingkaran tersebut }\\ (x-h{)}^2+(y-k{)}^2& =r^2\\ (-2-1{)}^2+(1+3{)}^2& =r^2\\ (-3{)}^2+4^2& =r^2\\ 25& =r^2\\ r& =5\\ (x-1{)}^2+(y+3{)}^2& =5^2\\ x^2-2x+1+y^2+6y+9& =25\\ x^2+y^2-2x+6y-15& =0\\ \ast \text{misalkan titik pusat }(a,b)\\ r=|a|& =|b|\\ a& =b\\ x+y+2& =0\\ a+b+2& =0\\ b+b+2& =0\\ 2b& =-2\\ b& =-1\\ a& =-1\\ \text{titik pusat adalah }(-1,-1)\text{ serta jari-jari adalah }1\\ (x+1{)}^2+(y+1{)}^2& =1^2\\ x^2+2x+1+y^2+2y+1& =1\\ x^2+y^2+2x+2y+1& =0\\ \end{array}$$

Titik pusat (0,0)

1. Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 3 terhadap $x^2+y^2=4$!

jawab:

$x^2+y^2=4->x^2+y^2=2^2$

$y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$

$y=3x\pm 2\sqrt{1+3^2}$

$y=3x\pm 2\sqrt{10}$

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,3) terhadap $x^2+y^2=10$!

jawab:

$x^2+y^2-10=0\text{ maka masukkan lah (1,3) }{1}^2+3^2-10=0=0$ (dalam)

dengan cara bagi adil

$x{x}_1+y{y}_1=r^2$

$x(1)+y(3)=10$

$x+3y=10$

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,6) terhadap $x^2+y^2=25$!

jawab:

$x^2+y^2-25=0\text{ maka masukkan lah (4,6) }{4}^2-6^2-25=27>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$x{x}_1+y{y}_1=r^2$

$x(4)+y(6)=25$

$4x+6y=25$

$y=-\frac{4}{6}x+\frac{25}{6}$

masukkan lah $x^2+y^2=25$

$x^2+(-\frac{4}{6}x+\frac{25}{6}{)}^2=25$

$x^2+\frac{16}{36}{x}^2-\frac{200}{36}x+\frac{256}{36}-25=0$

$\frac{52}{36}{x}^2-\frac{200}{36}x-\frac{644}{36}=0$ (dikalikan 9)

$13x^2-50x-161=0$

maka kita mencari nilai x

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{50\pm \sqrt{2.500+8.372}}{26}$

$x=\frac{50\pm \sqrt{10.872}}{26}$

$x=\frac{50\pm 6\sqrt{302}}{26}$ (dibagi 2)

$x=\frac{25\pm 3\sqrt{302}}{13}$

$x_1=\frac{25+3\sqrt{302}}{13}$ atau $x_2=\frac{25-3\sqrt{302}}{13}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_1$

$y_1=-\frac{4}{6}(\frac{25+3\sqrt{302}}{13})+\frac{25}{6}$

$y_1=\frac{-100-12\sqrt{302}+325}{78}$

$y_1=\frac{225-12\sqrt{302}}{78}$

jadi $(\frac{25+3\sqrt{302}}{13},\frac{225-12\sqrt{302}}{78})$

untuk $x_2$

$y_2=-\frac{4}{6}(\frac{25-3\sqrt{302}}{13})+\frac{25}{6}$

$y_2=\frac{-100+12\sqrt{302}+325}{78}$

$y_2=\frac{225+12\sqrt{302}}{78}$

jadi $(\frac{25-3\sqrt{302}}{13},\frac{225+12\sqrt{302}}{78})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$x{x}_1+y{y}_1=r^2$

$x(\frac{25+3\sqrt{302}}{13})+y(\frac{225-12\sqrt{302}}{78})=25$ (dikalikan 78)

$x(6(25+3\sqrt{302}))+y(225-12\sqrt{302})=1.950$

$(150+18\sqrt{302})x+(225-12\sqrt{302})y=1.950$

untuk persamaan singgung kedua

$x{x}_1+y{y}_1=r^2$

$x(\frac{25-3\sqrt{302}}{13})+y(\frac{225+12\sqrt{302}}{78})=25$ (dikalikan 78)

$x(6(25-3\sqrt{302}))+y(225+12\sqrt{302})=1.950$

$(150-18\sqrt{302})x+(225+12\sqrt{302})y=1.950$

Titik pusat (h,k)

1. Tentukan persamaan garis singgung $x^2-2x+y^2+4y-11=0$ melalui persamaan yang sejajar $4y-2x+7=0$!

jawab:

$x^2-2x+y^2+4y-11=0->(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4^2$

cari gradien dari persamaan $4y-2x+7=0$:

$4y-2x+7=0$

$y=\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}$

gradien $(m_1)=\frac{1}{2}$ karena karena sejajar menjadi $(m_2)=\frac{1}{2}$

$y-y_1=m(x-x_1)\pm r\sqrt{1+m^2}$

$y+2=\frac{1}{2}(x-1)\pm 4\sqrt{1+(\frac{1}{2}{)}^2}$

$y+2=\frac{1}{2}(x-1)\pm 4\sqrt{1+\frac{1}{4}}$

$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\pm 2\sqrt{5}$

$y=\frac{1}{2}x-(\frac{5}{2}\mp 2\sqrt{5})$

1. Tentukan persamaan garis singgung $x^2-6x+y^2+2y-3=0$ yang berordinat 1!

jawab:

cari x pada persamaan $x^2-6x+y^2+2y-3=0$

$x^2-6x+y^2+2y-3=0$

$x^2-6x+1^2+2(1)-3=0$

$x^2-6x=0$

$x(x-6)=0$

$x=0\text{ atau }x=6$

$x^2-6x+y^2+2y-3=0->(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=(\sqrt{13}{)}^2$

untuk (0,1)

dengan cara bagi adil

$(x-h)(x_1-h)+(y-k)(y_1-k)=r^2$

$(x-3)(0-3)+(y+1)(1+1)=13$

$(x-3)(-3)+(y+1)(2)=13$

$-3x+9+2y+2=13$

$-3x+2y=2$

$y=\frac{3}{2}x+1$

untuk (6,1)

dengan cara bagi adil

$(x-h)(x_1-h)+(y-k)(y_1-k)=r^2$

$(x-3)(6-3)+(y+1)(1+1)=13$

$(x-3)(3)+(y+1)(2)=13$

$3x-9+2y+2=13$

$3x+2y=20$

$y=-\frac{3}{2}x+10$

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,2) terhadap $x^2-2x+y^2-2y-7=0$!

jawab:

$x^2-2x+y^2-2y-7=0\text{ maka masukkan lah (4,2) }{4}^2-2(4)+2^2-2(2)-7=1>0$ (luar)

$x^2-2x+y^2-2y-7=0->(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=3^2$

dengan cara bagi adil

$(x-h)(x_1-h)+(y-k)(y_1-k)=r^2$

$(x-1)(4-1)+(y-1)(2-1)=9$

$(x-1)3+y-1=9$

$3x-3+y-1=9$

$3x+y=13$

$y=-3x+13$

masukkan lah $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=9$

$(x-1{)}^2+(-3x+13-1{)}^2=9$

$(x-1{)}^2+(-3x+12{)}^2-9=0$

$x^2-2x+1+9x^2-72x+144-9=0$

$10x^2-74x+136=0$ (dibagi 2)

$5x^2-37x+68=0$

maka kita mencari nilai x

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{37\pm \sqrt{1.369-1.360}}{10}$

$x=\frac{37\pm \sqrt{9}}{10}$

$x=\frac{37\pm 3}{10}$

$x_1=\frac{37+3}{10}=4$ atau $x_2=\frac{37-3}{10}=\frac{34}{10}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_1$

$y_1=-3x+13$

$y_1=-3(4)+13$

$y_1=1$

jadi $(4,1)$

untuk $x_2$

$y_2=-3x+13$

$y_2=-3(\frac{34}{10})+13$

$y_2=\frac{-102+130}{10}$

$y_2=\frac{28}{10}$

jadi $(\frac{34}{10},\frac{28}{10})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$(x-h)(x_1-h)+(y-k)(y_1-k)=r^2$

$(x-1)(4-1)+(y-1)(1-1)=9$

$3x-3=9$

$3x=12$

$x=4$

untuk persamaan singgung kedua

$(x-h)(x_1-h)+(y-k)(y_1-k)=r^2$

$(x-1)(\frac{34}{10}-1)+(y-1)(\frac{28}{10}-1)=9$

$(x-1)\frac{24}{10}+(y-1)\frac{18}{10}=9$

$\frac{24}{10}x-\frac{24}{10}+\frac{18}{10}y-\frac{18}{10}=9$

$\frac{24}{10}x+\frac{18}{10}y=\frac{132}{10}$ (dikalikan 10/6)

$4x+3y=22$