Soal-Soal Matematika/Pertumbuhan dan peluruhan

Pertumbuhan

linier

$P_{n}=P_{o}(1+in)$

eksponensial

$P_{n}=P_{o}(1+i)^{n}$

keterangan:

1. Pn = nilai besaran setelah n periode
2. Po = nilai besaran di awal periode
3. i = tingkat pertumbuhan
4. n = banyaknya periode pertumbuhan

contoh penjabaran:

• linier:

Jawaban

$${\begin{aligned}0&=2000\\1&=2000+2000\times 0,02=2000+40=2040\\2&=2000+2000\times 0,02\times 2=2000+80=2080\\3&=2000+2000\times 0,02\times 3=2000+120=2120\\n&=2000+2000\times 0,02\times n=2000(1+0,02n)\\n&=a(1+in)\\\end{aligned}}$$

• eksponensial:

Jawaban

$${\begin{aligned}0&=300\\1&=300+300\times 0,02=300+6=306\\2&=306+306\times 0,02=306+6,12=312,12\\3&=312,12+312,12\times 0,02=312,12+6,2424=318,3624\\n&=\\n&=a(1+i)^{n}\\\end{aligned}}$$

contoh

1. Jumlah penderita suatu jenis penyakit langka berkembang pesat 5% dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 tercatat ada jumlah 30 orang penderita maka berapa jumlah orang penderita pada tahun 2025?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=30\\i&=0,05\\n&=2025-2021=4\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n}\\P_{5}&=30(1+0,05)^{4}\\&=30(1,05)^{4}\\&=36,4651\\&=37\\\end{aligned}}$$

Jadi jumlah penderita pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 37 orang.

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=30\\i&=0,05\\n&=2025-2021=4+1=5\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n-1}\\P_{5}&=30(1+0,05)^{5-1}\\&=30(1+0,05)^{4}\\&=30(1,05)^{4}\\&=36,4651\\&=37\\\end{aligned}}$$

Jadi jumlah penderita pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 37 orang.

1. Penduduk di suatu kota X mencapai 2 juta jiwa pada tahun

2020. Bila jumlah penduduk meningkat dengan laju 2% per tahun, maka berapa banyaknya penduduk di kota tersebut pada tahun 2025?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=2.000.000\\i&=0,02\\n&=2025-2020=5\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n}\\P_{5}&=2.000.000(1+0,02)^{5}\\&=2.000.000(1,02)^{5}\\&=2.208.162\\\end{aligned}}$$

Jadi penduduk di kota X pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 2.208.162 jiwa.

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=2.000.000\\i&=0,02\\n&=2025-2020=5+1=6\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n-1}\\P_{6}&=2.000.000(1+0,02)^{6-1}\\&=2.000.000(1+0,02)^{5}\\&=2.000.000(1,02)^{5}\\&=2.208.162\\\end{aligned}}$$

Jadi penduduk di kota X pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 2.208.162 jiwa.

1. Diketahui tingkat pertumbuhan penduduk di suatu daerah adalah 10% per tahun. Berapa kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 3 tahun?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}i&=0,01\\n&=4\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n}\\P_{4}&=P_{o}(1+0,01)^{4}\\&=P_{o}(1,01)^{4}\\&=P_{o}(1,4641)\\&=P_{o}(1+0,4641)\\&=P_{o}(1,4641)\\{\text{kenaikan penduduk }}&=P_{4}-P_{1}\\&=1,4641P_{o}-P_{o}\\&=0,4641P_{o}\\{\text{persentase kenaikan penduduk }}&=0,4641\times 100=46,41\end{aligned}}$$

Jadi kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun adalah 46,41%.

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}i&=0,01\\n&=4\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n-1}\\P_{5}&=P_{o}(1+0,01)^{5-1}\\&=P_{o}(1+0,01)^{4}\\&=P_{o}(1,01)^{4}\\&=P_{o}(1,4641)\\&=P_{o}(1+0,4641)\\&=P_{o}(1,4641)\\{\text{kenaikan penduduk }}&=P_{5}-P_{1}\\&=1,4641P_{o}-P_{o}\\&=0,4641P_{o}\\{\text{persentase kenaikan penduduk }}&=0,4641\times 100=46,41\end{aligned}}$$

Jadi kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun adalah 46,41%.

Peluruhan

linier

$P_{n}=P_{o}(1-in)$

eksponensial

$P_{n}=P_{o}(1-i)^{n}$

keterangan:

1. Pn = nilai besaran setelah n periode
2. Po = nilai besaran di awal periode
3. i = tingkat peluruhan
4. n = banyaknya periode peluruhan

• khusus zat radioaktif

yaitu $N=N_{o}({\frac {1}{2}})^{n}$ dengan $n={\frac {T}{t}}$

keterangan:

1. N = banyaknya zat radioaktif yang tersisa
2. No = banyaknya zat radioaktif mula-mula
3. T = lamanya peluruhan
4. t = waktu paruh

contoh penjabaran:

• linier:

Jawaban

$${\begin{aligned}0&=2000\\1&=2000-2000\times 0,02=2000-40=1960\\2&=2000-2000\times 0,02\times 2=2000-80=1920\\3&=2000-2000\times 0,02\times 3=2000-120=1880\\n&=2000-2000\times 0,02\times n=2000(1-0,02n)\\n&=a(1-in)\\\end{aligned}}$$

• eksponensial:

Jawaban

$${\begin{aligned}0&=300\\1&=300-300\times 0,02=300-6=294\\2&=294-294\times 0,02=294-5,88=288,12\\3&=288,12-288,12\times 0,02=288,12-5,7624=282,3576\\n&=\\n&=a(1-i)^{n}\\\end{aligned}}$$

contoh

1. Menurut data statistik, setiap tahun area sawah di suatu provinsi semakin berkurang 5% dari area semula. Pada tahun 2020 total area sawah adalah 400 hektar maka berapa total area sawah pada tahun 2025?

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=400\\i&=0,05\\n&=2025-2020=5\\P_{n}&=P_{o}(1-i)^{n}\\P_{5}&=400(1-0,05)^{5}\\&=400(0,95)^{5}\\&=309,5123\\&=310\\\end{aligned}}$$

Jadi total area sawah pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 310 hektar.

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=400\\i&=0,05\\n&=2025-2020=5+1=6\\P_{n}&=P_{o}(1+i)^{n-1}\\P_{6}&=400(1-0,05)^{6-1}\\&=400(1-0,05)^{5}\\&=400(1,05)^{5}\\&=309,5123\\&=310\\\end{aligned}}$$

Jadi total area sawah pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 310 hektar.

1. Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter spesialis THT (Telinga, Hidung, dan Tenggorokan) mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 unit bakteri yang menginfeksi. Pemberian penisilin yang diresepkan dokter diperkirakan dapat membunuh 5% dari jumlah bakteri yang ada setiap 4 jam. Berapa jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa?

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{o}&=1.000.000\\i&=0,05\\n&={\frac {12}{4}}=3\\P_{n}&=P_{o}(1-i)^{n}\\P_{3}&=1.000.000(1-0,05)^{3}\\&=1.000.000(0,95)^{3}\\&=857.375\\\end{aligned}}$$

Jadi jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa 857.375 unit.

1. Suatu radioaktif mineral meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 8% setiap jam. Berapa persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam?

Jawaban

$${\begin{aligned}i&=0,08\\n&=3\\P_{n}&=P_{o}(1-i)^{n}\\P_{3}&=P_{o}(1-0,08)^{3}\\&=P_{o}(0,92)^{3}\\&=P_{o}(0,7787)\\\end{aligned}}$$

Jadi persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam adalah 77,87%.

1. Suatu zat radioaktif dengan massa 200 gram memiliki waktu paruh 5 tahun. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram?

Jawaban

$${\begin{aligned}N_{o}&=200\\N&=3,125\\t&=5\\N&=N_{o}({\frac {1}{2}})^{n}\\3,125&=200({\frac {1}{2}})^{n}\\{\frac {3,125}{200}}&=({\frac {1}{2}})^{n}\\{\frac {1}{64}}&=({\frac {1}{2}})^{n}\\({\frac {1}{2}})^{6}&=({\frac {1}{2}})^{n}\\n&=6\\T&=nt\\&=6\cdot 5\\&=30\\\end{aligned}}$$

Jadi waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram adalah 30 tahun.

1. Suatu zat radioaktif dengan massa awal memiliki waktu paruh 7 tahun. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi seperdelapan dari massa awal?

Jawaban

$${\begin{aligned}N_{o}&=N_{o}\\N&={\frac {1}{8}}N_{o}\\t&=7\\N&=N_{o}({\frac {1}{2}})^{n}\\{\frac {1}{8}}N_{o}&=N_{o}({\frac {1}{2}})^{n}\\{\frac {1}{8}}&=({\frac {1}{2}})^{n}\\({\frac {1}{2}})^{3}&=({\frac {1}{2}})^{n}\\n&=3\\T&=nt\\&=3\cdot 7\\&=21\\\end{aligned}}$$

Jadi waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi seperdelapan dari massa awal adalah 21 tahun.

1. Misalkan untuk setiap meter masuk ke bawah permukaan laut, maka intensitas cahaya berkurang sekitar 4%. Jika intensitas cahayanya tinggal 60% dari intensitas cahaya di permukaan air laut maka berapa kedalaman di lautnya?

Jawaban

$${\begin{aligned}I_{o}&=I_{o}\\I&=0,6I_{o}\\i&=0,04\\I&=I_{o}(1-i)^{n}\\0,6I_{o}&=I_{o}(1-0,04)^{n}\\0,6&=(0,96)^{n}\\log0,6&=log(0,96)^{n}\\log0,6&=n(log0,96)\\n&={\frac {log0,6}{log0,96}}\\&={\frac {-0,2218}{-0,017}}\\&=13.02\\&=13{\text{ m }}\\\end{aligned}}$$