Soal-Soal Matematika/Polinomial

Rumus

• $f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$
• ${\text{ Yang dibagi (YD) = Pembagi (P) x Hasil bagi (HB) + Sisa (S) }}$

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:

• Metode pembagian bersusun
• Metode horner

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari $x^{2}+3x-6$ dibagi x - 4!

• Metode pembagian bersusun

Jawaban

$${\begin{aligned}&x+7\\&x-4|x^{2}+3x-6\\&x^{2}-4x\\&7x-6\\&7x-28\\&22\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

• Metode horner

Jawaban

$${\begin{aligned}&4&|&1&3&-6\\&&0&4&28\\&&1&7&22\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

Teorema

Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

Teorema sisa

1. Berapa sisa dari $x^{2}+3x-6$ dibagi x - 4!

f(4) = 4² + 3(4) - 6 = 16 + 12 - 6 = 22

2. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=x^{2}-5x+6+ax+b$

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-2x)+2x+1$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-2)+1$

f(0) = 1

Bila x = 2 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(2)=P(x)\cdot 2(0)+5$

f(2) = 5

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-3x)+5x+2$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-3)+2$

f(0) = 2

Bila x = 3 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(3)=P(x)\cdot 3(0)+17$

f(3) = 17

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(3)=(3-2)(3-3)+3a+b$

$f(3)=1(0)+3a+b$

$17=1(0)+3a+b$

$3a+b=17$ .... (1)

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(2)=(2-2)(2-3)+2a+b$

$f(2)=0(-1)+2a+b$

$5=0(-1)+2a+b$

$2a+b=5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.

Jadi sisanya adalah 12x-19.

3. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=x^{2}+x-2+ax+b$

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(x+1)=P(x)\cdot (x^{2}+2x)+2x-5$

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

Bila x = 0 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(1)=P(x)\cdot 0(2)-5$

f(1) = -5

Bila x = -2 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(-1)=P(x)\cdot -2(0)-9$

f(-1) = -9

$f(x-1)=P(x)\cdot (x^{2}+x)+x-9$

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

Bila x = 0 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

$f(-1)=P(x)\cdot 0(1)-9$

f(-1) = -9

Bila x = -1 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x-1)+x-9$

$f(-2)=P(x)\cdot -1(0)-10$

f(-2) = -10

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(-2)=(-2+2)(-2-1)-2a+b$

$f(-2)=0(-3)-2a+b$

$-10=0(-3)-2a+b$

$-2a+b=-10$ .... (1)

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(1)=(1+2)(1-1)+a+b$

$f(1)=3(0)+a+b$

$-5=3(0)+a+b$

$a+b=-5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

Teorema faktor

1. Salah satu faktor dari $x^{3}+4x^{2}-11x-30$ adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

Jawaban

$${\begin{aligned}&3&|&1&4&-11&-30\\&&0&3&21&30\\&&1&7&10&0\\&x^{2}+7x+10=0\\&(x+2)(x+5)=0\\&x=-2\lor x=-5\\\end{aligned}}$$