Soal-Soal Matematika/Polinomial

Rumus

• $F(x)=H(x)\cdot P(x)+s(x)$
• ${\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }}$

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:

• Metode pembagian bersusun
• Metode sintetik (horner)
• Koefisien tak tentu

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari $x^{2}+3x-6$ dibagi x-4!

• Metode pembagian bersusun

x-4	x2+3x-6	x-7
	x2-4x
	7x-6
	7x-28
	22

Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22

• Metode sintetik (horner)

4	1	3	-6
	0	4	28
	1	7	22

Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22

• Koefisien tak tentu

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 2 dan P(x) berderajat 1, maka

H(x) berderajat 2 – 1 = 1

S(x) berderajat 1 – 1 = 0

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{2}+3x-6&=(x-4)(ax+b)+c\\&=ax^{2}-4ax+bx-4b+c\\&=ax^{2}+(-4a+b)x-(4b-c)\\a&=1\\-4a+b&=3\\-4(1)+b&=3\\-4+b&=3\\b&=7\\6&=4b-c\\&=4(7)-c\\&=28-c\\c&=-22\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22

2. Berapa hasil bagi dan sisa dari $3x^{3}-10x^{2}-7x+80$ dibagi $x^{2}-5x+6$!

• Metode pembagian bersusun

x2-5x+6	3x3-10x2-7x+80	3x+5
	3x3-15x2+18x
	5x2-25x+80
	5x2-25x+30
	50

Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50

• Metode sintetik (horner)

cara 1

x²-5x+6 menjadi 5 dan -6

	3	-10	-7	80
5	0	15	25	0
-6	0	0	-18	-3@
	3	5	0	50

Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50

cara 2

x²-5x+6 = (x-2)(x-3)

2	3	-10	-7	80
	0	6	-8	-30
3	3	-4	-15	50
	0	9	15	50
	3	5	0

Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(2)+50 = 50

cara 3

x²-5x+6 = (x-2)(x-3)

3	3	-10	-7	80
	0	9	-3	-30
2	3	-1	-10	50
	0	6	10	50
	3	5	0

Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(3)+50 = 50

• Koefisien tak tentu

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 2 = 0

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

Jawaban

$${\begin{aligned}3x^{3}-10x^{2}-7x+80&=(x^{2}-5x+6)(ax+b)+c\\&=ax^{3}+bx^{2}-5ax^{2}-5bx+6ax+6b+c\\&=ax^{3}+(b-5a)x^{2}+(-5+6a)x+6b+c\\a&=3\\b-5a&=-10\\b-5(3)&=-10\\b&=5\\6b+c&=80\\6(5)+c&=80\\c&=50\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50

Dalam metode sintetik (horner) jika pembagi tidak dapat difaktorkan maka hanya lihat cara 1.

Dalam metode sintetik (horner) jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut:

I. posisi yang dibagi (YG) tidak berubah maka hasil bagi (HB) harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya dan sisa (S) tetap. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

-3	2	19	33	-26
	0	-6	-39	18
1/2	2	13	-6	-8 (S1)
	0	1	7
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot 1+(-8)=x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

P2: $x+3=0->x=-3$

1/2	2	19	33	-26
	0	1	10	43/2
-3	2	20	43	-9/2 (S1)
	0	-6	-42
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x-{\frac {1}{2}})\cdot 1+(-{\frac {9}{2}})=x-{\frac {10}{2}}=x-5$

II. posisi yang dibagi (YG) dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka hasil bagi (HB) tetap dan sisa (S) harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^{3}+{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {33}{2}}x-13$

-3	1	19/2	33/2	-13
	0	-3	-39/2	9
1/2	1	13/2	-3	-4 (S1)
	0	1/2	7/2
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot {\frac {1}{2}}+(-4)={\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}-4={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

P2: $x+3=0->x=-3$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^{3}+{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {33}{2}}x-13$

1/2	1	19/2	33/2	-13
	0	1/2	5	43/4
-3	1	10	43/2	-9/4 (S1)
	0	-3	-21
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x-{\frac {1}{2}})\cdot {\frac {1}{2}}+(-{\frac {9}{4}})={\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}-{\frac {9}{4}}={\frac {1}{2}}x-{\frac {10}{4}}={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Teorema

Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

Teorema sisa

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah ${\frac {F(a)-F(b)}{a-b}}x+{\frac {aF(b)-bF(a)}{a-b}}$.

1. Berapa sisa dari $x^{2}+3x-6$ dibagi x-4!

f(4) = 4²+3(4)-6 = 16+12-6 = 22

2. Berapa sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

F(x) = H(x) . P(x) + s

2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (2x²+5x-3)+px+q

2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q

F(-3)=2(-3)³+19(-3)²+33(-3)-26=-3p+q

F(-3)=-8=-3p+q

F(1/2)=2(1/2)³+19(1/2)²+33(1/2)-26=1/2p+q

F(1/2)=-18/4=1/2p+q

F(1/2)=-18=2p+4q

kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5.

3. Jika f(x) = x³+ax²+(a+b)x+8b dibagi x-1 bersisa 18 dan dibagi x+1 bersisa 20 maka tentukan

nilai a dan b

nilai akar-akar persamaan itu

Jawaban

$${\begin{aligned}*f(x)&=x^{3}+ax^{2}+(a+b)x+8b\\f(1)&=1+a+a+b+8b=18\\&=2a+9b=17\\f(-1)&=-1+a-(a+b)+8b=20\\&=7b=21\\&=b=3\\2a+9b&=17\\2a+9(3)&=17\\2a&=-10\\a&=-5\\*{\text{diketahui persamaan }}f(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+24\\{\text{menggunakan teorema faktor untuk mengetahui hasil akar-akarnya. lihat konstantanya 24 berarti mungkin }}\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8\\{\text{uji selidiki }}x=3{\text{ jadi }}f(3)=3^{3}-5(3)^{2}-2(3)+24=0\\{\text{berarti benar. kita tinggal gunakan metode horner menghasilkan }}x=-2{\text{ dan }}x=4\\\end{aligned}}$$

4. Jika f(x) = ax³+bx²+(a-b)x+a-3 habis dibagi x²+2 dan dibagi x-2 bersisa 6 maka tentukan nilai a dan b!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{karena }}x^{2}+2{\text{ tidak dapat difaktorkan maka }}\\ax^{3}+bx^{2}+(a-b)x+a-3&=(x^{2}+2)(mx+n)+0\\ax^{3}+bx^{2}+(a-b)x+a-3&=mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n+0\\ax^{3}+bx^{2}+(a-b)x+a-3&=mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n\\a&=m\\b&=n\\a-b&=2m\\a-3&=2n\\a&=2n+3\\f(x)&=ax^{3}+bx^{2}+(a-b)x+a-3\\f(2)&=8a+4b+2(a-b)+a-3=6\\&=11a+2b=9\\&=11(2n+3)+2n=9\\&=22n+33+2n=9\\&=24n=-24\\&=n=-1\\b&=n\\&=-1\\a&=2(-1)+3\\&=1\\\end{aligned}}$$

5. Jika f(x) = ax³-2x²-(a+b)x+b habis dibagi x²+x-1 dan x-b maka tentukan nilai a dan b!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{karena }}x^{2}+x-1{\text{ tidak dapat difaktorkan dam semisalkan k karena memiliki faktor bagian dari x-b maka }}\\ax^{3}-2x^{2}-(a+b)x+b&=k(x^{2}+x-1)(x-b)+0\\ax^{3}-2x^{2}-(a+b)x+b&=(kx^{2}+kx-k)(x-b)+0\\ax^{3}-2x^{2}-(a+b)x+b&=kx^{3}-bkx^{2}+kx^{2}-bkx-kx+kb\\ax^{3}-2x^{2}-(a+b)x+b&=kx^{3}-(b-1)kx^{2}-(b+1)kx+kb\\a&=k\\2&=b-1\\a+b&=b+1\\b&=kb\\1&=k\\a&=k\\&=1\\2&=b-1\\b&=3\\\end{aligned}}$$

6. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x²-3x+2?

f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka:

$f(x)=H(x)\cdot (x-1)+2$

f(1) = 2

f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka:

$f(x)=H(x)\cdot (x-2)+7$

f(2) = 7

g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka:

$g(x)=H(x)\cdot (x-1)+10$

g(1) = 10

g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka:

$g(x)=H(x)\cdot (x-2)+2$

g(2) = 2

Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut:

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$

$h(x)=H(x)\cdot (x^{2}-3x+2)+px+q$

$f(x)\cdot g(x)=H(x)\cdot (x^{2}-3x+2)+px+q$

$f(x)\cdot g(x)=H(x)\cdot (x-1)(x-2)+px+q$

Dengan fungsi di atas, maka berlaku:

untuk x = 1, maka:

2 ▪︎ 10 = 0 + p + q

p + q = 20 .... (1)

untuk x = 2, maka:

7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q

2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​

Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26.

Jadi sisanya adalah -6x+26.

7. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-5x+6)+ax+b$

$f(x)=P(x)\cdot (x-2)(x-3)+ax+b$

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-2x)+2x+1$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-2)+1$

f(0) = 1

Bila x = 2 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(2)=P(x)\cdot 2(0)+5$

f(2) = 5

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-3x)+5x+2$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-3)+2$

f(0) = 2

Bila x = 3 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(3)=P(x)\cdot 3(0)+17$

f(3) = 17

$f(x)=P(x)\cdot (x-2)(x-3)+ax+b$

$f(3)=P(x)\cdot (3-2)(3-3)+3a+b$

$f(3)=P(x)\cdot 1(0)+3a+b$

$17=0+3a+b$

$3a+b=17$ .... (1)

$f(x)=P(x)\cdot (x-2)(x-3)+ax+b$

$f(2)=P(x)\cdot (2-2)(2-3)+2a+b$

$f(2)=P(x)\cdot 0(-1)+2a+b$

$5=0+2a+b$

$2a+b=5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.

Jadi sisanya adalah 12x-19.

8. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}+x-2)+ax+b$

$f(x)=P(x)\cdot (x+2)(x-1)+ax+b$

$f(x+1)=P(x)\cdot (x^{2}+2x)+2x-5$

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

Bila x = 0 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(1)=P(x)\cdot 0(2)-5$

f(1) = -5

Bila x = -2 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(-1)=P(x)\cdot -2(0)-9$

f(-1) = -9

$f(x-1)=P(x)\cdot (x^{2}+x)+x-9$

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

Bila x = 0 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

$f(-1)=P(x)\cdot 0(1)-9$

f(-1) = -9

Bila x = -1 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x-1)+x-9$

$f(-2)=P(x)\cdot -1(0)-10$

f(-2) = -10

$f(x)=P(x)\cdot (x+2)(x-1)+ax+b$

$f(-2)=P(x)\cdot (-2+2)(-2-1)-2a+b$

$f(-2)=P(x)\cdot 0(-3)-2a+b$

$-10=0-2a+b$

$-2a+b=-10$ .... (1)

$f(x)=P(x)\cdot (x+2)(x-1)+ax+b$

$f(1)=P(x)\cdot (1+2)(1-1)+a+b$

$f(1)=P(x)\cdot 3(0)+a+b$

$-5=0+a+b$

$a+b=-5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

9. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12?

Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9.

10. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut?

Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61.

11. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut?

Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74.

Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:

• Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
• Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
• Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:

untuk $x^{3}-2x^{2}-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

untuk $4x^{3}-2x^{2}-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

1. Salah satu faktor dari $x^{3}+4x^{2}-11x-30$ adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

dilihat -30 maka beberapa mungkin faktor sebagai berikut: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 5,\pm 6,\pm 10,\pm 15{\text{ dan }}\pm 30$

3	1	4	-11	-30
	0	3	21	30
	1	7	10	0

x²+7x+10 = 0

(x+2)(x+5) = 0

x = -2 atau x = -5

2. Jika ${\frac {x^{3}+4x^{2}+x+a}{x-1}}$ dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya?

untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0

1³+4(1)²+1+a = 0

6+a = 0 \\

a = -6 \\

untuk mencari akar-akar lainnya dari x³+4x²+x-6 : x-1 adalah

1	1	4	1	-6
	0	1	5	6
	1	5	6	0

x²+5x+6 = 0

(x+2)(x+3) = 0

x = -2 atau x = -3

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$!

apakah salah satu akarnya adalah 1? $(1)^{3}-2(1)^{2}-5(1)+6=1-2-5+6=0$

Ya

faktorkan tersebut

1	1	-2	-5	6
	0	1	-1	-6
	1	-1	-6	0

x³-2x²-5x+6 = 0

(x-1)(x²-x-6) = 0

(x-1)(x-3)(x+2) = 0

x = 1, x = 3 atau x = -2

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

Sifat akar (Teorema Vieta)

Pada persamaan berderajat 3: ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a

Jumlah 2 akar: $x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}$ = c/a

Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a

Pada persamaan berderajat 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a

Jumlah 2 akar: $x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{4}+x_{2}\cdot x_{3}+x_{2}\cdot x_{4}+x_{3}\cdot x_{4}$ = c/a

Jumlah 3 akar: $x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{4}+x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}$ = – d/a

Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

tambahkan

dua variabel

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{2})-2x_{1}x_{2}$

$(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})$

$(x_{1}^{4}+x_{2}^{4})=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$

$(x_{1}^{5}+x_{2}^{5})=(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-x_{1}^{2}x_{2}^{2}(x_{1}+x_{2})$

$(x_{1}^{6}+x_{2}^{6})=(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-2x_{1}^{3}x_{2}^{3}$

dst

tiga variabel

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ = (x₁ + x₂ + x₃)²-2(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃)

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}$ = (x₁ + x₂ + x₃)³-3(x₁ + x₂ + x₃)(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃)+3(x₁.x₂.x₃)

Contoh:

Diberikan persamaan $x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$ dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

$2x_{1}=-x_{2}-x_{3}=-(x_{2}+x_{3})$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}-2x_{1}=-{\frac {b}{a}}$

$-x_{1}=-{\frac {-3}{1}}$

$x_{1}=-3$

$x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$

$(-3)^{3}-3(-3)^{2}-10(-3)+p=0$

$-27-27+30+p=0$

$p=24$

u

$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

-3	1	-3	-10	24
	0	-3	18	-24
	1	-6	8	0

$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

$(x+3)(x^{2}-6x+8)=0$

$(x+3)(x-2)(x-4)=0$

$x_{1}=-3\lor x_{2}=2\lor x_{3}=4$

Pembagian istimewa

Ada 3 jenis yaitu:

• Jika n adalah bilangan asli maka:

${\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+....+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}$

• Jika 2n adalah bilangan genap maka:

${\frac {a^{2n}-b^{2n}}{a+b}}=a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-....-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1}$

• Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:

${\frac {a^{2n+1}+b^{2n+1}}{a+b}}=a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-....+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n}$

Modulus (mod)

Sifat modulus

1. (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
2. ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n
3. a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n
4. a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n
5. Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10
6. Teorema euler

$a^{b}{\text{ mod }}n=a^{b{\text{ mod }}\pi (n)}{\text{ mod }}n$ dengan syarat:

Didahului sifat nomor 3

p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n

$\pi (n)=n\times {\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\times {\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\times \dots \times {\frac {p_{k}-1}{p_{k}}}$

1. Teorema wilson

(p - 1)! = -1 mod p

(p - 3)! = ${\frac {p-1}{2}}$ mod p

p adalah bilangan prima

contoh soal

1. Berapa hasil sisa dari
   1. 34 dibagi 5
   2. 12³ dibagi 7
   3. 200 dibagi 13
   4. 19⁵ dibagi 9

jawaban:

Jawaban

$${\begin{aligned}*34{\text{ mod }}5&=(5\times 6+4){\text{ mod }}5\\&=4{\text{ mod }}5\\&=4\\*12^{3}{\text{ mod }}7&=(12{\text{ mod }}7)^{3}{\text{ mod }}7\\&=5^{3}{\text{ mod }}7\\&=5^{(3{\text{ mod }}\pi (7))}{\text{ mod }}7\\&=5^{(3{\text{ mod }}6)}{\text{ mod }}7\\&=5^{3}{\text{ mod }}7\\&=125{\text{ mod }}7\\&=6\\*200{\text{ mod }}13&=(13\times 15+5){\text{ mod }}13\\&=5{\text{ mod }}13\\&=5\\*19^{5}{\text{ mod }}9&=(19{\text{ mod }}9)^{5}{\text{ mod }}9\\&=1^{5}{\text{ mod }}9\\&=1^{(5{\text{ mod }}\pi (9))}{\text{ mod }}9\\&=1^{(5{\text{ mod }}6)}{\text{ mod }}9\\&=1^{5}{\text{ mod }}9\\&=1{\text{ mod }}9\\&=1\\\end{aligned}}$$

Mencari bilangan

${\frac {S(k\cdot P+1)}{P}}=k\cdot S+{\frac {S}{P}}$

Keterangan

S = Hasil sisa

k = bilangan bulat

P = Pembagi