Soal-Soal Matematika/Sistem persamaan dan pertidaksamaan

Sistem persamaan

Mutlak

rumus: $|f(x)|={\begin{cases}f(x),&{\mbox{jika }}f(x)\geq 0,\\-f(x),&{\mbox{jika }}f(x)<0.\end{cases}}$

• |f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b
• |f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x)
• |f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x)

sifat

1. |a b| = |a| |b|
2. |a/b| = |a|/|b|, b≠0
3. |x| < b -> -b<x<b
4. |x| ≤ b -> -b≤x≤b
5. |x| > b -> x<-b atau x>b
6. |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b
7. |f(x)| < b -> -b<f(x)<b
8. |f(x)| ≤ b -> -b≤f(x)≤b
9. |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b
10. |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b
11. |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))²
12. |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))²

contoh

selesaikan persamaan multak sebagai berikut:

• |x²+6x| = |7x+20|
• 3|x-4|+5|7-x| = 31
• |3x-4|x-1|| = 2
• |3x-1|²-7|3x-1| = 8
• |x-5|²+|x-4| = 7
• x²+3|x| = 4
• x|x-6| = 8

Jawaban

$${\begin{aligned}*|x^{2}+6x|&=|7x+20|\\|x^{2}+6x|&=|7x+20|\\(x^{2}+6x)^{2}&=(7x+20)^{2}\\(x^{2}+6x)^{2}-(7x+20)^{2}&=0\\(x^{2}+6x+7x+20)(x^{2}+6x-(7x+20))&=0\\(x^{2}+13x+20)(x^{2}-x-20)&=0\\{\text{untuk }}x^{2}+13x+20&=0\\x^{2}+13x+20&=0\\x&={\frac {-13\pm {\sqrt {13^{2}-4(1)(20)}}}{2(1)}}\\&={\frac {-13\pm {\sqrt {169-80}}}{2}}\\&={\frac {-13\pm {\sqrt {89}}}{2}}\\x_{1}={\frac {-13+{\sqrt {89}}}{2}}&{\text{ atau }}x_{2}={\frac {-13-{\sqrt {89}}}{2}}\\{\text{untuk }}x^{2}-x-20&=0\\x^{2}-x-20&=0\\(x-5)(x+4)&=0\\x_{3}=5&{\text{ atau }}x_{4}=-4\\*3|x-4|+5|7-x|&=31\\{\text{untuk }}|x-4|{\text{ sebagai berikut: }}\\x-4{\text{ jika }}x-4&\geq 0\\x&\geq 4\\-(x-4){\text{ jika }}x-4&<0\\x&<4\\{\text{untuk }}|7-x|{\text{ sebagai berikut: }}\\7-x{\text{ jika }}7-x&\geq 0\\x&\leq 7\\-(7-x){\text{ jika }}7-x&<0\\x&>7\\{\text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)}}\\{\text{daerah arsiran 1 (kiri)}}\\3|x-4|+5|7-x|&=31\\3(-x+4)+5(7-x)&=31\\-3x+12+35-5x&=31\\-8x&=-16\\x&=2\\{\text{daerah arsiran 2 (tengah)}}\\3|x-4|+5|7-x|&=31\\3(x-4)+5(7-x)&=31\\3x-12+35-5x&=31\\-2x&=8\\x&=-4{\text{ (TM) }}\\{\text{daerah arsiran 3 (kanan)}}\\3|x-4|+5|7-x|&=31\\3(x-4)+5(-7+x)&=31\\3x-12-35+5x&=31\\8x&=78\\x&={\frac {78}{8}}\\x&={\frac {39}{4}}\\*|3x-4|x-1||&=2\\|3x-4|x-1||&=2\\(3x-4|x-1|)^{2}&=2^{2}\\(3x-4|x-1|)^{2}-2^{2}&=0\\(3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2)&=0\\{\text{untuk }}3x-4|x-1|-2&=0\\3x-4|x-1|-2&=0\\-4|x-1|&=2-3x\\(-4(x-1))^{2}&=(2-3x)^{2}\\(-4(x-1))^{2}-(2-3x)^{2}&=0\\(-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x))&=0\\(-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x)&=0\\x_{1}=2&{\text{ atau }}x_{2}={\frac {6}{7}}\\{\text{untuk }}3x-4|x-1|+2&=0\\3x-4|x-1|+2&=0\\-4|x-1|&=-2-3x\\(-4(x-1))^{2}&=(-2-3x)^{2}\\(-4(x-1))^{2}-(-2-3x)^{2}&=0\\(-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x))&=0\\(-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x)&=0\\x_{3}=6&{\text{ atau }}x_{4}={\frac {2}{7}}\\*|3x-1|^{2}-7|3x-1|&=8\\|3x-1|^{2}-7|3x-1|&=8\\{\text{misalkan }}|3x-1|&=p\\p^{2}-7p&=8\\p^{2}-7p-8&=0\\(p-8)(p+1)&=0\\p=8&{\text{ atau }}p=-1\\{\text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi }}p=8{\text{ memenuhi syarat }}\\3x-1&=8\\3x&=9\\x&=3\\*|x-5|^{2}+|x-4|&=7\\{\text{untuk }}|x-5|{\text{ sebagai berikut: }}\\x-5{\text{ jika }}x-5&\geq 0\\x&\geq 5\\-(x-5){\text{ jika }}x-5&<0\\x&<5\\{\text{untuk }}|x-4|{\text{ sebagai berikut: }}\\x-4{\text{ jika }}x-4&\geq 0\\x&\geq 4\\-(x-4){\text{ jika }}x-4&<0\\x&<4\\{\text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)}}\\{\text{daerah arsiran 1 (kiri)}}\\|x-5|^{2}+|x-4|&=7\\(-x+5)^{2}+(-x+4)&=7\\(-x+5)^{2}-x+4-7&=0\\x^{2}-10x+25-x+4-7&=0\\x^{2}-11x+22&=0\\x&={\frac {-(-11)\pm {\sqrt {121-4(1)(22)}}}{2(1)}}\\&={\frac {11\pm {\sqrt {33}}}{2}}\\x_{1}={\frac {11+{\sqrt {33}}}{2}}&{\text{ (TM) atau }}x_{2}={\frac {11-{\sqrt {33}}}{2}}{\text{ (TM) }}\\{\text{daerah arsiran 2 (tengah)}}\\|x-5|^{2}+|x-4|&=7\\(-x+5)^{2}+(x-4)&=7\\x^{2}-10x+25+x-4-7&=0\\x^{2}-9x+14&=0\\(x-2)(x-7)&=0\\x_{3}=2&{\text{ (TM) atau }}x_{4}=7{\text{ (TM) }}\\{\text{daerah arsiran 3 (kanan)}}\\|x-5|^{2}+|x-4|&=7\\(x-5)^{2}+(x-4)&=7\\x^{2}-10x+25+x-4-7&=0\\x^{2}-9x+14&=0\\(x-2)(x-7)&=0\\x_{5}=2&{\text{ (TM) atau }}x_{6}=7\\*|3x-4|x-1||&=2\\|3x-4|x-1||&=2\\(3x-4|x-1|)^{2}&=2^{2}\\(3x-4|x-1|)^{2}-2^{2}&=0\\(3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2)&=0\\{\text{untuk }}3x-4|x-1|-2&=0\\3x-4|x-1|-2&=0\\-4|x-1|&=2-3x\\(-4(x-1))^{2}&=(2-3x)^{2}\\(-4(x-1))^{2}-(2-3x)^{2}&=0\\(-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x))&=0\\(-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x)&=0\\x_{1}=2&{\text{ atau }}x_{2}={\frac {6}{7}}\\{\text{untuk }}3x-4|x-1|+2&=0\\3x-4|x-1|+2&=0\\-4|x-1|&=-2-3x\\(-4(x-1))^{2}&=(-2-3x)^{2}\\(-4(x-1))^{2}-(-2-3x)^{2}&=0\\(-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x))&=0\\(-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x)&=0\\x_{3}=6&{\text{ atau }}x_{4}={\frac {2}{7}}\\*x^{2}+3|x|&=4\\x^{2}+3|x|&=4\\{\text{karena hasil }}x^{2}{\text{ bernilai positif maka }}x^{2}{\text{ dapat diganti }}|x|^{2}\\|x|^{2}+3|x|&=4\\|x|^{2}+3|x|-4&=0\\(|x|+4)(|x|-1)&=0\\|x|=-4&{\text{ atau }}|x|=1\\{\text{karena hasil }}|x|{\text{ dalam harga multak selalu positif jadi }}|x|=1{\text{ memenuhi syarat }}\\|x|&=1\\x^{2}&=1^{2}\\x^{2}-1^{2}&=0\\(x-1)(x+1)&=0\\x_{1}=1&{\text{ atau }}x_{2}=-1\\{\text{atau }}\\x^{2}+3|x|&=4\\3|x|&=4-x^{2}\\(3x)^{2}&=(4-x^{2})^{2}\\(3x)^{2}-(4-x^{2})^{2}&=0\\(3x-(4-x^{2}))(3x+(4-x^{2}))&=0\\{\text{untuk }}3x-(4-x^{2})&=0\\3x-(4-x^{2})&=0\\x^{2}+3x-4&=0\\(x+4)(x-1)&=0\\x_{1}=-4&{\text{ (TM) atau }}x_{2}=1\\{\text{untuk }}3x+(4-x^{2})&=0\\3x+(4-x^{2})&=0\\-x^{2}+3x+4&=0\\x^{2}-3x-4&=0\\(x-4)(x+1)&=0\\x_{3}=4&{\text{ (TM) atau }}x_{4}=-1\\*x|x-6|&=8\\x|x-6|&=8\\|x-6|&={\frac {8}{x}}\\(x-6)^{2}&=({\frac {8}{x}})^{2}\\(x-6)^{2}-({\frac {8}{x}})^{2}&=0\\(x-6+{\frac {8}{x}})(x-6-{\frac {8}{x}})&=0\\{\text{untuk }}x-6+{\frac {8}{x}}&=0\\x-6+{\frac {8}{x}}&=0\\x^{2}-6x+8&=0\\(x-4)(x-2)&=0\\x_{1}=4&{\text{ atau }}x_{2}=2\\{\text{untuk }}x-6-{\frac {8}{x}}&=0\\x-6-{\frac {8}{x}}&=0\\x^{2}-6x-8&=0\\x&={\frac {-(-6)\pm {\sqrt {36-4(1)(-8)}}}{2(1)}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {68}}}{2}}\\&={\frac {6\pm 2{\sqrt {17}}}{2}}\\&=3\pm {\sqrt {17}}\\x_{3}=3+{\sqrt {17}}&{\text{ atau }}x_{4}=3-{\sqrt {17}}{\text{ (TM) }}\\\end{aligned}}$$

daerah arsiran untuk nomor 2

Daerah Arsiran

	4		7
-x+4		x-4		x-4
7-x		7-x		-7+x

yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4}

daerah arsiran untuk nomor 5

Daerah Arsiran

	4		5
-x+5		-x+5		x-5
-x+4		x-4		x-4

yang memenuhi adalah HP = {7}

Akar

rumus: $y={\sqrt {f(x)}};f(x)\geq 0$

contoh

selesaikan persamaan akar sebagai berikut:

• ${\sqrt {x^{2}+5}}=7-2x$
• ${\sqrt {x^{2}+7}}+2x=10$

Jawaban

$${\begin{aligned}*{\sqrt {x^{2}+5}}&=7-2x\\x^{2}+5&=(7-2x)^{2}\\x^{2}+5&=4x^{2}-28x+49\\3x^{2}-28x+44&=0\\(3x-22)(x-2)&=0\\x={\frac {22}{3}}&{\text{ (TM) atau }}x=2\\*{\sqrt {x^{2}+7}}+2x&=10\\{\sqrt {x^{2}+7}}&=10-2x\\x^{2}+7&=(10-2x)^{2}\\x^{2}+7&=4x^{2}-40x+100\\3x^{2}-40x+93&=0\\(3x-31)(x-3)&=0\\x={\frac {31}{3}}&{\text{ (TM) atau }}x=3\\\end{aligned}}$$

Pecahan

rumus: $y={\frac {f(x)}{g(x)}};g(x)\neq 0$

contoh

selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut:

• ${\frac {2x-5}{x+14}}={\frac {x-4}{x}}$
• ${\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{x-5}}={\frac {6}{x-11}}$

Jawaban

$${\begin{aligned}*{\frac {2x-5}{x+14}}&={\frac {x-4}{x}}\\x(2x-5)&=(x-4)(x+14)\\2x^{2}-5x&=x^{2}+10x-56\\x^{2}-15x+56&=0\\(x-7)(x-8)&=0\\x=7&{\text{ atau }}x=8\\*{\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{x-5}}&={\frac {6}{x-11}}\\{\frac {x-5+x+3}{(x+3)(x-5)}}&={\frac {6}{x-11}}\\{\frac {2x-2}{x^{2}-2x-15}}&={\frac {6}{x-11}}\\{\frac {2(x-1)}{x^{2}-2x-15}}&={\frac {6}{x-11}}\\{\frac {x-1}{x^{2}-2x-15}}&={\frac {3}{x-11}}\\(x-1)(x-11)&=3(x^{2}-2x-15)\\x^{2}-12x+11&=3x^{2}-6x-45\\2x^{2}+6x-56&=0\\x^{2}+3x-28&=0\\(x-4)(x+7)&=0\\x=4&{\text{ atau }}x=-7\\\end{aligned}}$$

Sistem pertidaksamaan

Multak

rumus: $|f(x)|\leq 0;|f(x)|={\sqrt {f^{2}(x)}}$

harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $|2(x^{2}-6)|\geq |x^{2}-x|$

Jawaban

$${\begin{aligned}|2(x^{2}-6)|\geq |x^{2}-x|\\(2(x^{2}-6))^{2}&\geq (x^{2}-x)^{2}\\(2(x^{2}-6))^{2}-(x^{2}-x)^{2}&\geq 0\\(2(x^{2}-6)+x^{2}-x)((2(x^{2}-6)-(x^{2}-x))&\geq 0\\(2x^{2}-12+x^{2}-x)(2x^{2}-12-x^{2}+x)&\geq 0\\(3x^{2}-x-12)(x^{2}+x-12)&\geq 0\\{\text{untuk }}3x^{2}-x-12\\3x^{2}-x-12&\geq 0\\{\text{harga nol }}\\3x^{2}-x-12&=0\\x&={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4(3)(-12)}}}{2(3)}}\\&={\frac {1\pm {\sqrt {145}}}{6}}\\x={\frac {1-{\sqrt {145}}}{6}}&{\text{ atau }}x={\frac {1+{\sqrt {145}}}{6}}\\{\text{untuk }}x^{2}+x-12\\x^{2}+x-12&\geq 0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}+x-12&=0\\(x+4)(x-3)&=0\\x=-4&{\text{ atau }}x=3\\{\text{dari kombinasi perkalian jadi }}x\leq -4,{\frac {1-{\sqrt {145}}}{6}}\leq x\leq {\frac {1+{\sqrt {145}}}{6}}&{\text{ atau }}x\geq 3\\\end{aligned}}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• utama (kombinasi perkalian)

Teks takarir

	-4		${\frac {1-{\sqrt {145}}}{6}}$		${\frac {1+{\sqrt {145}}}{6}}$		3
+++		——		+++		———		+++

Akar

rumus: ${\sqrt {f(x)}}\leq 0;f(x)\geq 0$

harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $x-{\sqrt {6-x}}\geq 0$

Jawaban

$${\begin{aligned}x-{\sqrt {6-x}}&\geq 0\\x&\geq {\sqrt {6-x}}\\x^{2}&\geq 6-x\\x^{2}+x-6&\geq 0\\{\text{harga nol }}\\x^{2}+x-6&=0\\(x+3)(x-2)&=0\\x=-3&{\text{ atau }}x=2\\{\text{jadi }}x\leq -3&{\text{ atau }}x\geq 2\\{\text{syarat 1 }}\\6-x&\geq 0\\x&\leq 6\\{\text{syarat 2 }}\\{\text{karena hasil akarnya minimal nol maka }}x\geq 0\\x&\geq {\sqrt {6-x}}\\x&\geq 0\\{\text{jadi hasil pertidaksamaan adalah }}2\leq x\leq 6\\\end{aligned}}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• utama

Teks takarir

	-3		2
+++		——		+++

• syarat 1

Teks takarir

	6
——		+++

• syarat 2

Teks takarir

	0
——		+++

• total irisan

Teks takarir

	-3		0		2		6
Ya						Ya		Ya
Ya		Ya		Ya		Ya
				Ya		Ya		Ya

Pecahan

rumus: ${\frac {f(x)}{g(x)}}\leq 0;g(x)\neq 0$

harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• ${\frac {x+5}{x}}\geq {\frac {x+10}{x-5}}$

Jawaban

$${\begin{aligned}{\frac {x+5}{x}}&\geq {\frac {x+10}{x-5}}\\{\frac {x+5}{x}}-{\frac {x-10}{x-5}}&\geq 0\\{\frac {(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)}}&\geq 0\\{\frac {x^{2}-25-x^{2}-10x}{x(x-5)}}&\geq 0\\{\frac {-25-10x}{x(x-5)}}&\geq 0\\{\text{pembuat nol pembilang }}\\-25-10x&=0\\x&=-2,5\\{\text{pembuat nol penyebut }}\\x(x-5)&=0\\x=0&{\text{ atau }}x=5\\{\text{syarat }}\\x(x-5)&\neq 0\\x\neq 0&{\text{ atau }}x\neq 5\\{\text{jadi hasil pertidaksamaan adalah }}x\leq -2,5{\text{ atau }}0<x<5\\\end{aligned}}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• hasil pembanding pecahan

Teks takarir

	-2,5		(0)		(5)
+/+		-/+		-/-		-/+
+		-		+		-