Soal-Soal Matematika/Statistika

Penyajian data

dalam data tunggal, pembuatan diagram dalam metode statistika terdiri dari 5 jenis yaitu diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram tabel (frekuensi dan kumulatif) serta diagram lambang.

diagram tabel berdasarkan kumulatif terbagi menjadi dua yaitu kurang dari dan lebih dari.

dalam data berkelompok, pembuatan diagram dalam metode statistika terdiri dari 2 jenis yaitu histogram dan poligon.

tambahan lainnya yaitu diagram titik (dot plot), diagram pencar (scatter plot) dan diagram kotak (box plot).

dalam diagram pencar terdapat analisis korelasi (correlation analysis) terbagi empat yaitu kolerasi negatif kuat, kolerasi positif kuat, kolerasi negatif lemah dan kolerasi positif lemah.

1. Korelasi positif
Korelasi positif adalah hubungan antara dua variabel ketika kedua variabel itu bergerak dalam arah yang sama. Oleh karenanya, satu variabel meningkat jika variabel lainnya meningkat, atau satu variabel menurun sementara yang lainnya juga menurun.

Contoh korelasi positif yaitu tinggi dan berat badan. Di mana, orang yang lebih tinggi memang cenderung akan lebih berat.

2. Korelasi negatif
Korelasi negatif merupakan hubungan antara dua variabel, ketika peningkatan satu variabel dikaitkan dengan penurunan variabel lainnya. Contoh korelasi negatif adalah ketinggian di atas permukaan laut dan suhu.

Contoh korelasi negatif yaitu saat kita mendaki gunung, artinya kan kita sedang meningkatkan ketinggian. Sehingga, korelasinya suhu menjadi lebih dingin (menurunkan suhu).

3. Korelasi nol (Tidak ada kolerasi)
Jenis korelasi nol ada ketika tidak adanya hubungan antara dua variabel. Contoh korelasi nol yaitu tidak ada hubungan antara jumlah teh yang diminum dengan tingkat kecerdasan seseorang yang meminumnya.

Analisis data

Jenis-jenis ukuran pemusatan data

Data tunggal

Mean

merupakan rata-rata hitung

{\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}

Median

merupakan nilai tengah setelah diurutkan

bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan

Me=x_{\frac {n+1}{2}}

bila n ganjil

Me={\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}}{2}}

bila n genap

Modus

merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi

terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan

Kuartil

merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak

Q_{i}={\frac {i(n+1)}{4}}

terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas.

Kuartil	Ganjil		Genap
Kuartil	n+1 tidak habis dibagi 4	n+1 habis dibagi 4	n tidak habis dibagi 4	n habis dibagi 4
Kuartil bawah (Q1)	${\frac {x_{\frac {n-1}{4}}+x_{({\frac {n-1}{4}}+1)}}{2}}$	$x_{\frac {n+1}{4}}$	$x_{\frac {n+2}{4}}$	${\frac {x_{\frac {n}{4}}+x_{({\frac {n}{4}}+1)}}{2}}$
Kuartil tengah (Q2)	$x_{\frac {n+1}{2}}$		${\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}}{2}}$
Kuartil atas (Q3)	${\frac {x_{\frac {3n+1}{4}}+x_{({\frac {3n+1}{4}}+1)}}{2}}$	$x_{\frac {3(n+1)}{4}}$	$x_{\frac {3n+2}{4}}$	${\frac {x_{\frac {3n}{4}}+x_{({\frac {3n}{4}}+1)}}{2}}$

atau

Kuartil	Ganjil	Genap
Kuartil bawah (Q1)	${\frac {n+1}{4}}$	${\frac {n+2}{4}}$
Kuartil tengah (Q2)	${\frac {n+1}{2}}$	${\frac {X_{{\frac {n}{2}}+X_{({\frac {n}{2}}+1)}}}{2}}$
Kuartil atas (Q3)	${\frac {3\cdot (n+1)}{4}}$	${\frac {3n+2}{4}}$

contoh:

urutan data: A, B, C, D, E, F
1. kuartil bawah: B
2. kuartil tengah (median): antara C dan D
3. kuartil atas: E

urutan data: A, B, C, D, E, F, G
1. kuartil bawah: B
2. kuartil tengah (median): D
3. kuartil atas: F

Desil

merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak

D_{i}={\frac {i(n+1)}{10}}

terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

Persentil

merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak

P_{i}={\frac {i(n+1)}{100}}

terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

Data berkelompok

Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, diagram garis, diagram batang serta diagram lingkaran.

Mean

{\bar {x}}={\frac {f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+\cdots +f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots +f_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}

{\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}

{\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}u}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}})c

keterangan

$f_{i}$ = frekuensi untuk nilai i
$x_{i}$ = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok)
$x_{s}$ = titik tengah rataan sementara
$d_{i}$ = panjang interval antar rentang tertentu pada $x_{i}$ (jika $x_{s}$ maka d adalah nol. Di atasnya bernilai min dan dibawahnya bernilai plus)
u = bilangan bulat (jika $x_{s}$ maka u adalah nol. Diatasnya min serta dibawahnya plus)
c = panjang interval kelas

Median

Me=L_{2}+({\frac {{\frac {n}{2}}-(\sum {f})_{2}}{f_{Me}}})c

keterangan

$L_{2}$ = tepi bawah kelas median
n = banyak data
$(\sum {f})_{2}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median
$f_{Me}$ = frekuensi kelas median
c = panjang interval kelas

Modus

Mo=L_{o}+({\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}})c

keterangan

$L_{o}$ = tepi bawah kelas modus
$d_{1}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
$d_{2}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
c = panjang interval kelas

Kuartil

Q_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{4}}-(\sum {f})_{i}}{f_{Q_{i}}}})c

keterangan

i = 1, 2 atau 3
$L_{i}$ = tepi bawah kelas kuartil ke-i
n = banyak data
$(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
$f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas kuartil ke-i
c = panjang interval kelas

Desil

D_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{10}}-(\sum {f})_{i}}{f_{D_{i}}}})c

keterangan

i = 1, 2, 3, ....., 9
$L_{i}$ = tepi bawah kelas desil ke-i
n = banyak data
$(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
$f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas desil ke-i
c = panjang interval kelas

Persentil

P_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{100}}-(\sum {f})_{i}}{f_{P_{i}}}})c

keterangan

i = 1, 2, 3, ....., 99
$L_{i}$ = tepi bawah kelas persentil ke-i
n = banyak data
$(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
$f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas persentil ke-i
c = panjang interval kelas

Jenis-jenis ukuran penyebaran data

Lima serangkai

x_{min}

Q_{1}

Q_{2}

Q_{3}

x_{max}

Rataan dua

R_{2}={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{2}}

Rataan tiga

R_{3}={\frac {Q_{1}+2Q_{2}+Q_{3}}{4}}

Jangkauan atau Range

J=x_{max}-x_{min}

Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil

SK={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}

Jangkauan antar kuartil, Jangkauan inter kuartil atau Hamparan

H=Q_{3}-Q_{1}

Langkah

L={\frac {3(Q_{3}-Q_{1})}{2}}

- Pagar dalam

PD=Q_{1}-L

- Pagar luar

PL=Q_{3}+L

Simpangan rata-rata atau Deviasi rata-rata

Data tunggal: $SR={\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|}}{n}}$

Data berkelompok: $SR={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

Varian atau Ragam

Data tunggal: $V={\frac {\sum {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n}}$

Data berkelompok: $V={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

Simpangan baku atau Deviasi

SB={\sqrt {V}}

Data tunggal: $SB={\sqrt {\frac {\sum {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n}}}$

Data berkelompok: $SB={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}}$

contoh soal

data penilaian siswa 10 pada mata pelajaran matematika sebagai berikut: 7, 7,3; 8,1; 6,4; 5,8; 6; 6,5; 7; 7,9; 6,2. tentukan:

modus
median
mean
kuartil bawah, tengah dan atas
lima serangkai
rataan dua
rataan tiga
jangkauan
hamparan
simpangan kuartil
langkah
pagar dalam
pagar luar
simpangan rata-rata
varian
simpangan baku

Jawaban

${\begin{aligned}*Mo&=7{\text{ karena ada dua nilai yang muncul}}\\*{\text{urutan data terlebih dulu }}5,8;6;6,2;6,4;6,5;7;7;7,3;7,9;8,1\\Me&={\frac {6,5+7}{2}}=6,75\\*{\bar {x}}={\frac {7+7,3+8,1+6,4+5,8+6+6,5+7+7,9+6,2}{10}}&={\frac {68,2}{10}}=6,82\\*{\text{lihat urutan data median di atas}}\\Q_{1}=6,2,Q_{2}=6,75,Q_{3}=7,3\\*5,8,6,2,6,75,7,3,8,1\\*R_{2}={\frac {6,2+7,3}{2}}&={\frac {13,5}{2}}=6,75\\*R_{3}={\frac {6,2+2(6,75)+7,3}{4}}&={\frac {27}{4}}=6,75\\*J&=8,1-5,8=2,3\\*H&=7,3-6,2=1,1\\*SK&={\frac {1,1}{2}}=0,55\\*L&={\frac {3(1,1)}{2}}=1,65\\*PD&=6,2-1,65=4,55\\*PL&=7,3+1,65=8,65\\*SR={\frac {|7-6,82|+|7,3-6,82|+|8,1-6,82|+|6,4-6,82|+|5,8-6,82|+|6-6,82|+|6,5-6,82|+|7-6,82|+|7,9-6,82|+|6,2-6,82|}{10}}&={\frac {1,82+0,52+1,32+0,42+1,02+0,82+0,32+0,22+1,12+0,62}{10}}={\frac {8,2}{10}}=0,82\\*V={\frac {|7-6,82|^{2}+|7,3-6,82|^{2}+|8,1-6,82|^{2}+|6,4-6,82|^{2}+|5,8-6,82|^{2}+|6-6,82|^{2}+|6,5-6,82|^{2}+|7-6,82|^{2}+|7,9-6,82|^{2}+|6,2-6,82|^{2}}{10}}&={\frac {3,31+0,27+1,74+0,18+1,04+0,67+0,1+0,05+1,25+0,38}{10}}={\frac {8,99}{10}}=0,89\\*SB&={\sqrt {0,89}}=0,94\\\end{aligned}}$

data sensus penduduk kecamatan J sebagai berikut:

Data sensus penduduk
Umur	Jumlah
1-6	3
7-12	8
13-18	5
19-24	6
25-30	5
31-36	7
37-42	12
43-48	9
49-54	8
55-60	7
Jumlah	70

tentukan:

modus
median
mean
kuartil bawah, tengah dan atas
lima serangkai
rataan dua
rataan tiga
jangkauan
hamparan
simpangan kuartil
langkah
pagar dalam
pagar luar
simpangan rata-rata
varian
simpangan baku

Data sensus penduduk
Umur	Jumlah (f)	u	$f_{i}\cdot u$	d	$f_{i}\cdot d_{i}$	x_i	$f_{i}\cdot x_{i}$	$\|x_{i}-{\bar {x}}\|$	$f_{i}\cdot \|x_{i}-{\bar {x}}\|$	$\|x_{i}-{\bar {x}}\|^{2}$	$f_{i}\cdot \|x_{i}-{\bar {x}}\|^{2}$
1-6	3	-6	-18	-36	-108	3,5	10,5	30,26	90,78	915,66	2.746,98
7-12	8	-5	-40	-30	-240	9,5	76	24,26	194,08	588,54	4.708,32
13-18	5	-4	-20	-24	-120	15,5	77,5	18,26	91,3	333,42	1.667,1
19-24	6	-3	-18	-18	-108	21,5	129	12,26	73,56	150,3	901,8
25-30	5	-2	-10	-12	-60	27,5	137,5	6,26	31,3	39,18	185,9
31-36	7	-1	-7	-6	-42	33,5	234,5	0,26	1,82	0,06	0,42
37-42	12	0	0	0	0	39,5	474	5,74	68,88	32,94	395,28
43-48	9	1	9	6	54	45,5	409,5	11,74	105,66	137,82	1.240,38
49-54	8	2	16	12	96	51,5	412	17,74	141,92	314,7	2.517,6
55-60	7	3	21	18	126	57,5	402,5	23,74	166,18	563,58	3.945,06
Jumlah	70		-67		-402		2.363		965,48		18.318,84

Jawaban

${\begin{aligned}*Mo=L_{o}+({\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}})\cdot c&=36,5+({\frac {12-7}{(12-7)+(12-9)}})\cdot 6=36,5+({\frac {5}{5+3}})\cdot 6=36,5+({\frac {5}{8}})\cdot 6=36,5+{\frac {15}{4}}=40,25\\*Me=L_{2}+({\frac {{\frac {n}{2}}-(\sum {f})_{2}}{f_{Me}}})\cdot c&=36,5+({\frac {{\frac {70}{2}}-34}{12}})\cdot 6=36,5+({\frac {35-34}{12}})\cdot 6=36,5+({\frac {1}{12}})\cdot 6=37\\*;cara1\\:{\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{(f_{i}\cdot u)}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}})\cdot c&=39,5+{\frac {-67}{70}}\cdot 6=39,5-5,74=33,76\\;cara2\\:{\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{(f_{i}\cdot d_{i})}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&=39,5+{\frac {-402}{70}}=39,5-5,74=33,76\\;cara3\\:{\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{(f_{i}\cdot x_{i})}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&={\frac {2.363}{70}}=33,76\\*:Q_{1}=L_{1}+({\frac {{\frac {n}{4}}-(\sum {f})_{1}}{f_{Q_{1}}}})\cdot c&=18,5+({\frac {{\frac {70}{4}}-16}{6}})\cdot 6=18,5+({\frac {17,5-16}{6}})\cdot 6=18,5+1,5=20\\:Q_{2}=Me=37\\:Q_{3}=L_{3}+({\frac {{\frac {3\cdot n}{4}}-(\sum {f})_{3}}{f_{Q_{3}}}})\cdot c&=42,5+({\frac {{\frac {3\cdot 70}{4}}-16}{9}})\cdot 6=42,5+({\frac {52,5-46}{9}})\cdot 6=42,5+4,33=46,83\\*0,5;20;37;46,83;54,5\\*R_{2}={\frac {20+46,83}{2}}&={\frac {66,83}{2}}=33,42\\*R_{3}={\frac {20+2(37)+46,83}{4}}&={\frac {140,83}{4}}=35,2075\\*J&=54,5-0,5=54\\*H&=46,83-20=26,83\\*SK&={\frac {26,83}{2}}=13,42\\*L&={\frac {3(26,83)}{2}}=40,25\\*PD&=20-40,25=-19,75\\*PL&=46,83+40,25=87,08\\*SR={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}\cdot |x_{i}-{\bar {x}}|}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&={\frac {965,48}{70}}=13,79\\*V={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}\cdot |x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&={\frac {18.318,84}{70}}=261,69\\*SB={\sqrt {V}}&={\sqrt {261,69}}=16,17\\\end{aligned}}$

data siswa kelas 12 IPA sebagai berikut:

Data siswa kelas 12
Nilai	Jumlah
40-49	5
50-59	10
60-69	14
70-79	9
80-89	5
90-99	2

Berapa jumlah siswa kelas 12 IPA lulus jika batas ambang kelulusan adalah 64,5?

Jawaban

${\begin{aligned}Nb&=L_{nb}+({\frac {t-(\sum {f})_{0}}{f_{nb}}})\cdot c\\64,5&=59,5+({\frac {t-15}{14}})\cdot 10\\5&=({\frac {t-15}{7}})\cdot 5\\7&=t-15\\t&=22\\{\text{siswa lulus adalah }}45-22=23\\\end{aligned}}$

Rata-rata dan median keempat data adalah 10, jangkauan data tersebut adalah 4 serta tidak memiliki modus. Dilihat datanya diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar maka berapa hasil kali data kedua dan data ketiga yang paling mungkin?

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {A+B+C+D}{4}}&=10\\A+B+C+D&=40\\{\frac {B+C}{2}}&=10\\B+C&=20\\D-A&=4\\D&=A+4\\A+B+C+D&=40\\A+20+D&=40\\A+D&=20\\A+D&=20\\A+A+4&=20\\2A&=16\\A&=8\\D&=12\\{\text{data sementara yang diurutkan adalah }}8,x,y,12\\{\text{untuk x dan y diuji supaya jumlahnya adalah 20. maka x dan y didapat adalah 9 dan 11 }}\\xy&=9(11)\\&=99\\\end{aligned}}$

Dua kelompok anak masing-masing dari 4 anak, mempunyai rata-rata berat badan 30 kg dan 33 kg. jika seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata berat badan menjadi sama maka berapa selisih berat badan kedua anak yang ditukar?

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {A+B+C+D}{4}}&=30\\A+B+C+D&=120\\B+C+D&=120-A\\{\frac {P+Q+R+S}{4}}&=33\\P+Q+R+S&=132\\Q+R+S&=132-P\\{\bar {x_{1}}}&={\bar {x_{2}}}\\{\frac {P+B+C+D}{4}}&={\frac {A+Q+R+S}{4}}\\P+B+C+D&=A+Q+R+S\\P+120-A&=A+132-P\\2P-2A&=12\\P-A&=6\\\end{aligned}}$

Diketahui median dan rata-rata berat 5 buah mangga adalah sama. Setelah ditambahkan satu berat mangga rata-ratanya meningkat 1 kg sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat mangga tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang berat maka berapa selisih berat mangga yang terakhir ditambahkan dengan mangga di urutan keempat?

Jawaban

${\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5}}&=Me\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=5Me\\Me&=x_{3}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=5x_{3}\\x_{1}+x_{2}+x_{4}+x_{5}&=4x_{3}\\{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}&=Me+1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}&=6Me+6\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}&=6x_{3}+6\\x_{1}+x_{2}+x_{4}+x_{5}+x_{6}&=5x_{3}+6\\Me&={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}\\x_{3}&={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}\\2x_{3}&=x_{3}+x_{4}\\x_{3}&=x_{4}\\x_{1}+x_{2}+x_{4}+x_{5}+x_{6}&=5x_{3}+6\\4x_{3}+x_{6}&=5x_{3}+6\\x_{6}&=x_{3}+6\\x_{6}&=x_{4}+6\\x_{6}-x_{4}&=6\\\end{aligned}}$