Subjek:Matematika/Materi:Diferensial

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Definisi[sunting]

Biaya marjinal[sunting]

Sifat turunan[sunting]

Dalam hal ini, Templat:Math, untuk bilangan riil Templat:Math dan Templat:Math dan kemiringan Templat:Math diberikan oleh

Apa itu simbol Templat:Math adalah singkatan untuk perubahan.

Rumus di atas berlaku karena

Hasilnya adalah

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.

Nilai perubahan sebagai nilai limit
Gambar 1. Garis singgung pada (x, f(x))
Gambar 1. Garis singgung pada (x, f(x))
Gambar 2. The secant to curve y= f(x) determined by points (x, f(x)) and (x + h, f(x + h))
Gambar 2. The secant to curve y= f(x) determined by points (x, f(x)) and (x + h, f(x + h))
Gambar 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong

Sifat - sifat turunan[sunting]

Linearitas

Aturan produk

Dalil rantai

Sifat umum lain

Dimana fungsi dan adalah fungsi satu variabel .

Eksponen dan bilangan natural[sunting]

Logaritma dan bilangan natural[sunting]

Trigonometri[sunting]

Invers
Hiperbolik

Contoh soal dalam aplikasi turunan[sunting]

NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.
  • Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva di titik !

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

  • Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva di titik !

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

karena tegak lurus maka nilai mt

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

  • Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
biaya dalam 1 hari
biaya dalam x hari

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

hari
  • Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?
laba = total penjualan - total biaya
laba

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

ribu rupiah
  • Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
hasil kali:

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

nilai terbesar hasil kali: