Subbagian ini akan membahas tentang lingkaran, persamaan lingkaran, beserta dengan garis singgung lingkaran.
Persamaan lingkaran
Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:
![{\displaystyle {\boldsymbol {(}}x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd39b0da9095954f67a86ff6794c9f27af03297)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/Ambox_notice.png) |
Penting! Bagi siswa SMA, Anda diharuskan hafal rumus persamaan umum lingkaran karena keluar dalam ujian nasional! |
Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):
![{\displaystyle r={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5a335df38bed57095297deaf7b008e9d975136)
Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :
![{\displaystyle d=\left\vert {\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d692347939a3b6da813de6b42848645b3f7474f3)
Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran
:
![{\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{4}}A^{2}+{\frac {1}{4}}B^{2}-C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef06347b9f3e25cba69b9fb86b0e421ebfbbedb)
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:
![{\displaystyle r={\sqrt {(5-2)^{2}+(3-7)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a1963fbaef9cebc0395c4758132cba7e773c40)
![{\displaystyle r={\sqrt {25}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1aec735d8cae64ebe3331a07adc6968cdc75e67)
![{\displaystyle r=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10587142d854f7a8ef3e5b76e3b3a593846a363f)
![{\displaystyle {\boldsymbol {(}}x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd39b0da9095954f67a86ff6794c9f27af03297)
![{\displaystyle {\boldsymbol {(}}x-2)^{2}+(y-7)^{2}=25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f6a8d06aeb20c705bb8b22819c2715e931929c)
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-4x-14y+28=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e88922b0e3578906ca90c335efe83b198a9b8e)
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola
dan menyinggung garis
!
Jawab:
![{\displaystyle y=x^{2}-2x+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee54d0c2a1f1cf253881fe86774d27bc3ae0b70)
![{\displaystyle x_{p}=-{\frac {b}{2a}}=-({\frac {-2}{2}})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b947cfb1d96a5fab86291dca91af34ffed48a63)
![{\displaystyle y_{p}=1^{2}-2\times 1+5=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a6b4bbdeb4f5685df08d05c902ae970e1faedd)
maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).
![{\displaystyle 3x+4y+5=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35053ee06d7b662812e7a008ca64a56b19cfdb1c)
![{\displaystyle A=3,B=4,C=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21109e77a43054b8f563d429da4ca562e8c1f6a9)
![{\displaystyle d=r=\left\vert {\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f855e53d900a04d4c30b4098523ed724496985c)
![{\displaystyle d=r=\left\vert {\frac {3\times 1+4\times 4+5}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5fd55da2eccdc480f4d4b30a1ec4ca463d67a01)
![{\displaystyle d=r={\frac {24}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4406cfe840e67fc76b24dfbb73eb29177a4bf7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {(}}x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd39b0da9095954f67a86ff6794c9f27af03297)
![{\displaystyle {\boldsymbol {(}}x-1)^{2}+(y-4)^{2}={\frac {576}{25}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6774cbfc0d2bd248389447d55dd48c5e1a4f1279)
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2x-8y+17-{\frac {576}{25}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295fa06f289b648da0575b5c7ad247eb087b136d)
![{\displaystyle 25x^{2}+25y^{2}-50x-200y-151=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7934b559ceac78752f11ad825d758711bf4246)
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya:
Jika
- D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
- D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
- D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:
- Tentukan posisi garis:
terhadap lingkaran ![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e02f7b7083719622d60e4c3ebddcb93e0b6edec)
Jawab:
![{\displaystyle x^{2}+(x+10)^{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ef15ae9dc927ebad9ae21194e44ee56e309c23)
![{\displaystyle x^{2}+(x^{2}+20x+100)-9=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfdcc45c4434bf1e66a715d42736b2932194ca)
![{\displaystyle 2x^{2}+20x+91=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b329912c1a4be5cbe51a1306a1492133f2424d1)
![{\displaystyle D=b^{2}-4ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6bcb215ab604811ee3d29f00c543edf6c14a9e)
![{\displaystyle D=20^{2}-4\times 91\times 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2108d926e350639fa8dcdbfac8cc3454709c827c)
![{\displaystyle D=400-728=-328}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f638b23744bbc37ad0118cd2ae4816c4a85d5a1)
Karena
, maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:
- Tentukan p agar garis
terletak di luar lingkaran
!
Jawab:
![{\displaystyle x^{2}+(-x+p)^{2}-2x-4(-x+p)+3=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f1fdd8b4b1dca020a47c582396695d57cfe3f1)
![{\displaystyle 2x^{2}-2px+p^{2}-2x+4x-4p+3=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e97444bf2908d61d5dbf32f2a5d2230688ea20)
![{\displaystyle 2x^{2}+(2-2p)x+p^{2}-4p+3=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8344339034167b8ce438999000373f325dd681)
- syarat:
![{\displaystyle D<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533c6100feca217e3212231f4a5ab7342bacdbf0)
![{\displaystyle (2-2p)^{2}-4(2)(p^{2}-4p+3)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b2ab585cefc9ed871300f2272aa9ee7bea9de3)
![{\displaystyle 4p^{2}-8p+4-8p^{2}+32p-24<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c8c0d46eb7dc8a2ff89129f42c3b0113868a30)
![{\displaystyle -4p^{2}+24p-20<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090874920b2eb9128d04e5cd664801d186cce152)
![{\displaystyle -4(p^{2}-6p+5)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9ad446c4bd8ec438126ea3f8aed6e8f89d972d)
![{\displaystyle -4(p-5)(p-1)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b97fef569d45e0381e51ddfc9efe958df60d7db)
atau ![{\displaystyle p=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29a2f2fb3f642618036ed7a79712202e7ada924)
Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p:
atau
Persamaan garis singgung lingkaran
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/Ambox_notice.png) |
Perhatian! Persamaan garis singgung lingkaran merupakan salah satu bahan yang diujikan dalam ujian nasional. |
Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran
- Jika persamaan lingkaran
, maka persamaan garis singgungnya:
![{\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0af43079feff24b5b329162ef730260a1f7e44)
- Jika persamaan lingkaran
, maka persamaan garis singgungnya:
![{\displaystyle (x_{1}-x_{p})(x-x_{p})+(y_{1}-y_{p})(y-y_{p})=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea75d65cad9fc5e7d2e2f9caea1e8d2a9404874)
- Jika persamaan lingkaran berbentuk
, maka persamaan garis singgungnya:
![{\displaystyle x_{1}x+y_{1}y+{\frac {1}{2}}A(x+x_{1})+{\frac {1}{2}}B(y+y_{1})+C=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b1215d3a232604ca3404148d978a719bd27d58)
Persamaan lingkaran
dapat juga diubah menjadi
dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m
atau ![{\displaystyle y-y_{p}=m(x-x_{p})\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd11ccd306958eca891a48d9e4bef6fc351bcbea)
Wikipedia memiliki artikel ensiklopedia mengenai: