Subjek:Matematika/Materi:Lingkaran

Subbagian ini akan membahas tentang lingkaran, persamaan lingkaran, beserta dengan garis singgung lingkaran.

Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.

Persamaan umum lingkaran adalah:

${\boldsymbol {(}}x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}$

Mencari jarak antara 2 titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂):

$r={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Mencari jarak antara titik A (x₁,y₁) dan garis Ax+By+C=0 :

$d=\left\vert {\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right\vert$

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$:

$r={\sqrt {{\frac {1}{4}}A^{2}+{\frac {1}{4}}B^{2}-C}}$

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!

Jawab:

$r={\sqrt {(5-2)^{2}+(3-7)^{2}}}$

$r={\sqrt {25}}$

$r=5$

${\boldsymbol {(}}x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}$

${\boldsymbol {(}}x-2)^{2}+(y-7)^{2}=25$

$x^{2}+y^{2}-4x-14y+28=0$

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola $y=x^{2}-2x+5$ dan menyinggung garis $3x+4y+5=0$!

Jawab:

$y=x^{2}-2x+5$

$x_{p}=-{\frac {b}{2a}}=-({\frac {-2}{2}})=1$

$y_{p}=1^{2}-2\times 1+5=4$

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

$3x+4y+5=0$

$A=3,B=4,C=5$

$d=r=\left\vert {\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right\vert$

$d=r=\left\vert {\frac {3\times 1+4\times 4+5}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}\right\vert$

$d=r={\frac {24}{5}}$

${\boldsymbol {(}}x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}$

${\boldsymbol {(}}x-1)^{2}+(y-4)^{2}={\frac {576}{25}}$

$x^{2}+y^{2}-2x-8y+17-{\frac {576}{25}}=0$

$25x^{2}+25y^{2}-50x-200y-151=0$

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.

Lihat diskriminannya: $D=b^{2}-4ac$

Jika

• D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
• D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
• D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

• Tentukan posisi garis:
  • $y=x+10$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=9$

Jawab:

$x^{2}+(x+10)^{2}=9$

$x^{2}+(x^{2}+20x+100)-9=0$

$2x^{2}+20x+91=0$

$D=b^{2}-4ac$

$D=20^{2}-4\times 91\times 2$

$D=400-728=-328$

Karena $D<0$, maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh 2:

• Tentukan p agar garis $y=-x+p$ terletak di luar lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x-4y+3=0$!

Jawab:

$x^{2}+(-x+p)^{2}-2x-4(-x+p)+3=0$

$2x^{2}-2px+p^{2}-2x+4x-4p+3=0$

$2x^{2}+(2-2p)x+p^{2}-4p+3=0$

syarat: $D<0$

$(2-2p)^{2}-4(2)(p^{2}-4p+3)<0$

$4p^{2}-8p+4-8p^{2}+32p-24<0$

$-4p^{2}+24p-20<0$

$-4(p^{2}-6p+5)<0$

$-4(p-5)(p-1)<0$

$p=5$ atau $p=1$

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: $p<1$ atau $p>5$

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

• Jika persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, maka persamaan garis singgungnya:

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

• Jika persamaan lingkaran $(x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}$, maka persamaan garis singgungnya:

$(x_{1}-x_{p})(x-x_{p})+(y_{1}-y_{p})(y-y_{p})=r^{2}$

• Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka persamaan garis singgungnya:

$x_{1}x+y_{1}y+{\frac {1}{2}}A(x+x_{1})+{\frac {1}{2}}B(y+y_{1})+C=0$

Persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dapat juga diubah menjadi $(x-x_{p})^{2}+(y-y_{p})^{2}=r^{2}$ dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

$y=mx\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}$ atau $y-y_{p}=m(x-x_{p})\pm r{\sqrt {m^{2}+1}}$

Wikipedia memiliki artikel ensiklopedia mengenai:

Lingkaran