Subjek:Matematika/Materi:Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Penulisan matriks:

${\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}$

atau

${\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}}$

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).

${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}$ Matriks di atas berordo 3x2.

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

$I={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

$A={\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}$

maka matriks transposenya (A^t) adalah $A^{t}={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\5&-7\end{pmatrix}}$

Operasi perhitungan pada matriks

Kesamaan 2 matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: ${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}$

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

6x=3

maka

x={\frac {1}{2}}

2y+2=1

maka

y=-{\frac {1}{2}}

z-y=5

maka

z={\frac {9}{2}}

2x-y+5z

=2\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}+5\left({\frac {9}{2}}\right)

=23

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: ${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3+6x&5+z-y\\2y+3&8&-14\end{pmatrix}}$

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: ${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3-6x&5-z-y\\-2y-1&0&0\end{pmatrix}}$

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

$3{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&18x&3z-3y\\6y+6&12&-21\end{pmatrix}}$

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ dan $B={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$

maka $A\times B={\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}}$

Contoh:

${\begin{pmatrix}2&6\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&8\\2&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30&76\\35&64\end{pmatrix}}$

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

maka Determinan A (ditulis $\left\vert A\right\vert$ ) adalah:

$\left\vert A\right\vert =a\times d-b\times c$

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika $A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ maka tentukan $\left\vert A\right\vert$ !

$\left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}$

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

\left\vert A\right\vert =a.e.i+b.f.g+c.d.h-g.e.c-h.f.a-i.d.b

Contoh:

$A={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}$ maka tentukan $\left\vert A\right\vert$ !

$\left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}-2&0\\3&2\\1&-3\end{matrix}}$

\left\vert A\right\vert =(-2.2.5)+(0.-1.-1)+(1.3.-3)-(1.2.1)-(-2.-1.-3)-(0.3.5)=-20+0-9-2+6-0=-25

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika $P={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}$ maka tentukan $\left\vert P\right\vert$ dengan ekspansi baris pertama!

$\left\vert P\right\vert =-2\left\vert {\begin{matrix}2&-1\\-3&5\end{matrix}}\right\vert -0\left\vert {\begin{matrix}3&-1\\1&5\end{matrix}}\right\vert +1\left\vert {\begin{matrix}3&2\\1&-3\end{matrix}}\right\vert$