Definisi:
Misalkan himpunan tidak kosong.
- Operasi biner pada adalah pemetaan . Notasi: untuk .
- Suatu himpuan yang dilengkapi operasi biner disebut grupoid. Notasi:
Contoh:
- dan .
- dan , di mana atau .
Definisi:
Suatu grupoid disebut grup jika ia memenuhi hukum-hukum berikut:
- (G1) unuk semua . (Hukum assotiatif)
- (G2) Terdapat suatu anggota sehingga untuk semua . ( disebut anggota identitas)
- (G3) Terdapat suatu anggota identitas sehingga: untuk setiap terdapat suatu sehingga . (Hukum invers, Notasi )
Suatu grup adalah grup Abelian (atua grup komutatif) jika itu memnuhi jugaasi
- (G4) untuk semua . (Hukum komutatif)
Untuk mendefinisikan grup kita dapat menganti (G2) dan (G3) dengan (G2)' dan (G3)' berikut:
- (G2)' Terdapat suatu anggota sehingga untuk semua . ( disebut anggota identitas kanan)
- (G3)' Terdapat suatu anggota identitas kanan sehingga: untuk setiap terdapat suatu sehingga . (Hukum invers kanan)
Kita membuktikan fakta di atas sebagai Lemma 1, Lemma 2 dan Lemma 3.
Lemma 1:
Misalkan memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan dari (G3)' . Jika memenuhi maka .
Bukti:
Dengan (G3)' terdapat sehingga . Akibatnya dengan (G1) dan (G2)'
- . □
Lemma 2:
Misalkan memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan dari (G3)' . Maka untuk semua .
Bukti:
Misalkan . Dengan (G3)' terdapat sehingga . Dengan menggunakan Lemma 1 juga . Oleh karena itu dengan (G1) dan (G2)'
- □
Lemma 3:
Misalkan memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' . Jika terdapat hanya satu anggota identitas.
Bukti:
Misalkan dari (G3)' dan juga suatu anggota identitas. Karena untuk semua dengan (G2)' maka . Dengan Lemma 2 untuk didapat juga . Oleh karena itu . □
Teorema (Sifat kanselasi):
Misalkan .
- Jika maka .
- Jika maka .
Bukti:
Dengan (G3) terdapat sehingga . Oleh karena itu jika maka dengan (G1)
Jika maka dengan (G1) dan (G2)
- □
Teorema
.
Bukti:
dari Definisi yang berarti bahwa elemen invers untuk . □
Definisi:
Misalkan grup. Suatu himpunan bagian disebut grup bagian (persisnya grup bagian ), jika ia memenuhi sifat-sifat berikut:
- .
- Jika maka .
- Jika maka .
Teorema:
Misalkan grup dan himpuan bagian tidak kosong.
grup bagian jika dan hanya jika untuk semua .
Bukti:
Misalkan grup bagian dan . Dari 3 Definisi di atas dan dari 2 juga . Sebaliknya misalkan untuk semua . Kita memeriksa Definisi 1, 2 dan 3. Karena tidak kosong, ada . 1 benar karena . 3 benar karena . 2 juga benar karena .□